2020-2021学年第一学期九年级上册期末测试题（沪教版）
数学试题
学校：__________
姓名：__________
班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一、单选题（共6小题）
1.已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．4x＝3y
[]
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA＝（ ）
A．
B．
C．
D．
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，则AB的长是（ ）
A．
B．
C．asinA
D．acosA[]
4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
5.二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断正确的是（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣5
1
3
1
…
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝4时，y＞0
D．抛物线的对称轴为x＝1
6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣，下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；④a+4c＞2b，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
[来源:学
科
网]
二、填空题（共12小题）
7.2、3、6的第四比例项是 ．
8.四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3，c＝2，d＝6，那么a＝ ．
9.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝ ．
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝ ．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
[]
11.若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为 ﹣ ．
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是边BC上一动点（不与点B、C重合）．连接AP，过点D作DE⊥PA，垂足为E，则线段BE长的最小值为 ．
13.如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为 m（精确到1m）．
（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
14.二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1）．则代数式1﹣a﹣b的值为 ﹣ ．
15.如图，?ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于 ．
16.如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（ ， ）．
17.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 ．
18.如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为
（1，n），且与x轴的一个交点在点
（3，0）和
（4，0）之间．则下列结论：
①abc＞0；②3a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2＝4a（c﹣n），
其中，正确的是 （填上所有满足题意的序号）．
三、解答题（共7小题）
19.（1）×+cos30°﹣|1﹣|+（﹣2）2
（2）÷（﹣a+1）
[]
20.某学习小组在研究函数的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
（1）请补全函数图象；
（2）方程实数根的个数为 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
21.如图，从灯塔C处观测轮船A，B的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西45°的方向，轮船B在灯塔C北偏东α的方向，且AC＝2海里，BC＝海里，已知tanα＝3，求A，B两艘轮船之间的距离．（结果保留根号）
22.如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（l）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE?BF＝EF?BC．
23.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
24.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C
（2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
25.已知：抛物线y＝﹣mx2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且开口向上
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围 ﹣ ；
（3）点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC＝1时，求出矩形ABCD的周长．2020-2021学年第一学期九年级上册期末测试题（沪教版）
数学试题
学校：__________
姓名：__________
班级：__________考号：__________
题号
一
二
三
总分
得分
一、单选题（共6小题）
1.已知，那么下列等式中，不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．4x＝3y
【解答】解：A、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
B、∵，
∴＝﹣，此选项错误，符合题意；
C、∵，
∴＝，此选项正确，不合题意；
D、∵，
∴4x＝3y，此选项正确，不合题意；
故选：B．
【知识点】比例的性质
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA＝（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：AC＝＝＝4，
则cosA＝＝．
故选：C．
【知识点】勾股定理、锐角三角函数的定义
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，则AB的长是（ ）
A．
B．
C．asinA
D．acosA
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝，
∴AB＝，
故选：A．
【知识点】锐角三角函数的定义[]
4.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点D
B．点E
C．点F
D．点G
【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，
∴点D是△ABC重心．
故选：A．
【知识点】三角形的重心
5.二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断正确的是（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣5
1
3
1
…
A．抛物线开口向上
B．抛物线与y轴交于负半轴
C．当x＝4时，y＞0
D．抛物线的对称轴为x＝1
【解答】解：根据表格可知，当x＝1时，y有最大值3，∴抛物线开口向下，故A说法错误；
当x＝0时，y＝1，∴抛物线与y轴交于正半轴，故B说法错误；
根据抛物线具有对称性，当x＝3时，y＝﹣5，∴当x＝4时，y＜0，故C说法错误；
当x＝1时，y最大，值为3，∴抛物线的对称轴为x＝1，故D说法正确．
故选：D．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质
[]
6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣，下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；④a+4c＞2b，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴﹣＜0，
∴a、b同号，即ab＞0，①正确；
②∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∴﹣＝﹣，
∴a＝b．
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，
∴b+2c＞0，③错误；
④∵当x＝﹣时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a﹣2b+4c＞0，即a+4c＞2b，④正确．
故选：C．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
二、填空题（共12小题）
7.2、3、6的第四比例项是 ．
【解答】解：设第四比例项为x，
则2：3＝6：x，
所以x＝＝9．
故答案为9．
【知识点】比例线段
8.四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3，c＝2，d＝6，那么a＝ ．
【解答】解：根据题意得a：3＝2：6，
所以a＝＝1．
故答案为1．
【知识点】比例线段
9.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝ ．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝．
故答案为：．
【知识点】相似三角形的判定与性质
10.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝ ．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
所以tanB＝，即tan37°＝，
所以AC＝32?tan37°＝32×0.75＝24．
故答案为：24．
【知识点】解直角三角形
11.若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为 ﹣ ．
【解答】解：根据题意得，m2﹣3＝2，
解得m＝±，
∵开口向上，
∴2﹣m＞0，
解得m＜2，
∴m＝﹣．
故答案为：﹣．
【知识点】二次函数的定义
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，P是边BC上一动点（不与点B、C重合）．连接AP，过点D作DE⊥PA，垂足为E，则线段BE长的最小值为 ．
【解答】解：∵DE⊥PA，[]
∴∠AED＝90°，
∴点E在如右图所示的以AB为直径的圆弧上，设圆心为O，连接OB，交圆弧于点E，则此时BE有最小值，
∵AD＝6，[]
∴AO＝OE＝3，
在Rt△ABO中，
OB＝＝＝5，
∴BE＝OB﹣OE＝2，
故答案为：2．
【知识点】矩形的性质、相似三角形的判定与性质
13.如图，从一般船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC（观测点A与灯塔底部C在一个水平面上），测得灯塔顶部B的仰角为35°，则观测点A到灯塔BC的距离约为 m（精确到1m）．
（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC＝35°，BC＝41m，
∴tan∠BAC＝，
∴AC＝＝≈59（m）．
故答案为：59．
【知识点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
14.二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1）．则代数式1﹣a﹣b的值为 ﹣ ．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1＝1，
∴a+b＝2，
∴1﹣a﹣b＝1﹣（a+b）＝1﹣2＝﹣1．
故答案为﹣1．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
15.如图，?ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于 ．
【解答】解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC＝，
∴OA＝＝＝2，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA＝4．
故答案是：4．
【知识点】平行四边形的性质、解直角三角形
16.如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（ ， ）．
【解答】解：∵点B（0，），
∴OB＝，
连接ME，
∵点B和点E关于直线OM对称，
∴OB＝OE＝，
∵点E是线段AO的中点，
∴AO＝2OE＝2，
根据勾股定理，AB＝＝＝3，
cosA＝＝，
即＝，
解得AM＝2，
∴BM＝AB﹣AM＝3﹣2＝1，
∴点M的坐标是（1，）．
故答案为：（1，）．
【知识点】坐标与图形性质、解直角三角形、轴对称的性质
17.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 ．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、垂线段最短、矩形的性质
18.如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为
（1，n），且与x轴的一个交点在点
（3，0）和
（4，0）之间．则下列结论：
①abc＞0；②3a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④b2＝4a（c﹣n），
其中，正确的是 （填上所有满足题意的序号）．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴＝n，
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以④正确；
故答案为③④．
【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系
三、解答题（共7小题）
19.（1）×+cos30°﹣|1﹣|+（﹣2）2
（2）÷（﹣a+1）
【解答】解：（1）×+cos30°﹣|1﹣|+（﹣2）2
＝2×+﹣（﹣1）+4
＝2﹣+1+4
＝+5；
（2）÷（﹣a+1）
＝
＝
＝﹣
＝．
【知识点】分式的混合运算、特殊角的三角函数值、实数的运算
20.某学习小组在研究函数的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
（1）请补全函数图象；
（2）方程实数根的个数为 ；
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
【解答】解：（1）描点连接图象如下：
（2）作直线y＝﹣2，该直线与函数的图象有3个交点，
故答案为3；
（3）图象的性质：（答案不唯一）
①图象关于原点成中心对称；
②x≥2，y随x的增大而增大，0≤x＜2，y随x的增大而减小．
【知识点】二次函数的性质、二次函数的图象
21.如图，从灯塔C处观测轮船A，B的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西45°的方向，轮船B在灯塔C北偏东α的方向，且AC＝2海里，BC＝海里，已知tanα＝3，求A，B两艘轮船之间的距离．（结果保留根号）
【解答】解：过点A、B分别作东西方向的垂线于点E、D，作BF⊥AE于点F，
则四边形FEDB为矩形，
∴EF＝BD，FB＝ED，
在Rt△AEC中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝AC＝2，
在Rt△BCD中，∠CBD＝α，
则＝tan∠CBD＝tanα＝3，
设BD＝x，则CD＝3x，
由勾股定理得，BC2＝BD2+CD2，即（）2＝x2+（3x）2，
解得，x＝1，
则BD＝1，CD＝3，
∴AF＝AE﹣EF＝1，BF＝EC+CD＝2+3＝5，
则AB＝＝＝，
答：A，B两艘轮船之间的距离为海里．
【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题
22.如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，设BD与CE相交于F点．
（l）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE?BF＝EF?BC．
【解答】证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，且∠EFB＝∠DFC，
∴△BEF∽△CDF；
（2）如图，连接DE，
∵∠BEF＝∠CDF＝90°，
∴点B，点C，点D，点E四点共圆，
∴∠DEF＝∠DBC，∠BFC＝∠DFE，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴DE?BF＝EF?BC
【知识点】相似三角形的判定
23.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
【解答】解：设宽度AB为x米，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40代入得
∴＝，
解得x＝18，
答：河的宽度为18米．
【知识点】相似三角形的应用
24.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C
（2，3）两点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（2，3），
得：，解得：，
∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
设直线AC的函数解析式为y＝mx+n．
把A（﹣1，0），C（2，3）代入，
得，解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+1；
（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，x+1）．
∴PQ＝﹣x2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，
∴S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ×3
＝（﹣x2+x+2）
＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝
时，△APC的面积最大，最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式
25.已知：抛物线y＝﹣mx2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，且开口向上
（1）求抛物线的解析式；
（2）结合图象写出，0＜x＜4时，直接写出y的取值范围 ﹣ ；
（3）点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C．当BC＝1时，求出矩形ABCD的周长．
【解答】解：（1）∵y＝x2+（2m﹣1）x+m2﹣1经过坐标原点，
∴0＝0+0+m2﹣1，即m2﹣1＝0
解得m＝±1．
又∵开口向上，
∴﹣m＞0，
∴m＜0，
∴m＝﹣1，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x．
（2）∵y＝x2﹣3x═（x﹣）2﹣，
∴x＝时，y最小值为﹣，
x＝0时，y＝0，
x＝4时，y＝4，[]
∴0＜x＜4时，﹣≤y＜4．
故答案为﹣≤y＜4．
（3）如图，
∵BC＝1，B、C关于对称轴对称，
∴B（1，0），C（2，0），
∵AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴A（1，﹣2），D（2，﹣2），
∴AB＝DC＝2，BC＝AD＝1，
∴四边形ABCD的周长为6，
当BC＝1时，矩形的周长为6．
【知识点】二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、矩形的性质、抛物线与x轴的交点
