第二十四章
圆
24.1.1
圆（第1课时）
自主预习
1．圆是一种常见的几何图形，在日常生活中有着广泛的应用，请你找出日常生活中与圆有关的实例：
．（写出三个即可）
2．圆上各点到定点的距离都等于定长，定点是__________，定长是__________.
3.
确定一个圆的要素有两个，即
，
；
决定圆的位置，
决定圆的大小．
4.如图所示，回答问题：
（1）请写出图中所有的弦；
（2）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；
（3）若∠ABC=30°，你能求出哪些角的度数？
4题图
互动训练
知识点一：圆的概念
1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是(
)
A．以点O为圆心
B．以2
cm长为半径
C．以点O为圆心，5
cm长为半径
D．经过点A
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径
B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径
D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
3．自行车车轮要做成圆形，实际上是根据圆的以下哪个特征（ ）
A．圆是轴对称图形
B．圆是中心对称图形
C．圆上各点到圆心的距离相等
D．直径是圆中最长的弦
4．已知⊙O的半径是5cm，则⊙O中最长的弦长是（ ）
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．20cm
5．圆的半径为3cm，则该圆的周长是
cm．
6．过圆内一点（非圆心）有
条弦，有
条直径．
7．平面上一点到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O
的半径为
cm.
8.
如图，在⊙O中，AB、CD为直径，
求证：AD∥BC.
8题图
知识点二：与圆有关概念的应用
9．如图，AB为⊙O的直径，∠BOC=60°，则∠A
=
度．
9题图
10题图
10．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，
则∠AOD＝
.
11．圆的半径为3，则弦AB长度的取值范围是
.
12．在直角坐标系中，以O为圆心，5为半径作圆，下列各点，一定在圆上的是（
）
A.
（2，3）
B.
（4，3）
C.
（1，4）
D.
（2，-4）
13．如图，两个同心圆圆心为O，大圆半径OC、OD交小圆于A、B.
求证：AB∥CD.
13题图
14．如图，⊙O的弦AB、半径OC的延长线交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，
求∠D的度数.
14题图
15.
如图在⊙O中，C、D分别是半径OA、OB的中点，连接BC、AD，求证：AD=BC.
15题图
课时达标
1.以点O为圆心作圆，可以作（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
无数个
2.下列说法正确的是（ C
）
A.弦是直径
B.弧是半圆
C.直径是圆中最长的弦
D.半圆是圆中最长的弧
3.到圆心的距离大于半径的点的集合是（
）
A.圆的内部
B.圆的外部
C.圆
D.圆的外部和圆
4．已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（ ）
A．4
B．8
C．10
D．12
5．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为(
)
A．38°
B．52°
C．76°
D．104°
5题图
6题图
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝(
)
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
7．已知AB=10cm，以AB为直径作圆，那么在此圆上到AB的距离等于5cm的点共有(
)
A.
无数个
B.
1个
C.
2个
D.
4个
8.如图，已知OA、OB、OC是⊙O的三条半径，∠AOC=∠BOC，M、N分别为OA、OB的中点.求证：MC=NC.
8题图
9．如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
9题图
10．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC的度数．
10题图
11．如图所示，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过圆心O2，求∠O1AB．
11题图
12.如图，公路MN和公路PQ在P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160
m.假设拖拉机行驶时，周围100
m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由.如果受影响，已知拖拉机的速度为18
km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
12题图
拓展探究
1．图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（ ）
1题图
A．甲先到B点
B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B
D．无法确定
2.
如图，点P(x,
y)在以坐标原点为圆心、5为半径的圆上.若x，y都是整数，请探究这样的点P一共有多少个？写出这些点的坐标．
2题图
3.如图，四边形ABCD的一组对角∠B，∠D都是直角.
求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.
3题图
24.1.1
圆（第1课时）答案
自主预习
1．车轮、轴承、奥运五环旗图案等
2.
圆心，半径
3.
圆心，半径；圆心，半径.
4.（1）AB、AC、BC；（2）弦AB所对的弧是：弧AB、弧ACB；
（3）∵OA=OB=OC，∠ABC=30°，∴∠BAC=30°，∠AOC=60°，∠OAC=∠OCA=60°，
互动训练
1.
C.
2.
B.
解析：A.
直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；
B.
半圆是弧，正确；
C.
过圆心的弦是直径，故错误；
D.
圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，
故选：B．
3.
C.
解析：因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以自行车车轮要做成圆形．故选：C．
4.
B.
解析：∵⊙O的半径是5cm，
∴⊙O中最长的弦，即直径的长为10cm，
故选：B．
5.
6π．解析：圆的周长＝2πr＝2×π×3＝6π（cm），
故答案为：6π．
6.
无数，1．解析：过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为无数，1．
7.
2或4.
8.
证明：在⊙O中,
OA=OB=OC=OD.
在△AOD和△COB中，
∠AOD=∠COB，OA=OB=OC=OD.
∴△AOD≌△COB（SAS）.∴∠DAO=∠OCB.
又∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC.
∴∠DAO=∠OBC.
∴AD∥BC.
9．30.
10.40°.
11．0＜AB≤6
12.
B
13.
证明：
在大圆中，OC=OD,
∴∠C=∠D=
(180°-∠O),
在小圆中，OA=OB,
∴∠A=∠B=
(180°-∠O),
∴∠A=∠C，
∴
AB∥CD.
14.
解：连结OB.
∵OA=OB=BD,
∴∠A=∠ABO=2∠D,
设∠D度数x，则∠BOC=x,
∠A=∠ABO=2x,
在△AOB中，∠AOB=180°-∠A-∠ABO=180°-4x.
又∠AOC=105°，∴180°-4x+x=105°,
x=25°
15.
证明：∵OA,OB是⊙O的两条半径，∴AO=BO.
∵C，D分别是半径OA，OB的中点，∴OC=OD.
在△ODA和△OCB中，
OA=OB，∠AOD=∠BOC，OC=OD,
∴△ODA≌△OCB（SAS）.
∴AD=BC.
课时达标
1.
D.
2.
C.
3.
B.
4.
D.
解析：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．故选：D．
5.
C.
解析：∠MON=180°-52°-52°=76°，故选C.
6.
A.
解析：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B=50°，
∵CB=CD，∴∠BCD=180°-50°-50°=80°，
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-80°=10°.
7．C.
8.
证明：∵OA、OB为⊙O的半径，∴OA=OB.
∵M、N分别为OA、OB的中点,
∴OM=OA，ON=OB.∴OM=ON.
∵∠AOC=∠BOC，OC=OC，∴△MOC≌△NOC.∴MC=NC.
9.解：大圆的周长＝20π，两个小圆的周长和＝2（π）＝20π，
∴大圆的周长＝两个小圆的周长和，
∴大蚂蚁和小蚂蚁爬的路程一样长．
10．连结OD，∠AOC=∠E+∠OCE=54°．
11．解：连接O1A，O2A，O1B，O2B，AB，O1O2
∵⊙O1与⊙O2为等圆，
∴O1A=O2A=O1B=O2B=O1O2，
∴四边形AO1BO2为菱形，△AO1O2为等边三角形，
∴∠O1AO2=60°，∴∠O1AB=30°．
12.
解：作AB⊥MN于B.在Rt△ABP中，
∵∠APB=30°，∠ABP=90°，AP=160，
∴AB=AP=80.
12题图
∵点A到直线MN的距离小于100
m，
∴这所学校会受到噪声的影响.
如图，若以点A为圆心，100m为半径画圆，那么⊙A与直线MN有两个交点.
设交点分别是C和D，则AC=AD=100
m.
在Rt△ABC中，CB=DB===60（m），
∴CD=2BC=120（m）.
因此学校受噪声影响的时间为=（时）=24（秒）.
拓展探究
1.
C.
解析：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）＝π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点．故选：C．
2.
解：分为两种情况：
①若点在坐标轴上，那么有四个，它们是(0,5)，(5,0)，(-5,0)，(0,-5).
②若点在象限内.
∵52=42+32且x，y都是整数，
∴这样的点有8个，分别是(3,4)，(-3,4)，(3,-4)，(-3,-4)，(4,3)，(-4,3)，(4,-3)，(-4,-3).
综上所述，这样的点P共有12个．
3.
证明：连接AC，取AC中点O，连DO，BO，在Rt△ABC中，∵O为斜边AC的中点，
∴AC
=2OD，即OD=OA=OC.
同理：OB=OA=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，AC为直径的圆上.24.1.3
弧、弦、圆心角
自主预习
1．在⊙O中，AB、CD是两条弦．
(1)如果AB＝CD，那么________，________；
(2)如果＝，那么________，________；
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么________，________.
1题图
2题图
4题图
2．如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)
(1)________________；
(2)________________；
(3)________________．
3．下列说法中正确的是（
）．
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．等弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等
D．弦心距相等，则弦相等
4．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
互动训练
知识点一：圆心角的概念
1.
一条弦把圆分成1∶3两部分，则这条弦所对的圆心角为_____________.
2.
弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，该弦所对的圆心角是____________.
3.
如图所示，在⊙O中，AB∥CD，弧AC的度数为45°，则∠COD的度数为
．
3题图
4题图
5题图
4.
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，∠A=70°，则∠BOC=
．
5．如图，已知A、B、C、D四点在⊙O上，AB、CD交于点E，AD＝BC，求证：AB＝CD．
知识点二：同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的等量关系
6．已知，如图，∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB＝CD
B．
C．△AOB≌△COD
D．△AOB、△COD都是等边三角形
6题图
7题图
7．如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．50°
B．45°
C．40°
D．35°
8.
在同圆中，下列四个命题：
(1)圆心角是顶点在圆心的角；
(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；
(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；
(4)等弧所对的圆心角相等.
其中真命题有（
）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
9.
如图，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠B=70°，则∠C=
．
9题图
10题图
11题图
10．如图，D，E分别是⊙O的半径OA、OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，则弧AC与弧BC的大小关系是
．
11．如图，在⊙O中，AB=AC=5cm，BC=8cm，则⊙O的半径等于
cm.
12.
已知：如图，⊙O中AB=CD．求证：=.
12题图
13．如图，已知以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦CD交小圆于E、F，OE、OF的延长线交大圆于A、B，求证：AC=BD．
13题图
14.
如图，已知A，B，C，D为圆O上的四点，且弧AB=2弧CD，问AB与2CD的关系是否相等?
14题图
15.
如图，点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，连接AB，AD，AF.
求证：AB＋AF＝AD.
15题图
课时达标
1.
如图，在⊙O中，，∠C=72°，则∠B=______，∠A=______．
2．如图，A，B，C，D为圆上顺次四点，且弧AB，BC，CD，DA的度数之比为2︰3︰
4︰1，则∠AOB=_______，∠DOA=______．
3．如图，已知AB和CD为⊙O的两条直径，弦CE∥AB，所对的圆心角的度数为40°，则∠BOC＝________.
1题图
2题图
3题图
5题图
4．已知、是同圆的两段弧，且＝2，则弦AB与2CD之间的数量关系为(
)
A．AB＝2CD
B．AB<2CD
C．AB>2CD
D．不能确定
5．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE，并延长交于点A，
连接OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为( )
A．35°
B．38°
C．40°
D．42°
6.
如图，AB是⊙O的直径，，∠COD=35°，求∠AOE的度数．
6题图
7.
如图，AB，BC，AC都是⊙O的弦，且∠AOB＝∠BOC.
求证：(1)∠BAC＝∠BCA；(2)∠ABO＝∠CBO.
7题图
8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB＝CD.
求证：∠AOC＝∠BOD.
8题图
9．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半径OA、OB的中点且OA⊥CE、OB⊥DE，
求证：
9题图
10．如图所示，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB与OC，OD分别交于点E，F.
求证：AE＝BF＝CD.
10题图
11．已知如图所示，A，B，C是⊙O上三点，∠AOB=120°，C是的中点，试判断四边形OACB形状，并说明理由．
11题图
拓展探究
1.如图所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论：①OE＝OF；②AC＝CD＝DB；③CD∥AB；④=，
其中正确的有（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
1题图
2题图
2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且AE＝BF，
与相等吗？为什么？
3．如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
图1
图2
24.1.3
弧、弦、圆心角
答案
自主预习
1.
(1)＝，∠AOB＝∠COD (2)AB＝CD，∠AOB＝∠COD (3)AB＝CD，＝
2．（1）△ACO≌△ABO，（2）AD垂直平分BC，（3）＝.
3.
B.
4.证明：∵＝，∴AB＝AC.
又∵∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝AC＝BC.
∴＝=，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
互动训练
1.
90°
解析：×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°.
2.
∶2，
90°
3.
90°
4.125°
提示：因⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，
∴O到三边的距离相等，即O为△ABC的角平分线的交点，
∵∠A=70°，∴∠BOC=180°-(∠B+∠C)
=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=90°+35°=125°.
5.证明：∵AD＝BC，∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AB＝CD．
6.
D.
解析：∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，＝，
∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△AOB≌△COD，
∴A.
B.
C.
成立，则D不成立，
故选：D．
7.
C.
解析：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是弧AB的中点，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，
故选：C．
8.
A
9.
70°
10.相等
11.
12．∵AB=CD，∴，∴．∴．
13．连结OC、OD，∵OC=OD，OE=OF，
∴∠OCD=∠ODC，∠OEF=∠OFE，
∴∠AOC=∠BOD，∴AC=BD．
14.
解：如图,∵E为弧AB的中,∴.
∴CD=AE=BE.
∵2CD=2AE=2BE=AE+BE，
又∵在△AEB中，AB＜AE+BE，∴AB＜2CD.
15.
证明：如图，连接OB，OF.
15题图
∵点A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，
∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°.
又∵OA＝OB，OA＝OF，
∴△AOB，△AOF是等边三角形，
∴AB＝AF＝AO＝OD.
∴AB＋AF＝AO＋OD＝AD.
课时达标
1.
72°
,
36°.
2.
72°,
36°.
3.
70°
.
解析：因所对的圆心角的度数为40°，∴∠OCE=70°,
∵弦CE∥AB，∠BOC=∠OCE=70°.
4.
B.
5.
C.
6.解：∠AOE=180°-335°=75°.
7.
证明：(1)∵∠AOB＝∠BOC，
∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.
(2)∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO.
同理，得∠CBO＝∠BCO，∠CAO＝∠ACO.
又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠CBO.
8.
证明：∵AB＝CD，∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD.
9．证明：如图，连接OE、OF，
∵D是半径、OB的中点，OB⊥DF，
∴OD=OF,∴∠OFD=30°,
即∠FOD=60°，
同理∠EOA=60°,
∴∠FOD=∠EOA=∠EOF,
∴.
9题图
10．证明：连接AC，BD.
∵C，D是的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，且∠AOC＝×90°＝30°.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝75°.
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠OAE＝∠OBF＝45°，
∴∠AEC＝∠OAE＋∠AOC＝45°＋30°＝75°，
∴AE＝AC.
同理可证BF＝BD，∴AE＝BF＝CD.
10题图
11．解：四边形AOBC是菱形．
证明：连OC，所以∠AOC=∠BOC=×120°=60°，
又因为CO=BO，所以△OBC是等腰三角形，∴OB=BC，
同理△OCA是等边三角形，
∴OA=AC，又∵OA=OB，
∴OA=AC=BC=BO，所以AOBC是菱形．
拓展探究
1.B.
解析：连接OA，OB，
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA．
在△OAE与△OBF中，，
∴△OAE≌△OBF（SAS），
∴OE＝OF，故①正确；
∠AOE＝∠BOF，即∠AOC＝∠BOD，
∴，故④正确；
连结AD．∵，
∴∠BAD＝∠ADC，
∴CD∥AB，故③正确；
∵∠BOD＝∠AOC不一定等于∠COD，
∴弧AC＝弧BD不一定等于弧CD，
∴AC＝BD不一定等于CD，
故②不正确．
正确的有3个，故选：B．
1题图
2.
解：与相等，
证明：连接OC、OD，
∵AE＝BF，OA＝OB，
∴OE＝OF，
在Rt△COE和Rt△DOF中，
，
∴Rt△COE≌Rt△DOF，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝．
2题图
3.解：（1）AB=CD.
如图1.
图1
图2
理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F，
∵∠APM=∠CPM，∴∠DPO=∠BPO，∴
OE=OF
.
连结OD、OB且OB=OD
∴Rt△OFD≌Rt△OEB,
∴DF=BE.
根据垂径定理可得：AB=CD.
（2）如图2，作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F,
∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90°,
∴Rt△OPE≌Rt△OPF
,
∴OE=OF.
连接OA、OB、OC、OD
易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF.
∴AE+BE=CF+DF，
∴AB=CD.24.1.4
圆周角（第1课时）
自主预习
1．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
，都等于
．
2．半圆（或直径）所对的圆周角是
，90°的圆周角所对的弦是
．
3．如图，AB是⊙O的直径，C是圆上的点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∠ABC＝40°，则∠BAC＝
,
∠BAD＝
,
∠ABD＝
.
4．如图，A、B、C三点在⊙O上，且∠AOB=80°，则∠ACB等于（
）
A．100°
B．80°
C．50°
D．40°
3题图
4题图
5题图
6题图
5．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(
)
A．∠B
B．∠C
C．∠D
D．∠DEB
6．如图在⊙O中，AB为直径，C，E在圆周上，若∠COB＝100°，则∠AEC的度数为（ ）
A．30°
B．20°
C．40°
D．50°
互动训练
知识点一：圆周角及其性质
1．下列图形中的角是圆周角的是(
)
2．如图，E，F，G为圆上的三点，∠FEG＝50°，P点可能是圆心的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（ ）
A．100°
B．90°
C．80°
D．70°
3题图
4题图
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠AOC＝60°，则∠B的度数是(
)
A．20°
B．30°
C．50°
D．60°
5．如图，D是弧AC的中点，与∠ABD相等的角的个数是（
）．
A．4
B．3
C．2
D．1
5题图
6题图
6．已知如图，⊙O的两条弦AE，BC相交于点D，连结AC，BE，AO，BO，若∠ACB=60°，则下列结论中正确的是（
）
A．∠AOB=60°
B．∠ADB=60°
C．∠AEB=60°
D．∠AEB=30°
7．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝25°，求∠BAD的度数．
7题图
知识点二：圆周角性质的简单应用
8．如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD=______度．
8题图
9题图
10题图
9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠B=50°，则∠A等于（
）
A．80°
B．60°
C．50°
D．40°
10．如图，AB、CD是⊙O的直径，DF、BE是弦，且DF=BE，求证：∠D=∠B．
11．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
11题图
12．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，若＝，∠E＝70°，求∠ABC的度数．
12题图
13．已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF与AD交于E，求证：AE=BE．
13题图
课时达标
1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是(
)
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
1题图
2题图
3题图
2．如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(
)
A．65°
B．75°
C．50°
D．55°
3.
如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°,
则∠DCF等于（
）
A.
80°
B.
50°
C.
40°
D.
20°
4.
如图，A、B、C是⊙O上的三点，已知∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（
）
A.
40°
B.
30°
C.
45°
D.
50°
4题图
5题图
6题图
5.
如图，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是（
）
A.
45°
B.
60°
C.
75°
D.
90°
6.
如图，△ABC三个顶点在⊙O上,
AD是⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=______.
7.
如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC=100°，则∠D=_______.
7题图
8题图
9题图
8.如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=
.
9.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=__________.
10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．
求证：∠ACO＝∠BCD．
10题图
11．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求BC的长；
(2)求BD的长．
11题图
12.如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，P为BA延长线上一点，PC交⊙O于点Q，若∠P=30°，求∠B的度数.
12题图
13.
如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E,
∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证：BD=CD．
13题图
拓展探究
1.（2020?黑龙江牡丹江）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
1题图
2题图
2．如图，四边形ABCD内接于圆，AD，BC的延长线交于点E，F是BD延长线上任意一点，AB＝AC．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD＝∠AEB．
3．如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
3题图
24.1.4
圆周角（第1课时）答案
自主预习
1．相等
该弧所对的圆心角的一半
，
2．直角
直径
3.
50°，25°，65°.
4.
D.
5.
C.
6.
C.
解析：∵OC＝OB，∠COB＝100°，
∴∠B＝∠BCO＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠AEC＝∠B＝40°，故选：C．
互动训练
1.
B.
解析：根据圆周角的定义，图B符合条件，故选B.
2.
C.
解析：∵∠FEG＝50°，若P点圆心，
∴∠FPG＝2∠FEG＝100°．故选：C．
3.
C.
解析：∵＝，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BOC＝2∠A＝80°．故选：C．
4.
B.
解析：∵∠AOC＝60°∠AOC＝2∠B，∴∠B＝30°.
故选：B．
5.
B.
6.
C.
7.
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠C＝25°，∴∠B＝∠C＝25°.
∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.
8．45.
9.
D.
10．∵AB、CD是⊙O直径，∴∠AOD=∠COB，
∴．又，
∴DF=DE，∴．
∴．∴．
∴．∴∠D=∠B．
11.
证明：∵AB＝BC，∴＝.
∴∠ADB＝∠BDC.
∴DB平分∠ADC.
12.解：连接DB．
∵∠E＝70°，∴∠A＝70°，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，
∵＝，
∴∠DBC＝∠DBA＝20°，
∴∠ABC＝∠DBC+∠DBA＝20°+20°＝40°．
12题图
13．证明：连结AC．
∵
，∴∠ABE=∠C．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAD+∠DAC=90°，
∵AD⊥BC，∴∠C+∠DAC=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠ABE=∠BAD．∴AE=BE．
13题图
课时达标
1.
C.
解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠B=90°-∠A＝90°-35°=55°，选C.
2.
A.
解析：∵＝，∴AB=AC，∵∠BAC＝50°，∠B=∠AEC＝
(180°-50°)
÷
2=65°.
3.
D.
解析：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∴CD⊥EF,
,
∵∠EOD=40°,
∴∠DCF=20°.
选D.
4.
A.
解析：∵OA=OB,
∠ABO=50°，∴∠OAB=∠ABO=50°，∴∠AOB=
80°，
∴∠ACB=40°,
故选：A.
5.
A.
解析：∵正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，∴正方形的每条边所对的弧是90°，
∴∠BPC的度数是45°.
故选：A.
6.
60°.
解析：∵∠ABC=30°，∴∠ADC
=∠ABC=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠CAD=60°.
7.
40°.
解析：∵∠AOC=100°，∴∠BOC
=80°，则∠D=40°.
8.
90°.
解析：∵AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C=90°.
9.
90°.
解析：∵AB是⊙O的直径，则∠1＋∠2=90°.
10.
证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴，∴∠A＝∠BCD，
又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A．
∴∠ACO＝∠BCD．
11.
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
∴在Rt△ABC中，
BC＝＝＝5.
(2)∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°.
∴∠BAD＝∠ABD＝45°.
∴AD＝BD.
设BD＝AD＝x，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD2＋BD2＝AB2.
∴x2＋x2＝102.
解得x＝5.
∴BD＝5.
12.解：连结OQ,
∵OC⊥AB，∠P=30°，∴∠C=60°,
在△OCQ中，OC=OQ,
∠C=60°,
∴∠COQ=60°,
∴∠POQ=30°,
∴∠B=15°.
12题图
13.
（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°．
又∵∠BAC=45°，∴∠ABE=45°．
又∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=67.5°．
∴∠EBC=22.5°．
（2）证明：连结AD．∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．
又∵AB=AC，∴BD=CD．
13题图
拓展探究
1.
B.
解析：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．故选：B．
1题图
2．（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CDE＝∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，又∠ADB＝∠FDE，
∴∠ACB＝∠FDE，
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠FDE＝∠CDE，即DE平分∠CDF；
（2）∵∠ACB＝∠ABC，
∴∠CAE+∠E＝∠ABD+∠DBC，
又∠CAE＝∠DBC，
∴∠E＝∠ABD，
∴∠ACD＝∠AEB．
3.
(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.
(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°－∠E.
又∵∠CFD＝180°－∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°.
∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
3题图24.1.2
垂直于弦的直径
自主预习
1．如图所示，已知O为圆心，AB为直径，CD为弦，
（1）若AB⊥CD，则有结论：
，
.
（2）若AB平分弦CD，则有结论：
，
.
2．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB的长为24，则点O到AB的距离是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
1题图
2题图
3题图
3．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是( )
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
＝
D．△OCE≌△ODE
互动训练
知识点一：垂径定理及其推论
1.
如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.
1题图
2题图
4题图
2.在图，弦AB的长为24
cm，弦心距OC=5
cm，则⊙O的半径R=__________
cm.
3．下列说法正确的是(
)
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
4.
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A.
DE=EC
B.
C.
BC∥OD
D.
∠ABC=∠ABD
5题图
6题图
5．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是(
CC)
A．3
B．2.5
C．2
D．1
6．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB于点E，且CE＝2，OB＝4，则AB的长为(DD
)D
A．2
B．4
C．6
D．4
7.
已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.
7题图
知识点二：垂径定理的应用
8．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，则截面上有油部分油面高CD（单位：cm）为
．
8题图
9题图
9．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB=8m，∠CAD=30°，则大棚高度CD约为（
）
A．2.0m
B．2.3m
C．4.6m
D．6.9m
10．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB=8cm，AC=6cm，那么⊙O的半径OA长为（
）
A．4cm
B．5cm
C．6cm
D．8cm
10题图
11题图
11．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD=100°，
求∠COE、∠DOE的度数．
12.如图所示，直径为10
cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4
cm.求弦AB的长.
12题图
13．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm．
（1）求弦AC的长；
（2）问经过几秒后，△APC是等腰三角形．
13题图
课时达标
1．如图，CD是圆的一条弦，沿直径AB对折，则AB
CD，AB与CD交于E，则CE
DE，图中相等的弧有
．
1题图
2题图
2．如图，在半径为4cm的⊙O
中，圆心O到弦AB的距离为2cm，则弦AB的长
为
cm.
3．下列命题错误的是( )
A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦
B．平分弦的弦垂直于这条弦
C．垂直于弦的直径平分这条弦
D．弦的垂直平分线经过圆心
4题图
5题图
4．如图，⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则⊙O的半径长为（
）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．6cm
5.
如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（
）
A.2cm
B.cm
C.cm
D.cm
6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，AB、CD相交于点E，∠COD=100°，求∠COE、∠DOE的度数．
6题图
7．如图，已知：在⊙O中，直径AB⊥CD，E为垂足，AE=4，CE=6，求⊙O的半径.
7题图
8．如图所示，D、E分别是弧AB、AC的中点，DE交AB于M、交AC于N.
求证：AM=AN．
8题图
9.
某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7.2米，桥的最高处点C离水面的高度2.4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．
9题图
拓展探究
1.如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A.B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为
cm．
1题图
2．已知⊙O的直径是50
cm，⊙O的两条平行弦AB＝40
cm，CD＝48
cm，求弦AB与CD之间的距离．
3．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
3题图
24.1.2
垂直于弦的直径答案
自主预习
1.
（1）CE=DE,
＝.
（2）AB⊥CD,
＝.
2.
B.
3.
B.
互动训练
1.
OM=ON，AC=BC
弧AM=弧BM
2.
13.
提示：连结AO，得Rt△AOC，然后由勾股定理得出.
3.
D.
4.
C.
解析：∵AB⊥CD，AB过O．
∴DE=CE，=，∠ABC=∠ABD
根据已知不能推出BC∥OD
，故选C.
5.
C.
6.
D.
7.
证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.
∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
7题图
8．8
9．B
10．B
11．∵AB是直径，AB⊥CD，∴CE=ED，∴
．
∴∠COE=∠DOE，∠COE=∠DOE=∠COD=50°．
12.
解：连结OA.
∵OM⊥AB，
∴AM=AB.
∵OA=×10=5，OM=4，
∴AM==3.∴AB=2AM=6(cm).
13．（1）过O作OD⊥AC于D，易知AO=5，OD=4，从而AD=3，AC=6．
（2）经过s后，AC=PC，△APC是等腰三角形；
经过4s后，AP=AC，△APC是等腰三角形．
经过5s后，AP=CP，△APC是等腰三角形．
课时达标
1．⊥，=，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD．
2．4
3．D
4．C
5.
C.
解析：作OD⊥AB于D，连接OA，
根据题意得OD=OA=1cm，根据勾股定理得：AD=cm，
根据垂径定理得AB=2cm。故选C.
6．∵AB是直径，AB⊥CD，∴CE=ED，∴弧CB=弧BD．
∴∠COE=∠DOE，∠COE=∠DOE=∠COD=50°．
7．6.5
点拨：连结OC，设OC=x，则OE=OA-AE=x-4，在直角三角形OCE中，由OE2+CE2=OC2得，(x-4)2+62=x2,解得
x=6.5
8．证明：连结DO，EO，∵D是中点，E是中点，∴OD⊥AB，OE⊥AC，
又∵∠EDO=∠DEO，∴∠DMB=∠ENC，
而∠AMN=∠DMB，∠ENC=∠ANM，∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN．
9.
解：能通过.
如图，设圆心为O，连结OA，ON，OD，.
∵
AB=7.2，CD=2.4，EF=3，点D为AB.EF中点
∴
OC⊥AB，OC⊥MN
设OA=R，则OD=OC-DC=R-2.4，AD=AB=3.6
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=(3.6)2+(R-2.4)2
解得R=3.9
.
在Rt△ONG中，
∴
FN=DG=OG-OD=3.6-(OC-CD)=3.6-(3.9-2.4)=2.1
∵
2＜2.1
∴
货船可以顺利通过这座拱桥
9题图
拓展探究
1.50.
解析：如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∴设半径为r，则OD=r﹣10，
根据题意得：r2=(r﹣10)2+302，
解得：r=50，故答案为50．
1题图
2.过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.
①当AB、CD在点O两侧时，如图1.连接AO、CO，
则AO＝CO＝25
cm，AE＝20
cm，CF＝24
cm.
由勾股定理知OE＝15
cm，OF＝7
cm.
∴EF＝OE＋OF＝22
cm，即AB与CD之间距离为22
cm.
图1
图2
②当AB、CD在点O同侧时，如图2，连接AO、CO.
则AO＝CO＝25
cm，AE＝20
cm，CF＝24
cm.
由勾股定理知OE＝15
cm，OF＝7
cm.
∴EF＝OE－OF＝8
cm，
即AB与CD之间距离为8
cm.
由①②知AB与CD之间的距离为22
cm或8
cm.
3.解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E，
则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
(2)连接OA，OC.
由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
∴CE＝＝＝2，
AE＝＝＝8.
∴AC＝AE－CE＝8－2.24.1.4
圆周角（第2课时）
自主预习
1．如图，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，从数学角度看，此时甲是自己射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？
1题图
2．如图所示，在小岛周围的内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧经过暗礁区，应怎样航行？为什么？
2题图
互动训练
知识点一：圆周角性质
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（ ）
A．54°
B．62°
C．72°
D．82°
2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（ ）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
1题图
2题图
3题图
4题图
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50°
B．65°
C．75°
D．130°
4.（2020?辽宁营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）
A．110°
B．130°
C．140°
D．160°
5．如图，等腰△ABC的底边BC的长为a，以腰AB为直径的⊙O交BC于D点，则BD的长为________．
5题图
6题图
6．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB等于
°．
7．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=130°，则∠AOC的度数是
．
7题图
8题图
8．如图，∠ACD=15°，且，则∠BEC=
．
知识点二：圆周角性质的应用
9.
如图，AB是半圆O的直径，∠BAD=30°，C是弧AD上任意一点，那么∠C的度数是（
）
A．150°
B．120°
C．100°
D．90°
9题图
10题图
10．如图正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP等于（
）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝（ ）
A．（180﹣n）°
B．n°
C．（90﹣n）°
D．（90+n）°
11题图
12题图
13题图
12．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．80°
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
14．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．
15．我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，类似的，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角，顶点在圆内，并且两边都和圆相交的角叫圆内角，如图，∠DPB是圆外角，∠DQB是圆内角，那么∠DPB、∠DQB的度数与它所夹的两段、所对的圆心角∠BOD、∠AOC有什么关系？并说明你的结论．
15题图
课时达标
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，∠C＝
°．
1题图
2题图
3题图
4题图
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为
°．
3.
(2020?江苏盐城)如图，在⊙O中，点A在上，∠BOC＝100°．则∠BAC＝
°．
4．如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝62°，∠E＝24°，则∠F＝
．
5．圆内接四边形ABCD中，对角∠A与∠C的度数的比为4：5，则∠C＝
．
6．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于(
)．
A．64°
B．48°
C．32°
D．76°
6题图
7题图
8题图
9题图
7．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于(
)．
A．37°
B．74°
C．54°
D．64°
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于(
)．
A．69°
B．42°
C．48°
D．38°
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于(
)．
A．70°
B．90°
C．110°
D．120°
10.已知如图，AE是⊙O的直径，AF⊥BC于D，证明：BE＝CF
10题图
11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC＝60°，＝．请判断△ABC的形状，并说明理由．
11题图
12．如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G．
求证：∠FGD＝∠ADC．
12题图
13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．
13题图
拓展探究
1.如图(1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.
(1)求证：△DOE是等边三角形.
(2)如图2，若∠A=60°，AB≠AC，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.
1题图
2．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
2题图
24.1.4
圆周角（第2课时）
自主预习
1．让乙射门好，∵∠MBN＞∠MAN．
2．解：船只在航行的过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全过暗礁区．
如图所示，（1）在外任取一点C，连结CA，CB，设CA交弧APB于F，连结FB，
∵∠AFB=θ，∠AFB>∠C，∴∠C=θ．
2题图
（2）在的弓形内任取一点D，连结AD并延长交于E，连结DB、EB，
∵∠E=θ，∠ADB>∠E，∴∠ADB>θ，
由（1）（2）知，在航标灯A、B所在直线的北侧，在圆弧外任一
点，对A、B的视角都小于θ，
在圆弧上任一点，对A、B的视角都等于θ，在圆弧内任一点，对A、B的视角都大于θ，为此，只有当时两灯塔的视角小于θ的点才是完全的．
互动训练
1.
C.
解析：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，
故选：C．
2.
C.
解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
3.
B.
解析：∵BC＝CD，∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠DAB＝50°，∴∠CAB＝×50°＝25°，
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，故选：B．
4.
B.
解析：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
4题图
5.
a
.
解析：连结AD，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，
又AB=AC，∴BD=DC=a.
6.
130°.
解析：∵圆心角∠AOB的度数为100°，∴劣弧AB的度数是100°，
∴优弧AB的度数是360°-100°=260°，则圆周角∠ACB等于130°.
7.
100°.
解析：∵∠B=130°，∴优弧ADB的度数是260°，∴劣弧ABC的度数是100°，
∴∠AOC的度数是100°.
8.
40°.
解析：∵∠ACD=15°，∴弧AD的度数是30°，
又，
∴弧BC的度数是110°,∴∠BAC=55°，∵∠ACD=15°，∴∠BEC=55°-15°=40°.
9.
B.
10.
C.
11.
B.
解析：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DCE＝∠A＝n°，故选：B．
12.
C.
解析：设∠A、∠C分别为x、2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，故选：C．
13.
C.
解析：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠AOC＝∠B，
∵∠B+∠D＝180°，∠AOC＝2∠D，
∴2∠D+∠D＝180°，
∴∠D＝60°．故选：C．
14.
解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，
所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.
设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°，
则2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.
则2x＝40，7x＝140，8x＝160.
答：这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°.
15.
∠DPB=（∠BOD－∠AOC），∠DQB=（∠BOD+∠AOC）.
在△PAD中，∵∠DAB=∠DPB+∠PDA，∴∠DPB=∠DAB－∠PDA，
∴∠DPB=（∠BOD－∠AOC），
同理：∠DQB=（∠BOD+∠AOC）.
课时达标
1.100.
解析：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C═180°﹣∠A＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100．
2.
60.解析：由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D，
∵∠AOC＝∠B，∴∠B＝2∠D，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，∴∠D+2∠D＝180°，
解得，∠D＝60°，故答案为：60．
3.
130.
解析：如图，取⊙O上的一点D，连接BD，CD，
∵∠BOC＝100°，∴∠D＝50°，∴∠BAC＝180°－50°＝130°，故答案为：130．
3题图
4.
32°.
解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BCF＝∠A＝62°，
∵∠CBF是△ABE的一个外角，
∴∠CBF＝∠A+∠E＝62°+24°＝86°，
∴∠F＝180°﹣∠BCF﹣∠CBF＝180°﹣62°﹣86°＝32°，
故答案为32°．
5.
100°．解析：设∠A为4x，则∠C为5x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即4x+5x＝180°，
解得，x＝20°，∴∠C＝5x＝100°，
故答案为：100°．
6．A
7．B
8．A
9．C
10．证明：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＝90°-∠E，
∵AF⊥BC于D，∴∠FAC＝90°-∠ACB，
∵∠ACB=∠E，∴∠BAE=∠FAC,
∴BE=CF.
11.
解：△ABC是等边三角形，
理由：∵＝，∴AC＝BC，
∵∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
12.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD．
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠FGD＝∠ADC．
13.
解：∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO＋∠BMO＝180°.
∵∠BMO＝120°，∴∠BAO＝60°.
在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，
∴AB＝8.
∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙C的直径．
∴⊙C的半径为4.
拓展探究
1.（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.
∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.
∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.
∴△DOE为等边三角形.
（2）解:当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.
证明：连结CD.
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°.
∴∠ADC=90°.
∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.
∴∠DOE=2∠ACD=60°.
∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.
2.
解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，
又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC.
(2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADF中，∠A＝90°－∠F＝90°－42°＝48°.
(3)连接EF.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A.
∵∠ECD＝∠CEF＋∠CFE，
∴∠A＝∠CEF＋∠CFE.
∵∠A＋∠CEF＋∠CFE＋∠DEC＋∠BFC＝180°，
∴2∠A＋α＋β＝180°.
∴∠A＝90°－.
2题图
