学科
数学
编制人
课时
1
课型
新授
课题
导数与函数极值、最值
学习目标
理解极值的概念和极值点的意义，通过图像直观引入极大值、极小值，极大值点、极小值点的概念正确理解极值与最值的联系与区别，明确定义在闭区间上的连续函数必有一个最大值和一个最小值掌握用导数法求最值，明确最值只有在极值点或区间端点处才能取到
重点
极值与最值的求法
难点
正确理解极值和最值的联系与区别
教学过程设计
【自主预习】1、极值的定义：
设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有_______，则称f(x0)是函数f(x)的一个________，记作________；如果对x0附近的所有点都有_______，则称f(x0)是函数f(x)的一个________，记作________；极大值与极小值统称为__________.对极值定义理解的几点说明：2、利用导数求函数的极值
由下图可知，曲线y=f(x)在极值点x1,x2,x3处的切线与x轴平行或重合，即在这些极值点处：f’(x1)=0,f’(x2)=0,f’(x3)=0在观察一下在极大值点与极小值点附近函数及其导数的取值情况：(1)
在极值点x1处，f’(x1)=0，在x1左侧f’(x)>0，函数是增加的；在x1右侧f’(x)<0，函数是减少的.
x1是f(x)的极大值点.(2)
在极值点x2处，f’(x2)=0，在x2左侧f’(x)<0，函数是减少的；在x2右侧f’(x)>0，函数是增加的.
x2是f(x)的极小值点.(3)
在极值点x3处，f’(x3)=0，在x3左侧f’(x)>0，函数是增加的；在x3右侧f’(x)<0，函数是减少的.
x3是f(x)的极大值点。※如果f’(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f’(x0)不是极值，例如函数f(x)=x3.3、求可导函数y=f(x)极值的步骤：4、函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值
如果y=f(x)在区间[a,b]上函数的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a,b]上一定能够取得________和_________，并且函数的最值必在________或_________处取得.5、求函数[a,b]在上最值的步骤：6、极值和最值的区别：
极值与最值不同，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内或所研究问题的整体的性质.【典例解析】一、函数的极值问题1.已知函数的图像判断函数的极值例1设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f
′(x)．若函数y＝(1－x)f
′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)2.已知函数求极值例2已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2
的极小值点，则函数f(x)的极大值为( )A．15
B．16
C．17
D．183.已知函数的极值求参数例3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )A．－
B．－2
C．－2或－
D．不存在二、函数的最值问题例4设n∈N
，a，b∈R，函数f(x)＝＋b，已知曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的最大值．对点练习已知函数f(x)＝－1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m＞0，求函数f(x)在区间[m,2m]上的最大值．三、函数的极值与最值综合问题例5已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值．若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．作业已知常数a≠0,
f(x)＝aln
x＋
2x.(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．【小结】数学思想：数形结合
分类讨论
62期中复习——导数与函数的极值、最值
[知识要点]
1、
函数的极值
1、（1）函数的极大值：
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都
，且f′(x0)＝0，且f′(x)在x=
x0
附近的左侧
，
右侧
，则x=
x0
叫做函数的极大值点。就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，
记作y极大值＝f(x0)；
（2）函数的极小值：
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都
，且f′(x0)＝0，且f′(x)在x=
x0
附近的左侧
，
右侧
，则x=
x0
叫做函数的极小值点。
就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，
记作y极小值＝f(x0)；极大值和极小值统称为极值．
2、
函数的最值
1．定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；
函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值(极大值或极小值)；
②将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值
(注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函数值即可；闭区间上的连续函数必有最值)．
[类型解析]
1、
函数的极值问题
1.
已知函数的图像判断函数的极值
例1设函数f(x)在定义域R上可导，其导函数为f
′(x)．若函数y＝(1－x)f
′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
2.已知函数求极值
例2已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2
的极小值点，则函数f(x)的极大值为( )
A．15
B．16
C．17
D．18
3.已知函数的极值求参数
例3已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－
B．－2
C．－2或－
D．不存在
二、函数的最值问题
例4设n∈N
，a，b∈R，函数f(x)＝＋b，已知曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)的最大值．
对点练习
已知函数f(x)＝－1.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设m＞0，求函数f(x)在区间[m,2m]上的最大值．
三、函数的极值与最值综合问题
例5已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值．若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．
作业
已知常数a≠0,
f(x)＝aln
x＋
2x.
(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；
(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
小结
数学思想：分类讨论
数形结合(共22张PPT)
导数与函数的极值、最值
一、函数的极值
1．（1）函数的极大值：
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有
，且f′(x0)＝0，
且f′(x)
在x=
x0
附近的左侧
，
右侧
，则x=
x0
叫做函数的极大值点。
就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；
（2）函数的极小值：
设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有
，且f′(x0)＝0，
且f′(x)
在x=
x0
附近的左侧
，
右侧
，则x=
x0
叫做函数的极小值点。
就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)；极大值和极小值统称为极值．
f(x)>f(x0)
f′(x)>0
f(x)＜f(x0)
f′(x)<0
f′(x)<0
f′(x)>0
3．特别提醒：(1)x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是f′(x0)＝0，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．
(2)给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，这一点一定要切记！
2．求函数y＝f(x)在某个区间上的极值的步骤：
(1)求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根x0；解
f′(x)>0,
f′(x)<0.
(3)列表说明f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0的左右的符号；“左正右负”?f(x)在x0处取极大值；“左负右正”?f(x)在x0处取极小值(注：导数为零的点未必是极值点)．
一、函数的极值问题
对点练习
二、函数的最大值和最小值
1．定义：函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；
函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值(极大值或极小值)；
②将y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值
(注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函数值即可；闭区间上的连续函数必有最值)．
3．特别提醒：
①利用导数研究函数的单调性与最值(极值)时，要注意列表！
②要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，
研究函数的性质，数形结合解决方程不等式等相关问题．
二、函数的最值问题
对点练习
三、函数的极值与最值综合问题
小结
综合
分类讨论
数形结合
作业
