24.1.4圆周角

(共18张PPT)
23.1 圆周角
复习旧知：我们是如何给圆心角下定义的？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义，
给∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
探索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
问题2
同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的
大小关系是怎样的？
问题1
同弧（弧AB ）所对的圆周角∠ACB 与 圆周角∠ADB 的
大小关系是怎样的？
（用量角器量一量吧！）
在同圆(或等圆)中,同弧或等弧所对的圆周角相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
探究
怎样证明同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于该弧所对的圆心角的一半？
做一做
在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的
位置关系有几种情况？
分三种情况来证明：
（1）圆心在∠BAC的一边上。
A
O
B
C
∴ ∠A=∠C
证明：∵OA=OC
又∵∠BOC= ∠A +∠C
∴∠BOC=2 ∠A
即∠A = ∠BOC
（2）圆心在∠BAC的内部。
O
A
B
C
D
1
2
1
2
证明:作直径AD。
∵∠BAD= ∠BOD
∠DAC= ∠DOC
∴∠BAD+∠DAC= （∠ BOD+∠DOC）
即: ∠BAC= ∠BOC
1
2
1
2
O
A
B
C
（3）圆心在∠BAC的外部。
D
证明:作直径AD。
∵∠DAB= ∠DOB
∠DAC= ∠DOC
∴ ∠DAC-∠DAB= （∠DOC-∠DOB）
即: ∠BAC= ∠BOC
1
2
1
2
1
2
1
2
综上所述，我们可以得到：
圆周角定理:
在同圆 中，同弧 所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的一半。
或等圆
或等弧
相等，
B
O
A
D
C
E
思考:
相等的圆周角所对的弧相等吗
在同圆或等圆中，
1.求圆中角X的度数
B
A
O
.
70°
x
A
O
.
X
120°
练习:
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠2=∠7
∠1=∠4
∠3=∠6
∠5=∠8
3.如图，∠A是圆O的圆周角，
∠A=40°，求∠OBC的度数。
探索
如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想想看，∠ACB会是怎样的角？
O
C
B
A
思考
90°的圆周角所对的弦是什么
从而得出结论：
90°的圆周角所对的弦是直径
半圆（或直径）所对的圆周角是直角
圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
2.圆周角定理:
在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
3. 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
90°的圆周角所对的弦是圆的直径
小结:
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
七、例题
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
CO= AB,
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB= ×180°= 90°.
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，
且CO= AB
∴ △ABC 为直角三角形.
练 习