人教版九年级上册22.1.4二次函数的图象和性质（Word版 含解析）

人教版九年级上册第二十二章二次函数22.1.4二次函数的图象和性质
一．解答题（共10小题）
1．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB为4m，顶部C距离地面的高度为4.4m，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？
2．如图，已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，且与一次函数y＝﹣x+1交于点B和点C．
（1）求k的值；
（2）求△ABC的面积．
3．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过P点（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数的图象上．
①当m＝﹣2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
4．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值．
6．已知，如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和B（0，﹣2）．
（1）求此抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的面积最大？求出面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c经过与y轴的交点C（0，5），与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（5，0）两点．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）如图一，若点M是抛物线上一点，且在直线BC上方，当S△BCM＝10时，求点M的坐标．
（3）如图二，点P是抛物线上的任意一点，且在直线BC上方，PQ⊥BC交BC一点Q，求线段PQ的最大值．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点P（m，n）关于直线l的对称点为M，将拋物线沿y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
人教版九年级上册第二十二章二次函数22.1.4二次函数的图象和性质
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB为4m，顶部C距离地面的高度为4.4m，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？
【解答】解：以C为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，
根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），
设这个函数解析式为y＝kx2．
将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，
∵货车装货的宽度为2.4m，
∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，
∴当x＝1.2时
y＝﹣1.584，
∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.584＝2.816（m），
因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，
∵2.8＜2.816，
所以该货车能够通过此大门．
2．如图，已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，且与一次函数y＝﹣x+1交于点B和点C．
（1）求k的值；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解；（1）∵抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，
∴＝0，且﹣＜0，
解得，k＝﹣3；
（2）∵k＝﹣3，
∴抛物线为y＝x2+2x+1，
解x2+2x+1＝﹣x+1得，x1＝0，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，4），C（0，1），
由直线y＝﹣x+1可知与x轴的交点D为（1，0），
∵抛物线为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
∴AD＝2，
∴S△ABC＝×2×4﹣＝3．
3．如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过P点（2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数的图象上．
①当m＝﹣2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
【解答】解：（1）把点P（2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2）；
（2）①当m＝﹣2时，n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11．
4．如图，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且S△AOB＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是该抛物线上A、B两点之间的一点，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意得：A（﹣1，0），B（0，a），
∴OA＝1，OB＝﹣a，
∵S△AOB＝．
∴＝，
解得，a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2；
（2）∵A（﹣1，0），B（0，﹣1），
∴直线AB为y＝﹣x﹣1，
过C作CD⊥x轴，交直线AB于点D，
设C（x，﹣（x+1）2），则D（x，﹣x﹣1），
∴CD＝﹣（x+1）2+x+1，
∵S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝[﹣（x+1）2+x+1]×1，
∴S△ABC＝﹣（x+）2+，
∵﹣＜0，
∴△ABC面积的最大值是．
5．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）．连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值．
【解答】解：（1））∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，
∴，解之，得：，
∴故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，
将点B、C的坐标代入得：，解得，
∴直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H，
设点D（m，﹣m2+m+6），则点H（m，﹣m+6）
∴S△BDC＝HD×OB＝（﹣m2+m+6+m﹣6）×4＝2（﹣m2+3m），
∵S△ACO＝××6×2＝，
即：2（﹣m2+3m）＝，
解得：m1＝3，m2＝1（舍去），
故m＝3．
6．已知，如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和B（0，﹣2）．
（1）求此抛物线和直线AB的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的面积最大？求出面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0，﹣2），
∴，
解得：，
所求抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；
设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，
根据题意得，
解得，
所求直线AB的函数表达式为y＝﹣x﹣2；
（2）∵A（﹣2，0），B（0，﹣2），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF＝90°﹣45°＝45°＝∠PED，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD2+DE2＝PE2，PD＝DE，
∴，
∴PE越大，△PDE面积越大．
设点P的坐标为（m，m2+m﹣2），
∴点E坐标为（m，﹣m﹣2），
∴PE＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1（﹣2＜m＜0），
∵﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当m＝﹣1时，PE有最大值1，
此时△PDE的面积为＝＝，
当m＝﹣1，则m2+m﹣2＝1+（﹣1）﹣2＝﹣2．
点P坐标为（﹣1，﹣2）．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c经过与y轴的交点C（0，5），与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（5，0）两点．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）如图一，若点M是抛物线上一点，且在直线BC上方，当S△BCM＝10时，求点M的坐标．
（3）如图二，点P是抛物线上的任意一点，且在直线BC上方，PQ⊥BC交BC一点Q，求线段PQ的最大值．
【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点M作MH∥y轴交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+5，
设点M的坐标为（x，﹣x2+4x+5），则点H（x，﹣x+5），
则MH＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，
则S△BCM＝S△MHB+S△MHC＝×MH×OB＝×（﹣x2+5x）×5＝10，
解得x＝1或4，
故点M的坐标为（1，8）或（4，5）；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
∵OB＝OC＝5，故直线BC与x轴负半轴的夹角为45°，则∠PHC＝45°，
由（2）知，PH＝MH＝﹣x2+5x，
故PQ＝PH＝（﹣x2+5x），
∵＜0．故PQ有最大值，当x＝时，PQ的最大值为．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）令x＝0，则y＝3，
∴点C（0，3），
则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，x2﹣4x+3），
∵PD∥y轴，
∴点D（x，﹣x+3），
∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；
（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，
此时，点P（1，0），
②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵A（3，0），
∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，
此时，点P（2，﹣1），
综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知抛物线的对称轴为直线l，该抛物线上一点P（m，n）关于直线l的对称点为M，将拋物线沿y轴翻折，点M的对应点为N，请问是否存在点P，使四边形OAPN的面积为20？若存在，判断四边形OAPN的形状，并求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过坐标原点和点A（﹣4，0），B（﹣1，3），
∴，
解得：a＝﹣1，b＝﹣4，c＝0，
故此二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x；
（2）如图所示：
由题可知，M、N点坐标分别为（﹣4﹣m，n），（m+4，n），
∴PN∥OA，PN＝|m﹣（m+4）＝4，
∵OA＝4，
∴PN＝OA，
∴四边形OAPN是平行四边形，
∵四边形OAPN的面积＝（OA+NP）÷2×|n|＝20，
即4|n|＝20，
∴|n|＝5．
∴n＝±5，
所以﹣m2﹣4m＝±5，
当﹣m2﹣4m＝5，即m2+4m+5＝0时，
∵△＝16﹣20＜0，不存在，
当﹣m2﹣4m＝﹣5时，
解得m＝﹣5或m＝1．
∴P（﹣5，﹣5）或（1，﹣5）．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．
（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴OB＝3，
∵OC＝OB，
∴OC＝3，
∴c＝3，
∴，
解得：，
∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．
（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），
∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，
∴S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝BF?EF+（OC+EF）?OF﹣?OB?OC
＝（a+3）?（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）?（﹣a）﹣
＝﹣a2﹣a
＝﹣（a+）2+，
∴当a＝﹣时，S△BEC最大，且最大值为．
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（﹣1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，
如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA′+∠MPA＝∠NA′P+∠NPA′＝90°，
∴∠NA′P＝∠NPA，
在△A′NP与△PMA中，
，
∴△A′NP≌△PMA（AAS），
∴A′N＝PM＝m，PN＝AM＝2，
∴A′（m﹣1，m+2），
代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，
解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），
②当m＜0时，要使P2A＝P2A2，由图可知A2点与B点重合，
∵∠AP2A2＝90°，
∴MP2＝MA＝2，
∴P2（﹣1，﹣2），
点P2关于x轴的对称点P3（﹣1，2）也满足条件，
∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，2）．
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