23.4 中位线 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
23.4
中位线
华东师大版
九年级数学上册
学习目标：
1.
经历三角形中位线的性质定理形成过程.
2.
掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题.
3.
通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说理的能力.
学习重点：
三角形中位线的性质定理.
学习难点：
三角形中位线的性质定理的应用.
在
23.3
节中，我们曾得到如下结论：
如图所示，在
△ABC
中，DE∥BC，则△ADE
∽△ABC.
新课导入
A
B
C
E
D
在推理过程中，我们由
DE∥BC
推得
那么当点
D
是AB
的中点时，点
E
也是
AC
的中点
.
A
B
C
E
D
现在换一个角度考虑，如果已知点
D、E
分别
是
AB
与
AC
的中点，那么是否可以推出
DE∥BC？DE
与
BC
之间又存在怎样的数量关系呢？
A
B
C
E
D
推进新课
如图，在△ABC
中，点
D、E
分别是
AB
与
AC
的中点.
根据画出的图形，可以猜想：
猜想
A
B
C
E
D
DE∥BC
，且
在
△ABC
中，
∵
点
D、E
分别是
AB
与
AC
的中点，
∵
∠A
=∠A，
∴
△ADE
∽
△ABC，
∴
∠ADE
=
∠ABC，
∴
DE∥BC
，且
证明
A
B
C
E
D
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
M
N
要证
DE∥BC，
可延长
DE
到
F，
使
EF
=
DE，于是本题就转化为证明
DF
=
BC，
DE∥BC，故只要证明四边形
BCFD
为平行四边形.
思考：本题还有其他的解法吗？
我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
概括
求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知：如图，在
△ABC
中，AD
=
DB，BE
=
EC，AF
=
FC
.
求证：AE、DF
互相平分.
例1
证明
连结
DE、EF.
∵
AD
=
DB，BE
=
EC，
∴
DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）.
同理可得
EF∥BA
.
∴
四边形
ADEF
是平行四边形.
∴
AE、DF
互相平分.
如图，在△ABC
中，D、E
分别是边BC、AB
的中点，AD、CE
相交于点
G
.
求证：
例2
证明
连结
ED.
∵
D、E
分别是边
BC、AB
的中点，
∴
DE∥AC
，
（三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半），
∴
△ACG
∽
△DEG
，
拓展
如果在例2的图中取
AC
的中点
F，假设
BF
与
AD
相交于点
G′，如图，那么我们同理可得
即两图中的
G
与
G′
是重合的，
由此我们可以得出什么结论？
于是，我们有以下结论：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的
.
随堂演练
1.如图，在□ABCD中，有
E、F
分别是AD、BC上的点，且DE
=
CF，BE
和
AF
的交点为
M，CE
和
DF
的交点为
N.
求证：MN∥AD，
解：连结
EF，证四边形
ABFE
和四边形
DCFE
均为平行四边形，得
FM
=
AM，FN
=
DN.
∴MN∥AD，
2.
如图，在四边形ABCD
中，对角线
AC、BD交于点
O，E、F
分别是
AB、CD
的中点，且
AC
=
BD.
求证：OM
=
ON.
解：取BC的中点G，连接EG、FG，
∵
BG
=
CG，BE
=
AE，
EG∥AC
∴
∠ONM
=
∠GEF，
同理
∠OMN
=
∠GFE，
∵
AC
=
BD，∴
GE
=
GF，
∴∠GEF
=∠GFE，
∴∠ONM
=∠OMN，
∴
OM
=
ON.
课堂小结
1.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
2.三角形中位线定理的应用.
3.三角形重心的性质.
课后作业
1.从教材习题中选取，
2.完成练习册本课时的习题.
教学反思
本课时从学过的知识入手猜想中位线的性质，并通过动手画图、操作，证明猜想，体会知识的形成过程，加深对知识的理解.在证明的过程中举一反三，用多种方法证明三角形中位线定理，通过具体的实例分析，提高学生应用知识的能力.
谢谢欣赏