第6讲 图形的旋转-中心对称满分练习题（含解析）

第6讲
图形的旋转-中心对称
知识点1图形的旋转
图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.
图形旋转的性质：
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。
【典例】
1.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是
【答案】20°
【解析】解：如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°。
2.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为
【答案】90°
【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°。
3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为
【答案】180°﹣α
【解析】解：由题意可得，
∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB=180°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，
∴∠CAD=180°﹣α
4.如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为
【答案】8cm
【解析】解：如图，AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，
∵∠BAH=90°﹣60°=30°，
∴AC=2CH=2x，
∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，
∵x?S+x?2S=6?S+6?S，解得x=4，
∴AC=2x=8，
即AB中水柱的长度约为8cm。
【方法总结】
由于旋转前、后两个图形中，对应点与旋转中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点与旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角.
注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心，保持不变的量是对应元素．
【随堂练习】
1．（2019?南平模拟）如图，在矩形false中，false，false，false是对角线false上的动点，连接false，将直线false绕点false顺时针旋转使false，且过false作false，连接false，则false最小值为false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：如图，作false于false，连接false延长false交false于false，作false于false．
false，false，
false，
false，
false，
falsefalse，false，
false，
false，
false定值，
false点false在射线false上运动，
false当false时，false的值最小，
false四边形false是矩形，
false，
false，
false，
false，
false，
false，false，
false，
false，
在false中，false，false，false，
false，false，
false，
false，
false，false，false，
false，
false，
false的最小值为false，
故选：false．
二．填空题（共3小题）
2．（2019?杨浦区校级自主招生）如图，在直角坐标系中，将false绕原点旋转到false，其中false，false，点false在false轴正半轴上，则点false的坐标为　false，false　．
【解答】解：连接false，false．设false．
false，false，
false，false，
false，
false，
false，false，false，
false，
false，
falsefalse，
falsefalse，
false，
由题意：false，
解得：false或false，
false点false在第二象限，
false，false．
故答案为false，false．
3．（2018秋?青山区月考）平面直角坐标系中，false，false，false为false轴上一动点，连接false，将false绕false点顺时针旋转false得到false，当点false在false轴上运动，false取最小值时，点false的坐标为　false　．
【解答】解：如图，作false轴于false．
false，false，
false，false，
false，false，
false，false，
false，
false，
false，false，
false，
令false，false，
false，
false点false在直线false上运动，设直线false交false轴于false，交false轴于false，
作false于false，则直线false的解析式为false，
由false，解得false，
false，
根据垂线段最短可知，当点false与点false重合时，false的值最小，此时false，
故答案为：false
4．（2018秋?思明区校级月考）四边形false是边长为4的正方形，点false是平面内一点．且满足false，现将点false绕点false顺时针旋转90度，则false的最大值false　false　．
【解答】解：如图，false，
false，
false点false的运动轨迹是以false为直径的园，
false，false，
false点false的运动轨迹是圆，且和点false的运动轨迹是等圆，圆心false在false的延长线上，
（可以利用旋转法证明：取false的中点false，连接false，false，将false绕点false顺时针旋转false得到false，连接false，只要证明false即可，推出false的值）
在false中，false，
false当点false在false的延长线上时，false的长最大，最大值为false，
故答案为false．
三．解答题（共7小题）
5．（2019春?西岗区期末）在平面直角坐标系中，点false的坐标为false，点false和点false的坐标分别为false，false，且false，四边形false是菱形．
（1）如图，当四边形false为正方形时，求false，false的值．
（2）探究：当false为何值时，菱形false的对角线false的长度最短，并求出false的最小值．
【解答】解：（1）如图1中，作false轴于false．
false四边形false是正方形，
false，false，
false，false，
false，
false，
false，false，
false，false，
false，false，false，
false，false，
false，false．
（2）如图2中，作false轴于false，false轴于false．
false四边形false是菱形，
false，
false，false，
false，false，
false，
false，
false点false的运动轨迹是直线false，
由题意false，观察图形可知当点false与原点重合时，false的值最小，此时菱形的边长false，
作false于false．则false，false，
false的最小值为false．
6．（2019春?固始县期末）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线false上，其中false，false
（1）观察猜想
将图1中的三角尺false沿false的方向平移至图②的位置，使得点false与点false重合，false与false相交于点false，则false　105　false．
（2）操作探究
将图1中的三角尺false绕点false按顺时针方向旋转，使一边false在false的内部，如图3，且false恰好平分false，false与false相交于点false，求false的度数；
（3）深化拓展
将图1中的三角尺false绕点false按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边false旋转　　false时，边false恰好与边false平行．（直接写出结果）
【解答】解：（1）false，false，
false．
故答案为：false．
（2）false平分false，
false，
false，
false，
false；．
（3）如图1，false在false上方时，设false与false相交于false，
false，
false，
在false中，false，
false，
false，
当false在false的下方时，设直线false与false相交于false，
false，
false，
在false中，false，
false旋转角为false，
综上所述，当边false旋转false或false时，边false恰好与边false平行．
故答案为：75或255．
7．（2019春?郓城县期末）如图，在等边false中，点false是false边上一点，连接false，将线段false绕点false按顺时针方向旋转false后得到false，连接false．求证：false．
【解答】解：false是等边三角形，
false，false，
false线段false绕点false顺时针旋转false得到false，
false，false，
false，
即false，
false，
在false与false中，
false，
false，
false，
false，
false．
8．（2018秋?秦淮区期末）探索新知：
如图1，射线false在false的内部，图中共有3个角：false，false和false，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线false是false的“巧分线”．
（1）一个角的平分线　是　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”
false
（2）如图2，若false，且射线false是false的“巧分线”，则false　
　；（用含false的代数式表示出所有可能的结果）
深入研究：
如图2，若false，且射线false绕点false从false位置开始，以每秒false的速度逆时针旋转，当false与false成false时停止旋转，旋转的时间为false秒．
（3）当false为何值时，射线false是false的“巧分线”；
（4）若射线false同时绕点false以每秒false的速度逆时针旋转，并与false同时停止，请直接写出当射线false是false的“巧分线”时false的值．
【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”
false
故答案为：是
（2）false，
false或false或false；
故答案为false或false或false；
深入研究：
（3）依题意有
①false，
解得false；
②false，
解得false；
③false，
解得false．
故当false为9或12或18时，射线false是false的“巧分线”；
（4）依题意有
①false，
解得false；
②false，
解得false；
③false，
解得false．
故当false为2.4或4或6时，射线false是false的“巧分线”．
9．（2019?沂南县模拟）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形false与边长为false的正方形false按图1位置放置，false与false在同一直线上，false与false在同一直线上．
（1）小明发现false，请你帮他说明理由；
（2）如图2，小明将正方形false绕点false逆时针旋转，当点false恰好落在线段false上时，请你帮他求出此时false的长．
【解答】解：（1）如图1，延长false交false于点false，
false和false为正方形，
false在false和false中，
false，
false，
false，
false，
false，
false；
（2）如图2，过点false作false交false于点false，
false和false为正方形，
false在false和false中，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false．
10．（2019春?资阳期末）将两块全等的含false角的直角三角形按图1的方式放置，已知false，则false．
（1）固定三角板false，然后将三角板false绕点false顺时针方向旋转至图2的位置，false与false、false分别交于点false、false，false与false交于点false．
①填空：当旋转角等于false时，false　160　度；
②当旋转角等于多少度时，false与false垂直？请说明理由．
（2）将图2中的三角板false绕点false顺时针方向旋转至图3的位置，使false，false与false交于点false，试说明false．
【解答】解：（1）①由旋转的性质得，false，
false，
false，
false，
false；
②当false与false垂直时，false，
false，
false，由已知易得false，
false，
false，
即当旋转角等于false时，false与false垂直．
（2）false，
false，
false，
false，
又false由旋转的性质得，false，
false．
11．（2019春?雁江区期末）将两块全等的含false角的直角三角板按图1的方式放置，已知false，false．
（1）固定三角板false，然后将三角板false绕点false顺时针方向旋转至图2的位置，false与false、false分别交于点false、false，false与false交于点false．
①填空：当旋转角等于false时，false　160　度；
②当旋转角等于多少度时，false与false垂直？请说明理由．
（2）将图2中的三角板false绕点false顺时针方向旋转至图3的位置，使false，false与false交于点false，试说明false．
【解答】解：（1）①由旋转的性质得，false，
false，
false，
false，
false；
②false，
false，
false，
false旋转角为false；
（2）false，
false，
false，
false，
又false由旋转的性质得，false，
false．
知识点2
中心对称
1．中心对称图形与对称中心：
在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
2．中心对称和对称中心：
在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。
3．中心对称和中心对称图形的关系：
它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特性；成中心对称是针对两个图形而言，表示两个图形之间的对称关系，二者是相对的。
4．中心对称的特征：
成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
【典例】
1.如图，已知
AB=3，AC=1，∠D=90°，△DEC
与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是　
．
【答案】　
【解析】解：∵△DEC
与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC=AC=1，DE=AB=3，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：=
2.若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，若AB=5，AC=3，则EF的范围是　
　
【答案】2＜EF＜8
【解析】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，AB=5，AC=3，
∴DE=5，DF=3
∴EF的取值范围为：2＜EF＜8
3.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为　　
．
【答案】6
【解析】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，
∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
4.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是　　
．
【答案】（4n+1，）
【解析】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．
【方法总结】
1．对称中心的确定：
将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是对称中心
2．关于中心对称的作图：
（1）确定对称中心；
（2）确定关键点；
（3）作关键点的关于对称中心的对称点；
（4）连结各点，得到所需图形。
【随堂练习】
1．（2019春?合浦县期中）如图，false与false关于点false对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角．
【解答】解：对称点为：false和false、false和false、false和false；
相等的线段有false、false、false；
相等的角有：false，false，false．
2．（2019春?港南区期中）如图，在false中，点false是false边上的中点，已知false，false，
（1）画出false关于点false的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段false长的取值范围．
【解答】解：（1）所画图形如下所示：
false就是所作的图形．
（2）由（1）知：false，
则false，false，
false，即false，
false，
解得：false．
知识点3
中心对称综合应用
在解平面几何题目的过程中，我们常把中心对称作为一种解题技巧。由于对称中心为对应点连线的中点，所以遇有线段中点问题，且有以中点为另外一条线段端点时，我们一般把以中点为端点的这条线段反向延长一倍，来构成中心对称图形，即常说的“倍长中线”，实际上“倍长中线”就是“中心对称综合应用”的一种迁变称谓。
【典例】
1.如图，在△ABC中，D为BC上任一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：点E，F关于AD的中点对称．
【解析】证明：如图，连接EF交于点O．
∵DE∥AC交AB与E，DF∥AB交AC于F，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴点E，F关于AD的中点对称．
2.如图，已知：AB∥CD∥FE，AF∥BC∥DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、要求：对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）．
【解析】解：（1）无数．均经过两条对角线的交点．
（2）延长BC交EF于点M，连接AM、BF交于点P，连接CE、DM交于点Q，过P、Q的直线将这个图形分成面积相等的两部分，因为PQ既将平行四边形ABMF的面积平分，又将平行四边形CDEM的面积平分，所以直线PQ即为所求．
（3）如图所示：
3.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
【解析】解：（1）如图，延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG，DF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴BE2+CF2=EF2．
【方法总结】
倍长中线构图后，一般是先证两个“8字型”三角形全等，再根据内错角相等，随后可推证两个“8字”底边平行，再结合已知条件逐步展开，获取进一步解题条件。
【随堂练习】
1．（2018秋?大丰区期末）在false中，false，false．将线段false绕着点false逆时针旋转得到线段false，旋转角为false，且false，连接false、false．
（1）如图1，当false时，false的大小为　false　；
（2）如图2，当false时，false的大小为　　；（提示：可以作点false关于直线false的对称点）
（3）当false为　　false时，可使得false的大小与（1）中false的结果相等．
【解答】解：（1）false，false，
false，当false时，
由旋转的性质得false，
false是等边三角形，
false，
false，
false，false，
false，
false，
故答案为：false；
（2）如图2所示；作点false关于false的对称点false，连接false、false、false、false．
则false，
false，false，
false，
false是等边三角形，
false，false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
故答案为false
（3）①由（1）可知，false时可得false，false，
false，
false．
②如图3，翻折false到△false，
则此时false，
false，
false；
③以false为圆心false为半径画圆弧交false的延长线于点false，连接false，
false，
false，
false．
综上所述，false为false或false或false时，false．
故答案为60或20或140．
2．（2019?安徽二模）如图，三角形false是三角形false经过某种变换后得到的图形，分别观察点false与点false，点false与点false，点false与点false的坐标之间的关系．
（1）若三角形false内任意一点false的坐标为false，点false经过这种变换后得到点false，根据你的发现，点false的坐标为　false　．
（2）若三角形false先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形false，画出三角形false并求三角形false的面积．
（3）直接写出false与false轴交点的坐标　　．
【解答】解：（1）如图，点false与点false关于原点对称，
false点false的坐标为false，
故答案为：false；
（2）如图，△false即为所求，
false；
（3）设直线false解析式为false，
把false，false代入，可得
false，
解得false，
false直线false解析式为false，
当false时，false，即false与false轴交点的坐标为false．
故答案为：false．
3．（2019春?锡山区校级期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系false的原点false在格点上，false轴、false轴都在格线上．线段false的两个端点也在格点上．
（1）若将线段false绕点false顺时针旋转false得到线段false．试在图中画出线段false；
（2）若线段false与线段false关于false轴对称，请画出线段false；
（3）若点false是此平面直角坐标系内的一点，当点false、false、false、false四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点false的坐标．
【解答】解：（1）如图，线段false为所作；
（2）如图，线段false为所作；
（3）false
点坐标为false、false、false．
4．（2019春?洛江区期末）为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草．现将这块空地按下列要求分成四块：
（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；
（2）四块图形形状相同；
（3）四块图形面积相等．
现已有两种不同的分法：
（1）分别作两条对角线（如图中的图（1）false；
（2）过一条边的四等分点作这边的垂线段（图（2）false（图（2）中两个图形的分割看作同一方法）．
请你按照上述三个要求，分别在图（3）、图（4）两个正方形中画出另外两种不同的分割方法．（正确画图，不写画法）
【解答】解：如图所示：
．
5．（2019春?长春期末）如图所示，在false的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出false，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
（1）图①中所画的三角形与false组成的图形是轴对称图形；
（2）图②中所画的三角形与false组成的图形是中心对称图形．
【解答】解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
综合运用：图形的旋转
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
【解析】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，将△ABC绕点B旋转θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q，当△BPQ为等腰三角形时，求旋转角θ值。
【解析】解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，
∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，
∴∠BPQ=（180°﹣∠C'PQ）=90°﹣θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，
∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，
∴90°﹣θ+2×（30°+θ）=180°，
解得θ=20°；
②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，
即90°﹣θ=30°+θ，
解得θ=40°；
③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°﹣θ，
又∵∠BQP=30°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°﹣θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），
综上，θ值为：20°或40°。
答：θ值为：20°或40°。
3.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD为中线，将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接BE，F为AC上一点，连接BF，∠ABE=∠AFB，AF=6，BE=7，则CF的长多少？
【解析】解：如图，过点D作DH∥BF交AC于点H，过点F作FI⊥BA的延长线于点I，
∵∠BAC=∠EAD=120°
∴∠EAB=DAH，
∵DH∥BF，
∴∠AFB=AHD，
∵∠ABE=∠AFB，
∴∠ABE=∠AHD
在△AEB与△ADH
∴△AEB≌△ADH（AAS）
∴AB=AH，BE=DH=7
设FH=x，
∴AH=AB=6+x，
∵∠FAI=60°，
∴AI=AF=3
由勾股定理可知：IF=3，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∵DH∥BF
∴DH是△CBF的中位线，
∴BF=14，
在Rt△BFI中，
由勾股定理可知：（6+x+3）2+（3）2=142
∴x=4
∴CF=2FH=8
答：CF长为8。
4.如图，在△ABC中，AB=5a，AC=3a（a>0），求中线AD的取值范围。
【解析】解：延长AD至AE，交BC于D，使DE=AD。连接EC。
∵∠EDC和∠BDA是对顶角，∴∠EDC=∠BDA，
又∵D是BC的中点，∴BD=DC。
在△ABD和△CDE中：DE=AD，∠EDC=∠BDA，BD=DC
∴△ABD≌△CDE(SAS)，∴AB=EC=5a，
∵△ACE中，
∴AC+EC>AE>EC-AC，
又∵AC=3a，EC=5a，
∴AE的取值范围为：5a+3a>AE>5a-3a，
即8a>AE>2a，
由题意得：AE=2AD，∴8a>2AD>2a，即4a>AD>a。
5.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．
【解析】证明：延长AE到M，使EM=AE，连结DM，如图所示：
∵E是DC的中点，
∴AE=CE，
在△DEM和△CEA中，，
∴△DEM≌△CEA（SAS），
∴∠C=∠MDE，DM=AC，
又BD=DC=AC，
∴DM=BD，∠ADC=∠CAD，
又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，
∴∠ADM=∠ADB，
在△ADB和△ADM中，，
∴△ADB≌△ADM（SAS），
∴∠BAD=∠MAD，
即AD平分∠BAE