第6讲 图形的旋转-中心对称提高练习题（含解析）

第6讲 图形的旋转-中心对称
知识点1图形的旋转
图形的旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
旋转的三个要素：旋转中心、旋转的角度和旋转方向.
图形旋转的性质：
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等。
【典例】
1.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是
【答案】20°
【解析】解：如图．
∵∠AOC=∠2=50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°=20°。
2.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为
【答案】90°
【解析】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°。
3.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为
【答案】180°﹣α
【解析】解：由题意可得，
∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，
∵∠EDB+∠ADB=180°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，
∴∠CAD=180°﹣α
4.如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为
【答案】8cm
【解析】解：如图，AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，
∵∠BAH=90°﹣60°=30°，
∴AC=2CH=2x，
∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，
∵x?S+x?2S=6?S+6?S，解得x=4，
∴AC=2x=8，
即AB中水柱的长度约为8cm。
【方法总结】
由于旋转前、后两个图形中，对应点与旋转中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点与旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角.
注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心，保持不变的量是对应元素．
【随堂练习】
1．（2019春?滨湖区期末）如图，false中，false，false，将false绕点false逆时针旋转得到false，若点false的对应点false落在false边上，则旋转角为false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解答】解：false，false，
false，
false将false绕点false逆时针旋转得到false，点false的对应点false落在false边上，
false旋转角false，
故选：false．
2．（2019春?泰州期末）点false经过某种图形变化后得到点false，这种图形变化可以是false　　false
A．关于false轴对称 B．关于false轴对称
C．绕原点逆时针旋转false D．绕原点顺时针旋转false
【解答】解：如图，观察图象可知：点false绕原点false逆时针旋转false得到点false．
故选：false．
3．（2019春?罗湖区期末）等边三角形false的边长为6，点false是三边垂直平分线的交点，false，false的两边false，false与false，false分别相交于false，false，false绕false点顺时针旋转时，下列四个结论正确个数是false　　false
①false；②false；③false；④false周长最小值是9
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：连接false、false，如图，
false为等边三角形，
false，
false点false是等边false的内心，
false，false、false分别平分false和false，
false，
false，即false，
而false，即false，
false，
在false和false中，false，
false，
false，false，①正确；
false，
false四边形false的面积false，③错误；
作false，如图，则false，
false，
false，
false，false，
false，
false，
即false随false的变化而变化，
而四边形false的面积为定值，
false；②错误；
false，
false的周长false，
当false时，false最小，false的周长最小，此时false，
false周长的最小值false，④正确．
故选：false．
4．（2019春?历下区期末）如图，将false绕点false顺时针旋转false得到false．若点false，false，false在同一条直线上，则false的度数是false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解答】解：由题意：false，false，false共线，
又false，false，
false，
故选：false．
5．（2019春?西陵区期中）如图，点false的坐标为false，false为坐标原点，将false绕点false按顺时针方向旋转false得到false，则点false的坐标是false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解答】解：观察图象可知false，
故选：false．
6．（2019春?桂林期末）如图，正方形false的对角线false与false相交于点false．将false绕点false顺时针旋转，设旋转角为false，角的两边分别与false，false交于点false，false，连接false，false，false，下列四个结论：
①false；②false；③false；④false；其中正确结论的个数是false　　false
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：false四边形false是正方形
false，false，false，false
false将false绕点false顺时针旋转，
false，且false，false
false
false，false
false
false
false
故②正确
false
false点false，点false，点false，点false四点共圆
false
故①错误
false，false，false
false
故③正确
false，false
false
false，
false；
故④正确
故选：false．
7．（2019春?灞桥区校级期末）已知等边false的边长为4，点false是边false上的动点，将false绕点false逆时针旋转false得到false，点false是false边的中点，连接false，则false的最小值是false　　false
A．false B．false C．2 D．不能确定
【解答】解：如图，由旋转可得false，
又false，
false，
false点false是false边的中点，
false，
当false时，false的长最小，
此时，false，
false，
false，
false的最小值是false，
故选：false．
8．（2019春?沙县期末）如图，在false中，false，false，false，将false绕点false逆时针旋转false得到△false，连接false，则false的长为false　　false
A．false B．false C．4 D．6
【解答】解：false将false绕点false逆时针旋转false得到△false，
false，false，
false，false，false，
false，
false在false中，false．
故选：false．
9．（2019?滨海新区模拟）如图，点false是等边三角形false内的一点，false，将false绕点false按顺时针旋转false得到false，则下列结论不正确的是false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解答】解：由旋转的性质得，false，false，false，false，
false，
false，
false为等边三角形，
false，故false，false正确；
false，false，
false，
false，故false正确；
故选：false．
10．（2019?宜昌）如图，平面直角坐标系中，点false在第一象限，点false在false轴的正半轴上，false，false，将false绕点false逆时针旋转false，点false的对应点false的坐标是false　　false
A．false B．false，false C．false，false D．false
【解答】解：如图，作false轴于false．
由题意：false，false，
false，
false，false，
false，
false，false，
故选：false．
11．（2019?张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形false绕点false顺时针旋转false后得到正方形false，依此方式，绕点false连续旋转2019次得到正方形false，那么点false的坐标是false　　false
A．false，false B．false C．false，false D．false
【解答】解：false四边形false是正方形，且false，
false，
false将正方形false绕点false逆时针旋转false后得到正方形false，
false，false，false，false，false，false，
发现是8次一循环，所以false余3，
false点false的坐标为false，false
故选：false．
12．（2019?福建模拟）如图，在平面直角坐标系中，false位于第二象限，点false的坐标是false，先把false向右平移3个单位长度得到△false，再把△false绕点false顺时针旋转
false得到△false，则点false的对应点false的坐标是false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解答】解：观察图象可知false，
故选：false．
二．填空题（共2小题）
13．（2019春?来宾期末）如图，将直角三角形纸片false置于平面直角坐标系中，已知点false，false，将直角三角形纸片绕其右下角的顶点依次按顺时针方向旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，false，则直角三角形纸片旋转2019次后，其直角顶点与坐标轴原点的距离为　8076　．
【解答】解：false，false，
false，false，
false，
false，
false，
false三次一个循环，false，
false直角三角形纸片旋转2019次后，直角顶点在false轴上，
到原点的距离false，
故答案为8076．
14．（2019春?成华区期末）如图，false是等边三角形false内一点，将线段false绕点false顺时针旋转false得到线段false，连接false．若false，false，false，则四边形false的面积为　false　．
【解答】解：连结false，如图，
false为等边三角形，
false，false，
false线段false绕点false顺时针旋转false得到线段false，
false，false，
false为等边三角形，
false，
false，false，
false，且false，false
false，
false，
在false中，false，false，false，
false，
false为直角三角形，false，
false，
故答案为：false．
三．解答题（共1小题）
15．（2019春?泉州期末）已知false是等边三角形，false是false上一点，false绕点false逆时针旋转到false的位置．
（1）如图，旋转中心是　false　，false　　false；
（2）如图，如果false是false的中点，那么经过上述旋转后，点false转动了　　度；
（3）如果点false为false边上的三等分点，且false的面积为3，那么四边形false的面积为　　．
【解答】解：（1）false为等边三角形，
false
false绕点false逆时针旋转到false的位置，
false旋转中心是点false，false；
（2）false和false为对应边，
false经过上述旋转后，点false转到了false的中点位置，如图，
false，
false点false转动了false；
（3）false绕点false逆时针旋转到false的位置，
false，
false，
false，
false，
false．
故答案为点false，60；60；false．
知识点2 中心对称
1．中心对称图形与对称中心：
在平面内，某一图形绕某一点旋转180°后能与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
2．中心对称和对称中心：
在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点。
3．中心对称和中心对称图形的关系：
它们都是图形关于某点成中心对称，但中心对称图形是指一个图形，表示一个图形的特性；成中心对称是针对两个图形而言，表示两个图形之间的对称关系，二者是相对的。
4．中心对称的特征：
成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且都被对称中心平分；
反之，如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且都被该点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
【典例】
1.如图，已知 AB=3，AC=1，∠D=90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是　 ．
【答案】　
【解析】解：∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC=AC=1，DE=AB=3，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：=
2.若△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，若AB=5，AC=3，则EF的范围是　 　
【答案】2＜EF＜8
【解析】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且A、B、C的对称点分别为D、E、F，AB=5，AC=3，
∴DE=5，DF=3
∴EF的取值范围为：2＜EF＜8
3.如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为　　 ．
【答案】6
【解析】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，
∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
4.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是　　 ．
【答案】（4n+1，）
【解析】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，
∴点A2的坐标是（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，
∴点A3的坐标是（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，
∴点A4的坐标是（7，﹣），
…，
∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．
【方法总结】
1．对称中心的确定：
将其中的两个关键点和它们的对称点的连线作出来，两条连线的交点就是对称中心
2．关于中心对称的作图：
（1）确定对称中心；
（2）确定关键点；
（3）作关键点的关于对称中心的对称点；
（4）连结各点，得到所需图形。
【随堂练习】
1．（2019春?宜城市期末）如图，在平面直角坐标系中，false的顶点false在false轴上，定点false的坐标为false，若直线经过点false，且将平行四边形false分割成面积相等的两部分，则直线false的表达式是false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解答】解：false点false的坐标为false，
false平行四边形的对称中心坐标为false，
设直线false的函数解析式为false，
则false，
解得false，
false直线false的解析式为false．
故选：false．
2．（2019?呼和浩特）已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点false、false、false、false按逆时针依次排列，若false点的坐标为false，则false点与false点的坐标分别为false　　false
A．false，false B．false，false，false，false
C．false，false，false D．false，false
【解答】解：如图，连接false、false，过点false作 false轴于点false，过点false作false轴于点false，
易证false，
false，false，
false，false，
false、false关于原点对称，
false，false，
故选：false．
3．（2019春?江宁区期中）如图①，正方形false的一个顶点与正方形false的对称中心重合，重叠部分面积是正方形false面积的false，如图②，移动正方形false的位置，使正方形false的一个顶点与正方形false的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形false面积的false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解答】解：
设正方形false对角线的交点为false，如图1，
设正方过点false作边的垂线，则false，false，
false，false，
false，
在false和false中
false，
false，
false阴影部分的面积false，
即图1中阴影部分的面积false正方形false的面积的四分之一，
同理图2中阴影部分烦人面积false正方形false的面积的四分之一，
false图①，正方形false的一个顶点与正方形false的对称中心重合，重叠部分面积是正方形false面积的false，
false正方形false的面积false正方形false的面积的2倍，
false图2中重叠部分面积是正方形false面积的false，
故选：false．
二．填空题（共2小题）
4．（2019春?秦淮区期末）如图，在false中，false，false，false，以false为一边作正方形false设正方形的对称中心为false，连接false，则false　false　．
【解答】解：如图，连接false，false，false，过false作false，交false的延长线于false，
false是正方形false的对称中心，
false，false，
false，
false，
false，
false四边形false中，false，
又false，
false，
false，
false，false，
false，false，
false，
故答案为：false．
5．（2018秋?新疆期末）已知点false关于原点的对称点在第四象限，则false的取值范围是　false　．
【解答】解：false关于原点对称的点在第四象限，
false点在第二象限，
false，
解得：false，
故答案为：false．
三．解答题（共1小题）
6．（2019春?宿州期中）如图，false是false边false的中点，连接false并延长到点false，使false，连接false．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若false的面积为4，求false的面积．
【解答】解：（1）图中false和三角形false成中心对称；
（2）false和三角形false成中心对称，false的面积为4，
false的面积也为4，
false为false的中点，
false的面积也为4，
所以false的面积为8．
知识点3 中心对称综合应用
在解平面几何题目的过程中，我们常把中心对称作为一种解题技巧。由于对称中心为对应点连线的中点，所以遇有线段中点问题，且有以中点为另外一条线段端点时，我们一般把以中点为端点的这条线段反向延长一倍，来构成中心对称图形，即常说的“倍长中线”，实际上“倍长中线”就是“中心对称综合应用”的一种迁变称谓。
【典例】
1.如图，在△ABC中，D为BC上任一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：点E，F关于AD的中点对称．
【解析】证明：如图，连接EF交于点O．
∵DE∥AC交AB与E，DF∥AB交AC于F，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴点E，F关于AD的中点对称．
2.如图，已知：AB∥CD∥FE，AF∥BC∥DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、要求：对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）．
【解析】解：（1）无数．均经过两条对角线的交点．
（2）延长BC交EF于点M，连接AM、BF交于点P，连接CE、DM交于点Q，过P、Q的直线将这个图形分成面积相等的两部分，因为PQ既将平行四边形ABMF的面积平分，又将平行四边形CDEM的面积平分，所以直线PQ即为所求．
（3）如图所示：
3.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
（1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
【解析】解：（1）如图，延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG，DF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴BE2+CF2=EF2．
【方法总结】
倍长中线构图后，一般是先证两个“8字型”三角形全等，再根据内错角相等，随后可推证两个“8字”底边平行，再结合已知条件逐步展开，获取进一步解题条件。
【随堂练习】
1．（2019春?潍城区期末）放大镜中的四边形与原四边形的关系是false　　false
A．平移 B．相似 C．旋转 D．成轴对称
【解答】解：因为放大前后的两个四边形的形状没变，而相似图形是指形状相同的图形，所以它们是相似的．
故选：false．
2．（2019春?南召县期末）如图，false四点在同一条直线上，false，则下列结论正确的是false　　false
A．false和false成轴对称
B．false经过旋转可以和false重合
C．false和false成中心对称
D．false经过平移可以和false重合
【解答】解：false，
false，false，false，
false，false，
false经过平移可以得到false，
故选：false．
3．（2019?岳阳二模）如图，在平面直角坐标系中，false的顶点坐标分别为false，false，false，点false绕点false旋转false得到点false，点false绕点false旋转false得到点false，点false绕点false旋转false得到点false，点false绕点false旋转false得到点false，false，按此作法进行下去，则点false的坐标为false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解答】解：如图所示，false，false，false，false，false，false，
发现6次一个循环，
false，
false点false的坐标与false的坐标相同，即false，
故选：false．
4．（2019?房山区二模）如图，false是false经过某种变换后得到的图形．false内任意一点false的坐标为false，点false经过这种变换后得到点false，点false的坐标是false　　false
A．false B．false C．false D．false
【解答】解：如图，点false与点false关于原点对称，false点false的坐标为false，
故选：false．
5．（2019?江汉区模拟）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距false的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在false的正方形网格图形中（如图false，从点false经过一次跳马变换可以到达点false，false，false，false等处．现有false的正方形网格图形（如图false，则从该正方形的顶点false经过跳马变换到达与其相对的顶点false，最少需要跳马变换的次数是false　　false
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：如图1，连接false，false，则false，
false两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，
又false，
false，（不是整数）
false按false的方向连续变换4次后，相当于向右移动了false格，向上移动了false格，
此时false位于如图2所示的正方形网格的点false处，再按如图所示的方式变换4次即可到达点false处，
false从该正方形的顶点false经过跳马变换到达与其相对的顶点false，最少需要跳马变换的次数是false次，
故选：false．
二．填空题（共3小题）
6．（2019?广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图false拼出来的图形的总长度是　false　（结果用含false，false代数式表示）．
【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度false．
故答案为：false．
7．（2018秋?绍兴期末）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移false个单位，再绕原点按顺时针方向旋转false角度，这样的图形运动叫作图形的false变换．如图，等边false的边长为1，点false在第一象限，点false与原点0重合，点false在false轴的正半轴上．△false就是false经false变换后所得的图形，则点false的坐标是　false，false　．
【解答】解：如图所示，过点false作false轴于点false，
false是等边三角形，且false，
false，false，
false点false坐标为false，false，
则向右平移1个单位后对应点的坐标为false，false，
false经false变换后所得的△false的顶点false的坐标为false，false，
故答案为：false，false．
8．（2019春?内乡县期末）如图，在直角三角形false中，false，false，先以点false为旋转中心，将false按逆时针方向旋转false，得△false．然后以直线false为对称轴，将△false轴对称变换，得△false，则false与false所成的false的度数为　75　度．
【解答】解：false按逆时针方向旋转false，得△false，
false，
false．
而false．
又false，
false．
三．解答题（共2小题）
9．（2019春?徐州期末）如图，false三个顶点的坐标分别为false，false，false
（1）请画出false关于原点对称的△false；
（2）四边形false为　平行　四边形；
（3）点false为平面内一点，若以点false、false、false、false为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点false坐标．
【解答】解：（1）△false如图所示．
（2）连接false，false，
false，false，
false四边形false为平行四边形，
故答案为平行．
（3）如图所示，满足条件的点false的坐标为false，false，false．
10．（2019春?宁德期末）如图，在平面直角坐标系中，false的顶点坐标分别是false，false，false．
（1）将false平移得到△false，且false的坐标是false，画出△false；
（2）将false绕点false逆时针旋转false得到△false，画出△false；
（3）小娟发现△false绕点false旋转也可以得到△false，请直接写出点false的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△false即为所求；
（2）如图所示，△false即为所求；
（3）如图所示，点false即为所求，点false的坐标为false．
综合运用：图形的旋转
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．
【解析】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，
∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=45°，
由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=67.5°
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，将△ABC绕点B旋转θ（0＜θ＜60°）到△A′BC′，边AC和边A′C′相交于点P，边AC和边BC′相交于Q，当△BPQ为等腰三角形时，求旋转角θ值。
【解析】解：如图，过B作BD⊥AC于D，过B作BE⊥A'C'于E，
由旋转可得，△ABC≌△A'BC'，则BD=BE，
∴BP平分∠A'PC，
又∵∠C=∠C'=30°，∠BQC=∠PQC'，
∴∠CBQ=∠C'PQ=θ，
∴∠BPQ=（180°﹣∠C'PQ）=90°﹣θ，
分三种情况：
①如图所示，当PB=PQ时，∠PBQ=∠PQB=∠C+∠QBC=30°+θ，
∵∠BPQ+∠PBQ+∠PQB=180°，
∴90°﹣θ+2×（30°+θ）=180°，
解得θ=20°；
②如图所示，当BP=BQ时，∠BPQ=∠BQP，
即90°﹣θ=30°+θ，
解得θ=40°；
③当QP=QB时，∠QPB=∠QBP=90°﹣θ，
又∵∠BQP=30°+θ，
∴∠BPQ+∠PBQ+∠BQP=2（90°﹣θ）+30°+θ=210°＞180°（不合题意），
综上，θ值为：20°或40°。
答：θ值为：20°或40°。
3.如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD为中线，将AD绕点A顺时针旋转120°得到AE，连接BE，F为AC上一点，连接BF，∠ABE=∠AFB，AF=6，BE=7，则CF的长多少？
【解析】解：如图，过点D作DH∥BF交AC于点H，过点F作FI⊥BA的延长线于点I，
∵∠BAC=∠EAD=120°
∴∠EAB=DAH，
∵DH∥BF，
∴∠AFB=AHD，
∵∠ABE=∠AFB，
∴∠ABE=∠AHD
在△AEB与△ADH
∴△AEB≌△ADH（AAS）
∴AB=AH，BE=DH=7
设FH=x，
∴AH=AB=6+x，
∵∠FAI=60°，
∴AI=AF=3
由勾股定理可知：IF=3，
∵AD是△ABC的中线，
∴点D是BC的中点，
∵DH∥BF
∴DH是△CBF的中位线，
∴BF=14，
在Rt△BFI中，
由勾股定理可知：（6+x+3）2+（3）2=142
∴x=4
∴CF=2FH=8
答：CF长为8。
4.如图，在△ABC中，AB=5a，AC=3a（a>0），求中线AD的取值范围。
【解析】解：延长AD至AE，交BC于D，使DE=AD。连接EC。
∵∠EDC和∠BDA是对顶角，∴∠EDC=∠BDA，
又∵D是BC的中点，∴BD=DC。
在△ABD和△CDE中：DE=AD，∠EDC=∠BDA，BD=DC
∴△ABD≌△CDE(SAS)，∴AB=EC=5a，
∵△ACE中，
∴AC+EC>AE>EC-AC，
又∵AC=3a，EC=5a，
∴AE的取值范围为：5a+3a>AE>5a-3a，
即8a>AE>2a，
由题意得：AE=2AD，∴8a>2AD>2a，即4a>AD>a。
5.如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE．
【解析】证明：延长AE到M，使EM=AE，连结DM，如图所示：
∵E是DC的中点，
∴AE=CE，
在△DEM和△CEA中，，
∴△DEM≌△CEA（SAS），
∴∠C=∠MDE，DM=AC，
又BD=DC=AC，
∴DM=BD，∠ADC=∠CAD，
又∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADM=∠MDE+∠ADC，
∴∠ADM=∠ADB，
在△ADB和△ADM中，，
∴△ADB≌△ADM（SAS），
∴∠BAD=∠MAD，
即AD平分∠BAE