第7讲 圆的有关性质基础练习题（含解析）

第7讲
圆的有关性质
false
知识点1
垂径定理
①弦和直径：
(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)直径：经过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
②弧：
(1)
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B为端点的的弧记作,读作弧AB.
(2)半圆、优弧、劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180?用三个字母表示，如false.
小于半圆的弧叫做劣弧，如false。
（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧。
③弦心距：
（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。四者有一个相等，则其他三个都相等。圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
④圆的性质：
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2)轴对称：圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。
⑤垂径定理及推论：
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2)平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夹的弧相等．
⑥同心圆与等圆
（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图一，半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。
（图一）
（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图二中的⊙O
1与⊙O
2的半径都是r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。
（图二）
（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
【典例】
1.如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是
【答案】GH
【解析】解：∵AB是直径，AB⊥GH，
∴圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是GH
2.如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是
【答案】（﹣2，﹣1）
【解析】解：如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，
则点O即是该圆弧所在圆的圆心．
∵点A的坐标为（﹣3，2），
∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）
3.据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧河面上，桥拱半径OC为13m，河面宽AB为24m，则桥高CD为
【答案】18m
【解析】解：如图，连结OA，
∵CD⊥AB，
∴AD=BD=AB=×24=12，
在Rt△OAD中，OA=5，OD==5，
∴CD=OC+CD=13+5=18m．
4.把宽为2cm的刻度尺在圆O上移动，当刻度尺的一边EF与圆O相切于A时，另一边与圆的两个交点处的度数恰好为“2”（C点）和“8”（B点）（单位：cm），求该圆的半径
【答案】3.25cm
【解析】解：如图，连接OA交BC于点E，
设OB=r，
∵AB=8﹣2=6cm，OD⊥AB，
∴BE=AB=×6=3cm，
在Rt△BOE中，
OE2+BE2=OB2，即（r﹣2）2+9=r2，
解得r==3.25cm．
【方法总结】
1、在遇有求弦长或半径长的问题时，常添加的辅助线是弦心距。
2、在运用垂径定理解决线段长度问题时，一般都与勾股定理复合运用。
【随堂练习】
1．（2019?庐阳区二模）如图，false是false的直径，弦false于点false，连接false过点false作false于点false，若false，false，则false的长度是false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：连接false，
false是false的直径，弦false，
false，
在false中，false，即false，
解得，false，
则false，
false，
false，
false，
false，
故选：false．
2．（2019?滨州模拟）如图，某下水道的横截面是圆形的，水面false的宽度为false，false是线段false的中点，false经过圆心false交false与点false，false，则false直径的长是false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：如图，连接false，
false是弦false的中点，false过圆心false，
false．
false．
false，
false，
设false，则false，
在false中，根据勾股定理，得
false．
解得false，
false的直径为false．
故选：false．
3．（2019?黔东南州一模）如图，false的直径为false，弦false为false，false是弦false上一点且不与点false、false重合．若false的长为整数，则符合条件的点false有false　　false
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【解答】解：连接false，作false于false，
则false，
由勾股定理得，false，
则false，
则符合条件的点false有3个，
故选：false．
4．（2019?黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧false，点false是这段弧所在圆的圆心，false，点false是false的中点，且false，则这段弯路所在圆的半径为false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：false，
false，
在false中，false，
设半径为false得：false，
解得：false，
false这段弯路的半径为false
故选：false．
5．（2019?长沙模拟）如图，false为false的弦，过点false作false的垂线，交false于点false，交false于点false，已知false，false，则false的半径为false　　false
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：连接false，
false，
false，
设false的半径为false，
false，
false，
false，
false，
故选：false．
6．（2019?滨湖区一模）如图，在false中，已知弦false长为false，false为false的中点，false交false于点false，且false，则false长为false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：连接false，
false为false的中点，
falsefalse，
false，
false，
设false，则false，
false，
由勾股定理得，false，即false，
解得，false（负值舍去），
则false，
故选：false．
7．（2019?阳谷县一模）已知在半径为5的false中，false，false是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点false，且false，则弦false的长为false　　false
A．4
B．6
C．8
D．10
【解答】解：作false于false，false于false，连接false，
则四边形false为矩形，
false，false，false，
false，
false四边形false为正方形，
false，
由勾股定理得，false，
false，
false，
故选：false．
8．（2019?柯桥区模拟）如图，false的直径false，false是false的弦，false，垂足为false，false，则false的长为false　　false
A．6
B．7
C．8
D．9
【解答】解：如图所示，连接false．
false的直径false，
则false的半径为false，
即false，
又false，
所以false，
false，垂足为false，
false，
在false中，false，
false．
故选：false．
9．（2018秋?柳州期末）如图，false为false的弦，半径false于点false，且false，false，则false的长为false　　false
A．1
B．2
C．2.5
D．5
【解答】解：连接false，
false半径false，
false，
false，
false，
false，
false．
故选：false．
10．（2018秋?海曙区期末）如图，圆false半径为false，弓形高为false，则弓形的弦false的长为false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：如图，过false作false于false，交false于false，
false，false，
false，
又false，
false中，false，
false．
故选：false．
知识点2
弧、弦、圆心角、圆周角的关系
与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。
在同圆或等圆中，相等的圆心角或圆周角所对的弧相等，弦也相等。
（3）直径所对的圆周角是直角。
【典例】
1.如图，矩形ABCD的顶点A，B在圆上，BC，AD分别与该圆相交于点E，F，G是的三等分点（＞），BG交AF于点H，若的度数为30°，则∠GHF等于
【答案】40°
【解析】解：如图，连接BF，
∵的度数为30°，
∴的度数为150°，∠AFB=15°，
∵G是的三等分点，
∴的度数为50°，
∴∠GBF=25°，
∴∠GHF=∠GBF+∠AFB=40°，
2.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=38°，则∠AEO的度数是
【答案】57°
【解析】解：∵==，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=38°，
∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=66°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°﹣66°）=57°．
3.如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是
【答案】26°
【解析】解：如图，
由OC⊥AB，得
=，∠OEB=90°．
∴∠2=∠3．
∵∠2=2∠1=2×32°=64°．
∴∠3=64°，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，
∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°
【方法总结】
1、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角相等圆周角也相等，可进行角度转换。
2、注意利用同圆中同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可进行角度倍数转换。
【随堂练习】
1．（2019?东西湖区模拟）如图，false的半径为2，false，false在false上且false，若点false，false，false分别为false，false、false上的动点，则false的最小值为false　　false
A．false
B．false
C．1
D．false
【解答】解：如图，作false交false的延长线于false．连接false．
在false中，false，false，
false，
当false，false时，false的值最小，
false，
false，
故false的最小值为false，
故选：false．
2．（2019?东台市模拟）如图，false是false的弦，半径false，false为圆周上一点，若false的度数为false，则false的度数为false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：falsefalse的度数为false，
false，
false半径false，
falsefalse，
false．
故选：false．
3．（2019?资中县一模）如图，false，false是false的直径，false，若false，则false的度数是false　　false
A
．false
B
．false
C
．false
D
．false
【解答】解：falsefalse，
false，
false，
false
false．
故选：false．
4．（2018秋?邗江区校级月考）下列语句，错误的是false　　false
A．直径是弦
B．弦的垂直平分线一定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【解答】解：false、直径为弦，所以false选项的说法正确；
false、弦的垂直平分线一定经过圆心，所以false选项的说法正确；
false、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以false选项的说法错误；
false、平分弧的半径垂直于弧所对的弦，所以false选项的说法正确．
故选：false．
5．（2018秋?泉山区校级月考）下列语句，错误的是false　　false
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【解答】解：直径是弦，false正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，false错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，false正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，false正确，不符合题意；
故选：false．
6．（2018秋?仪征市校级月考）如图，
在false中，false，false，以点false为圆心，false为半径的圆分别交false、false于点false、点false，则弧false的度数为false　　false
A
．false
B
．false
C
．false
D
．false
【解答】解：false，false，
false，
false，
false，
false，
falsefalse的度数为false．
故选：false．
7．（2018秋?新罗区校级期中）如图所示，在false中，false，false，false，false是false上四点，false，false交false于点false，false，且false，下列结论：①false；②false；③false；④false，其中正确的有false　　false
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解答】解：连接false，false，
false，
false．
在false与false中，false，
false，
false，故①正确；
false，即false，
falsefalse，故④正确；
连结false．
falsefalse，
false，
false，故③正确；
false不一定等于false，
false弧false弧false不一定等于弧false，
false不一定等于false，
故②不正确．
正确的有3个，故选false．
知识点3
圆周角定理及推论
圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
圆周角的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
②90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
【典例】
1.如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC=60°，那么BC的长是
【答案】2
【解析】解：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，
∵OD⊥弦BC，∴∠BOD=90°，
∵∠BOD=∠A=60°，∴OD=OB=1，
∴BD===，
∴BC=2BD=2
2.如图所示，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，则∠B的度数为
【答案】65°
【解析】解：如图连接AD，
∵OA=OD，∠AOD=50°，
∴∠ADO==65°．
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=50°，
∴∠ADC=∠ADO+∠ODC=115°，
∴∠B=180°﹣∠ADC=65°
【方法总结】
1、在圆中利用圆的半径处处相等，可迅速构造等腰三角形。
2、利用直径所对的圆周角是直角，可便捷构造直角三角形。
【随堂练习】
1．（2019?温州三模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝112°，则∠α＝（　　）
A．68°
B．112°
C．136°
D．134°
【解答】解：作对的圆周角∠ADB，如图，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣112°＝68°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×68°＝136°．
故选：C．
2．（2019?邵阳县模拟）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（　　）
A．4cm
B．4cm
C．5cm
D．2.5cm
【解答】解：∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝ABsin60°＝8×＝4．
故选：B．
3．（2019?广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．4.8
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD＝AC＝4，
在Rt△CBD中，BD＝＝2．
故选：C．
4．（2019?吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．55°
D．60°
【解答】解：∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，
∵∠AOP＝55°，
∴∠POB＝45°，
故选：B．
5．（2019?柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（　　）
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
【解答】解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，
∴∠D＝∠A．
故选：D．
6．（2019?黔东南州一模）如图，BC为⊙O的直径，AB＝OB．则∠C的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解答】解：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AB＝OB，
∴BC＝2AB，
∴sinC＝＝，
∴∠C＝30°．
故选：A．
7．（2019?宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（　　）
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠A＝∠BOC＝50°．
故选：A．
8．（2019?眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　）
A．6
B．3
C．6
D．12
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝×6＝3，
∴CD＝2CE＝6．
故选：A．
9．（2019?江西模拟）如图，BC为直径，∠ABC＝35°，则∠D的度数为（　　）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠ACB＝90°﹣35°＝55°，
∴∠D＝∠C＝55°，
故选：C．
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知识点4
圆内接四边形的性质
1.圆内接四边形的对角互补
2.外角等于它的内对角
【典例】
1.如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且的度数为50°，则∠B+∠D的度数为　
．
【答案】155°
【解析】解：连接AB、DE，则∠ABE=∠ADE，
∵为50°，∴∠ABE=∠ADE=25°，
∵点A、B、C、D在⊙O上，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°，
∴∠B+∠D=180°﹣∠ABE=180°﹣25°=155°
2.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F=70°，则∠A的度数是　
　
【答案】55°
【解析】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=∠BCF，
∵∠EBF=∠A+∠E，
而∠EBF=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180°﹣∠BCF﹣∠F，
∴∠A+∠E=180﹣∠A﹣∠F，
即2∠A=180°﹣（∠E+∠F）=110°，
∴∠A=55°
3.如图，A、B、C、D四个点在同一个圆上，∠ADC=90°，AB=7cm，CD=5cm，AE=4cm，CF=6cm，则阴影部分的面积为　
　cm2．
【答案】31
【解析】解：如图，连接AC．
∵∠ADC=90°，
∴AC是直径，
∴∠ABC=90°，
∴CD⊥AE，AB⊥CF，
∵S阴=S△AEC+S△AFC=?AE?CD+?CF?AB=×4×5+×6×7=31（cm2）
【方法总结】
证明四点共圆的一般方法：
1、逆用同弦所对圆周角相等
2、逆用圆的内接四边形对角互补
【随堂练习】
1．（2018秋?滨江区期末）已知圆内接四边形false中，false，则false的大小是false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：false四边形false为圆的内接四边形，
false，
而false，
false．
故选：false．
2．（2019?兰州）如图，四边形false内接于false，若false，则false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：false四边形false内接于false，
false，
false．
故选：false．
3．（2019?南昌一模）如图，false，false，false，false四个点均在false上，false，弦false的长等于半径，则false的度数等于false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：连接false，
由题意得，false，
false是等边三角形，
false，
false，
false，
由圆周角定理得，false，
故选：false．
4．（2019?富顺县三模）四边形false内接于圆，false、false、false、false的度数比可能是false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
【解答】解：false、false，所以false选项不正确；
false、false，所以false选项不正确；
false、false，所以false选项正确；
false、false，所以false选项不正确．
故选：false．
5．（2018秋?定兴县期末）如图，四边形false为圆内接四边形false，false，则false的度数为false　　false
A．false
B．false
C．false
D．无法求
【解答】解：false四边形false为圆内接四边形false，
false，
故选：false．
二．填空题（共3小题）
6．（2019?海淀区校级三模）如图，点false，false，false，false是false上的四个点，点false是弧false的中点，如果false，那false　false　．
【解答】解：false四边形false内接于false，
false，
false．
false点false是弧false的中点，
false弧false弧false．
false．
false．
故答案为false．
7．（2019?铜仁市）如图，四边形false为false的内接四边形，false，则false的度数为　false　；
【解答】解：false四边形false为false的内接四边形，
false，
故答案为：false
8．（2019?台州）如图，false是圆内接四边形false的一条对角线，点false关于false的对称点false在边false上，连接false．若false，则false的度数为　false　．
【解答】解：false圆内接四边形false，
false，
false点false关于false的对称点false在边false上，
false，
false．
故答案为：false．
三．解答题（共1小题）
9．（2018秋?中山区期末）如图，四边形false内接于false，false，求false的度数．
【解答】解：false，
false，
false．
综合运用：圆的有关性质
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。
【解析】解：如图，设EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4cm，
设OF=x
cm，则ON=OF，
∴OM=MN﹣ON=（4﹣x）cm，MF=2cm，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2
即：（4﹣x）2+22=x2
解得：x=2.5cm
答：球的半径为2.5cm。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度。
【解析】解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE=AC=4，
在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得，r=5，即圆的半径长为5；
答：圆的半径长为5。
（2）如图，连接BC，
∵AO=OB，AE=EC，
∴BC=2OE=6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BE==2．
答：BE长为2。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径。
【解析】解：如图，连接OB，
设⊙O的半径为r，则Rt△AOB中，∵AC=5cm，∴AO=（5-r）cm，AB=3cm，OB=r，由勾股定理得：OB?=OA?+AB?，即：r?=（5-r）?+3?，解得：r=3.4cm。
答：⊙O的半径为3.4cm。
4.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC为斜边在矩形外部作直角三角形BEC，F为CD的中点，求EF的最大值。
【解析】解：由题意知∠BEC=90°，
∴点E在以BC为直径的⊙O上，如图所示：
由图可知，连接FO并延长交⊙O于点E′，
此时E′F最长，
∵CO=BC=6、FC=CD=，
∴OF===，
则E′F=OE′+OF=6+=
答：EF的最大值为。
5.如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB=10cm，BC=8cm，CD平分∠ACB．
（1）求AC与BD的长；
（2）求四边形ADBC的面积．
【解析】解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，
∴AC==6（cm），
∵CD平分∠ACB，∴BD=AD=AB=5（cm）；
答：AC长6cm；BD长5cm。
（2）四边形ADBC的面积=△ABC的面积+△ADB的面积
=×6×8+×5×5=49（cm2）．
答;四边形ADBC的面积为49cm2
。
6.如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．
（3）求证：PA+PB=PC．
【解析】解：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）当点P位于中点时，四边形PBOA是菱形，
连接OP，如图1：
∵∠AOB=2∠ACB=120°，P是的中点，
∴∠AOP=∠BOP=60°
又∵OA=OP=OB，
∴△OAP和△OBP均为等边三角形，
∴OA=AP=OB=PB，
∴四边形PBOA是菱形；
（3）如图2，在PC上截取PD=AP，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP．