(共26张PPT)
5.1.1
对顶角
数学华师版
七年级上
复习导入
如图，两条相交直线，可以构成几个角？
1
2
3
4
可以构成4个角
新知讲解
我们已经知道，两条直线相交,只有一个交点.
例如，在图5.1.1中,直线AB与直线CD相交，交点为O,
可以说成“直线AB、CD相交于点O”。
图5.1.1
图5.1.2
A
C
B
D
O
A
C
B
D
O
1
3
2
4
新知讲解
如图5.1.2,两条直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4,
我们已经知道,有些角之间存在一定的关系,例如:
角
∠1和∠2
∠2和∠3
...
位置关系
相邻
相邻
...
数量关系
互补
互补
...
新知讲解
从位置关系与数量关系上看，图中还有哪些角之间存在某种关系呢?
新知讲解
角
...
位置关系
...
数量关系
...
看一看，想一想，将你的发现填入下面的表中:
∠3和∠4
∠4和∠1
相邻
相邻
互补
互补
新知讲解
我们可以直观地发现图中的∠1和∠3是相对的两个角，而且似乎相等.
∠1和∠3具有相同的顶点，且∠1的两边OA、OC分别与∠3的两边OB、OD互为反向延长线,我们把这样的两个角叫做对顶角.
∠2和∠4也是对顶角。
射线OA的反向延长线是指从点A到点O方向延长得到的一条射线,即射线OB.
新知讲解
例1
在图5.1.2中，∠1
=30°,那么∠2、∠3和∠4各等于多少度?图中存在哪些相等关系?
图5.1.2
A
C
B
D
O
1
3
2
4
新知讲解
解
∠2=
180°-∠1
=
180°-30°=
150°
,
∠3
=180°-∠2=180°-150°=30°
∠4=180°-∠1
=180°-30°=
150°.
由此，我们得到
∠1=∠3，∠2=∠4.
图5.1.2
A
C
B
D
O
1
3
2
4
新知讲解
变式：如图,
已知直线a,b相交,∠α+∠β
=80°,那么∠α
=_______
解:
∵∠α=∠β(对顶角相等),
∴∠α+∠β=∠α+∠α=
80°,
解得∠α
=40°.
故答案为:
40°.
新知讲解
其实,对于任意两条直线相交形成的对顶角,
由于它们都有一个相同的补角,所以它们是相等的.
例如,图5.1.2中的∠1、∠3都和∠2互补，即
∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°.
因此∠1=∠3,同理∠2=∠4.
于是我们得到对顶角的性质:
对顶角相等.
新知讲解
例2、如图5.1.3,直线AB、CD相交于点E,∠AEC=50°
,求∠BED的度数.
解
因为直线AB、CD相交于点E,
所以∠AEC与∠BED是对顶角.
根据对顶角相等,得
∠BED=∠AEC=50°.
图5.1.3
A
B
E
C
D
新知讲解
两直线相交
所形成的角
对顶角
A
B
C
D
）
（
1
3
4
2
）
（
∠3
∠1
∠2
∠4
∠1和∠3，
∠2和∠4
对顶角
课堂练习
1.下列几何图形与相应语言描述相符的有（
）
①直线a、b相交于点A?
?
②射线CD与线段AB没有公共点?
?
③延长线段AB?
?
④直线MN经过点A
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个?
?
课堂练习
解：只有第2个和第4个图形不符合，
第2个应该是有公共点，
第4个应该是点A在直线MN外，
其他2个都符合．
【答案】B
课堂练习
2.如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（
）
A.
B.
C.
D.
课堂练习
解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，B、C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；又根据对顶角相等，排除A，
只有D符合对顶角的定义．
课堂练习
3、两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x-10）°和(110-x)°，则x=__________．
解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补.
根据题意可得：
（2x-10）°=(110-x)°或（2x-10）°+(110-x)°=180°
解得x=40或80
拓展提高
4、同一平面内，不重合的三条直线的交点个数可能为_______________个
解析：如图，三条直线的交点个数可能是0或1或2或3．
故答案为：0或1或2或3．
拓展提高
图形
...
直线条数
2
3
4
...
5、下表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：
拓展提高
按此规律，6条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有________个交点．（n为正整数）
解：6条直线相交，最多有交点1+2+3+4+5=15；
n条直线相交，最多有
个交点．
15
课堂总结
对顶角的特征和性质？
1.特征：
①两条直线相交形成的角；
②有一个公共顶点；
③没有公共边.
2.性质：
对顶角相等
板书设计
课题：5.1.1
对顶角
?
教师板演区
?
学生展示区
一、对顶角定义
二、对顶角相等
作业布置
基础作业：
课本P162练习第1,2题
练习册基础
能力作业：
课本P162练习第3题中小学教育资源及组卷应用平台
华师版数学七年级上5.1.1对顶角导学案
课题
5.1.1
对顶角
单元
第5章
学科
数学
年级
七年级
学习
目标
1.能准确理解对顶角的概念,会在图形中识别对顶角.
2.理解对顶角的性质并能运用对顶角的相关知识进行简单运算.
重点
难点
运用对顶角的相关知识进行简单运算
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、下列各图中，一定成立的是
A.
B.
C.
D.
2、
如图是一把剪刀，其中，则，其理由是______．
合
作
探
究
探究一：
我们已经知道，两条直线相交,只有一个交点.
例如，在图5.1.
1中,直线AB与直线CD相交，交点为O,
可以说成“直线AB、CD相交于点O。
如图5.1.2,两条直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4,
我们已经知道,有些角之间存在一定的关系,例如:
角∠1和∠2∠2和∠3...位置关系相邻相邻...数量关系互补互补...
从位置关系与数量关系上看，图中还有哪些角之间存在某种关系呢?
看一看，想一想，将你的发现填入下面的表中:
我们可以直观地发现图中的∠1和∠3是相对的两个角，而且似乎相等.
∠1和∠3具有相同的顶点，且∠1的两边OA、OC分别与∠3的两边OB、OD互为反向延长线,我们把这样的两个角叫做对顶角.
∠2和∠4也是对顶角。
射线OA的反向延长线是指从点A到点O方向延长得到的一条射线,即射线OB.
探究二：
例1
在图5.1.2中，∠1
=30°,那么∠2、∠3和∠4各等于多少度?图中存在哪些相等关系?
其实,对于任意两条直线相交形成的对顶角,由于它们都有一个相同的补角,所以它们是相等的.
例如,图5.1.2中的∠1、∠3都和∠2互补，即
∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°.
因此∠1=∠3,同理∠2=∠4.
于是我们得到对顶角的性质:
对顶角相等.
探究三：
例2
如图5.1.3,直线AB、CD相交于点E,∠AEC=50°
,求∠BED的度数.
当
堂
检
测
1、下列几何图形与相应语言描述相符的有（
）
①直线a、b相交于点A?
?
②射线CD与线段AB没有公共点?
?
③延长线段AB?
?
④直线MN经过点A
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个?
?
如图所示，和是对顶角的是
A.
B.
C.
D.
3、两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是（2x-10）°和(110-x)°，则x=__________．
4、同一平面内，不重合的三条直线的交点个数可能为_______________个
5、下表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：
图形直线条数234
按此规律，6条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有_____个交点．为正整数
课
堂
小
结
对顶角的特征和性质？
参考答案
自主学习：
解：根据对顶角相等可知，C选项是正确的，
故选：C．
解：，则，其理由是对顶角相等，
故答案为：对顶角相等．
合作探究：
探究一：
角
∠3和∠4
∠4和∠1
...
位置关系
相邻
相邻
...
数量关系
互补
互补
...
探究二：
解
∠2=
180°-∠1
=
180°-30°=
150°
,
∠3
=180°-∠2=180°-150°=30°
∠4=180°-∠1
=180°-30°=
150°.
由此，我们得到
∠1=∠3，∠2=∠4.
探究三：
解
因为直线AB、CD相交于点E,
所以∠AEC与∠BED是对顶角.
根据对顶角相等,得
∠BED=∠AEC=50°.
当堂检测：
1、解：只有第2个和第4个图形不符合，
第2个应该是有公共点，
第4个应该是点A在直线MN外，
其他2个都符合．
【答案】B
2、解：根据两条直线相交，才能构成对顶角进行判断，B、C都不是由两条直线相交构成的图形，错误；又根据对顶角相等，排除A，
只有D符合对顶角的定义．
解：两条直线相交所成的四个角中，对顶角相等，邻补角互补，
根据题意可得：或，
解得：或，
故答案为40或80．
解析：如图，三条直线的交点个数可能是0或1或2或3．
故答案为：0或1或2或3．
5、解：6条直线相交，最多有个交点；
n条直线相交，最多有个交点．
故答案为15；．
课堂小结：
1.特征：①两条直线相交形成的角；
②有一个公共顶点；
③没有公共边.
2.性质：
对顶角相等
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精品试卷·第
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