第三章 勾股定理专项练习 利用勾股定理解决最短路径问题同步练习（含答案）

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第三章 勾股定理
专项练习 利用勾股定理解决最短路径问题
类型一 利用展开图求立体图形中的最短距离
1.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是:如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是__________尺.
2.如图，长方体的长、宽、高分别为8，4，5，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路径的长的平方。
类型二 利用平移或对称求平面图形中的最短距离
3.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E在BC边上，BE＝1，F是AC上一动点，则EF＋BF的最小值是_____________。
4.如图，A，B两个小镇在河岸CD的同侧，到河岸的距离分别为AC＝10 km，BD＝30 km，且CD＝30 km，现要在河岸边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元。
（1）请在河岸上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）最低费用为多少？
类型三 综合利用对称求立体图形中的最短路径问题
5.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长为_________。
参考答案
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2.解:如图①，AB2＝（8＋4）2＋52＝169；如图②，AB2＝（5＋4）2＋82＝145；
如图③，AB2＝（8＋5）2＋42＝185。
因为145＜169＜185，所以蚂蚁爬行的最短路径的长的平方是145。
3. 5
4.解:（1）水厂的位置M如图1所示。
（2）如图2，在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30 km，BF＝BD＋DF＝30＋10＝40 km.
由勾股定理，得BE2＝EF2＋BF2＝302＋402＝502。
所以BE＝50 km.所以铺设水管长度的最小值为50 km。
所以铺设水管所需费用的最小值为50×3＝150（万元）。
故最低费用为150万元。
13 cm
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