第三章 勾股定理专项练习题（含答案）
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第三章 勾股定理
专项练习
一、选择题
1.（楚雄州期末改编）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 8，15，17 D. 7，8，9
2.如图，已知正方形的面积为25，且AC比AB小1，BC的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第2题图 第3题图
3.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. 10 D. 8
4.以直角三角形的两直角边为边长所作正方形的面积分别是36与64，则斜边长为（ ）
A. 5 B. 10 C. 12 D. 100
5.（泰安模拟）一根高9 m的旗杆在离地4 m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9 m远处玩耍的身高为1m的小明（ ）
A. 没有危险 B. 有危险 C. 可能有危险 D. 无法判断
6.已知一直角三角形的模板，三边的平方和为1800 cm2，则斜边长为（ ）
A. 30 cm B. 80 cm C. 90 cm D. 120 cm
7.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A. 12≤a≤13 B. 12≤a≤15 C. 5≤a≤12 D. 5≤a≤13
8.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.右图是由左图放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（ ）
A. 90 B. 100 C. 110 D. 121
二、填空题
9.已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是_________km若A地在C地的正东方向，则B地在C地的__________方向。
第9题图 第10题图
10.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为____________。
11.若△ABC的三边长a，b，c满足等式（a＋b）2－c2＝2ab，则△ABC的形状为__________。
12.已知△ABC中，AB＝12，BC＝9，那么当AC2＝_________时，△ABC是直角三角形。
三、解答题
13.用两个图1中所示的直角三角形构造出图2中的直角梯形，请你利用图2验证勾股定理。
14.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的周长和面积。
15.（龙岩上杭期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点。
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（2）如图2，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数。
16.如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，且AF＝AD.试判断△CEF的形状，并说明你的理由。
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积。
18.如图，一架梯子AC长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7 m。
（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m到A′，那么梯子的底端C在水平方向滑动了多少米？
参考答案
C 2. A 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8. C
5 正北 10. 5 11. 直角三角形 12. 225或63
13.解:因为Rt△ABE≌Rt△ECD，所以∠AEB＝∠EDC.
又因为∠EDC＋∠DEC＝90°，所以∠AEB＋∠DEC＝90°，所以∠AED＝90°。
因为S梯形ABCD＝（a＋b）（a＋b）＝2×ab＋c2，所以a2＋b2＝c2。
14.解:因为62＋82＝102，即BD2＋AD2＝AB2，
所以△ABD是直角三角形，且∠ADB是直角。
在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2＝225.故DC＝15.
所以△ABC的周长＝10＋6＋15＋17＝48，
△ABC的面积＝（6＋15）×8＝84.
15.解:（1）如图1所示。
（2）如图2，连接AC.
由勾股定理，得AB2＝10，AC2＝5，BC2＝5，所以BC2＋AC2＝AB2，
所以△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.
所以∠ABC＝∠CAB＝45°。
16.解:△CEF为直角三角形.理由如下:
设AF＝x，则正方形的边长为4x， AE＝BE＝2x， FD＝3x.
在Rt△FDC中，由勾股定理，得FC2＝DF2＋CD2＝（3x）2＋（4x）2＝25x2
同理，可得EF2＝5x2，EC2＝20x2，所以EF2＋EC2＝25x2＝FC2。
所以△CEF是直角三角形。
17.解:（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以AC⊥CD.
又因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，所以DE＝CD。
又因为CD＝3，所以DE＝3.
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
所以AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100.所以AB＝10.
所以S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15.
18.解:（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即AB2＋72＝252，解得AB＝24。
所以这个梯子的顶端A距地面有24 m高.
（2）由题意，得A'B＝20m.
在Rt△A'BC'中，∠A'BC'＝90°，由勾股定理，得A'B2＋BC'2＝A'C'2，即202＋BC'2＝252.解得BC'＝15.所以CC'＝BC'－BC＝15－7＝8.
所以梯子的底端C在水平方向滑动了8 m.
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第三章 勾股定理
专项练习
一、选择题
1.（楚雄州期末改编）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 8，15，17 D. 7，8，9
2.如图，已知正方形的面积为25，且AC比AB小1，BC的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第2题图 第3题图
3.如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A. 5 B. 4 C. 10 D. 8
4.以直角三角形的两直角边为边长所作正方形的面积分别是36与64，则斜边长为（ ）
A. 5 B. 10 C. 12 D. 100
5.（泰安模拟）一根高9 m的旗杆在离地4 m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9 m远处玩耍的身高为1m的小明（ ）
A. 没有危险 B. 有危险 C. 可能有危险 D. 无法判断
6.已知一直角三角形的模板，三边的平方和为1800 cm2，则斜边长为（ ）
A. 30 cm B. 80 cm C. 90 cm D. 120 cm
7.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A. 12≤a≤13 B. 12≤a≤15 C. 5≤a≤12 D. 5≤a≤13
8.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.右图是由左图放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（ ）
A. 90 B. 100 C. 110 D. 121
二、填空题
9.已知A，B，C三地位置如图所示，∠C＝90°，A，C两地的距离是4 km，B，C两地的距离是3 km，则A，B两地的距离是_________km若A地在C地的正东方向，则B地在C地的__________方向。
第9题图 第10题图
10.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为____________。
11.若△ABC的三边长a，b，c满足等式（a＋b）2－c2＝2ab，则△ABC的形状为__________。
12.已知△ABC中，AB＝12，BC＝9，那么当AC2＝_________时，△ABC是直角三角形。
三、解答题
13.用两个图1中所示的直角三角形构造出图2中的直角梯形，请你利用图2验证勾股定理。
14.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，若AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的周长和面积。
15.（龙岩上杭期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点。
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（2）如图2，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数。
16.如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，且AF＝AD.试判断△CEF的形状，并说明你的理由。
17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积。
18.如图，一架梯子AC长25 m，斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7 m。
（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m到A′，那么梯子的底端C在水平方向滑动了多少米？
参考答案
C 2. A 3. D 4. B 5. B 6. A 7. A 8. C
5 正北 10. 5 11. 直角三角形 12. 225或63
13.解:因为Rt△ABE≌Rt△ECD，所以∠AEB＝∠EDC.
又因为∠EDC＋∠DEC＝90°，所以∠AEB＋∠DEC＝90°，所以∠AED＝90°。
因为S梯形ABCD＝（a＋b）（a＋b）＝2×ab＋c2，所以a2＋b2＝c2。
14.解:因为62＋82＝102，即BD2＋AD2＝AB2，
所以△ABD是直角三角形，且∠ADB是直角。
在Rt△ADC中，DC2＝AC2－AD2＝225.故DC＝15.
所以△ABC的周长＝10＋6＋15＋17＝48，
△ABC的面积＝（6＋15）×8＝84.
15.解:（1）如图1所示。
（2）如图2，连接AC.
由勾股定理，得AB2＝10，AC2＝5，BC2＝5，所以BC2＋AC2＝AB2，
所以△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.
所以∠ABC＝∠CAB＝45°。
16.解:△CEF为直角三角形.理由如下:
设AF＝x，则正方形的边长为4x， AE＝BE＝2x， FD＝3x.
在Rt△FDC中，由勾股定理，得FC2＝DF2＋CD2＝（3x）2＋（4x）2＝25x2
同理，可得EF2＝5x2，EC2＝20x2，所以EF2＋EC2＝25x2＝FC2。
所以△CEF是直角三角形。
17.解:（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以AC⊥CD.
又因为AD平分∠CAB，DE⊥AB，所以DE＝CD。
又因为CD＝3，所以DE＝3.
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
所以AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100.所以AB＝10.
所以S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15.
18.解:（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，即AB2＋72＝252，解得AB＝24。
所以这个梯子的顶端A距地面有24 m高.
（2）由题意，得A'B＝20m.
在Rt△A'BC'中，∠A'BC'＝90°，由勾股定理，得A'B2＋BC'2＝A'C'2，即202＋BC'2＝252.解得BC'＝15.所以CC'＝BC'－BC＝15－7＝8.
所以梯子的底端C在水平方向滑动了8 m.
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