人教版八年级上册数学14.3.2 运用平方差公式分解因式(共20张PPT)

(共20张PPT)
运用平方差公式分解因式
1.把一个多项式化为几个
的
的形式,就是因式分解.
复习
整式
乘积
2.把下列各式分解因式.
(1)
(2)
(3)
(4)
复习引入：运用平方差公式计算：
(1)（2+a)(a-2).
(2)
(-4s+t)(t+4s).
(3)
(m?+2n?)(2n?-
m?).
(4)
(x+2y)
(x-2y).
看谁做得最快最正确！
观察以上式子,满足什么乘法公式运算？
平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积
a?-
b?=
(a+b)(a-b)
因式分解
平方差公式：
(a+b)(a-b)
=
a?
-
b?
整式乘法
引例：
对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
(1)
m?-16.
(2)
4x?-
9y?.
m?
-
16=
m?
-
4?
=(
m
+
4)(
m
-
4).
a?
-
b?
=
(
a
+
b)(
a
-
b
)
4x?-
9y?=(2x)?-(3y)?=(2x
+
3y)(2x-3y).
下列多项式可否用平方差公式分解因式?如果可以,应分解成什么式子？如果不可以,请说明理由.
①x2+1;
②－x2+y2;
③0.9x2－y2;
④－9－16y2;
⑤－4(x+y)2+(x－y)2.
9n3
c
8xy
⑷
⒈填空：
⑵
⑹
⑴
⑶
⑸
⑺
⑻
2x
5m
6a
0.7b
快速热身
例1.把下列各式分解因式.
(1)
4x?-
m?n?.
(2)
—
x?
-
—
y?.
9
25
1
16
(3)–9x?
+
4m2.
【解析】4x?-m?n?=(2x)?-(mn)?
=（2x+mn)(2x-mn).
(4)
x2y4-9.
【解析】原式=(xy2)2-32
=(xy2+3)(xy2-3).
【解析】原式=
【解析】原式=(2m+3x)(2m-3x).
⒊利用平方差公式把下列各式分解因式
⑴口答
①
③
②
④
⑵
①
②
③
④
⑤
⑥
快速热身
⒉判断
①
（
）
②
（
）
×
×
例2.把下列各式因式分解
(
x
+
z
)?-
(
y
+
z
)?
4(
a
+
b)?
-
25(a
-
c)?
4a?
-
4a
(x
+
y
+
z)?
-
(x
–
y
–
z
)?
5)3a?
-
2
【解析】
1)原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]
=(x+y+2z)(x-y)
【解析】
2)原式=[2(a+b)]?-[5(a-c)]?
=[2(a+b)+
5(a-c)][2(a+b)-
5(a-c)]
=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)
【解析】
3)原式=4a(a?-1)=4a(a+1)(a-1)
【解析】
4)原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]
×[(x+y+z)-
(x-y-z)]
=2
x
(
2
y
+
2
z)
=4
x
(
y
+
z
)
5)原式=
用平方差公式进行
简便计算:
38?-37?
2)213?-87?
3)
229?-171?
4)
91×89
【解析】1）
38?-37?
=（38+37）（38-37）=75
【解析】
2)213?-87?
=(213+87)(213-87)
=300×126=37
800
【解析】3）229?-171?=（229+171）（229-171）=400×58=23
200
【解析】4）
91×89
=（90+1）（90-1）
=90?-1=8
100-1=8
099
运用平方差公式分解因式的特点：
⑴
左边应是一个二项式（如：
）.
⑵
二项式的每项（不含符号）都是一个平方的形式.
⑶二项是异号（如：
）.
符合上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式.
公式归纳
例3
分解因式:
=2x(x-2)(x+2).
【解析】原式=2x(x2-4)
当多项式的各项有公因式时,通常先提出这个公因式,然后进行因式分解.
巩固练习：
1.(1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（
）
4x?+y?
B.4
x-
(-y)?
C.-4
x?-y?
D.-x?+
y?
(2)-4a?+1分解因式的结果应是（
）
-(4a+1)(4a-1)
B.-(2a–1)(2a–1)
-(2a+1)(2a+1)
D.-(2a+1)(2a-1)
D
D
2.x2-64因式分解为(
)
A.(x-16)(x+4)
B.(x-32)(x+32)
C.(x+16)(x-4)
D.(x-8)(x+8)
3.
64a8-b2因式分解为(
)
A.(64a4-b)(a4+b)
B.(16a2-b)(4a2+b)
C.(8a4-b)(8a4+b)
D.(8a2-b)(8a4+b)
D
C
4.
把下列各式分解因式：
(1)18-2b?.
(2)
x4
–1.
【解析】(1)原式=2(9-b2)=2（3+b)(3-b).
(2)原式=(x?+1)(x+1)(x-1).
1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差.
2.公式
a?
-
b?
=
(a+b)(a-b)中的字母
a
,
b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用.
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方差时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止.
注意点：
4.运用平方差公式分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此法，进行简便计算.
5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，
再考虑运用平方差公式分解因式.
一般地，如果一个多项式可以转化为a2-b2的形式，那么这个多项式就可以用平方差公式分解因式.
如
4(
a
+
b)?
-
25(a
-
c)?.
2x3-8x=2x(x2-4)
=2x(x+2)(x-2).
运用公式法分解因式:
(1)
-9x2+4y2.
(2)
64x2-y2z2.
(3)
a2(a+2b)2-4(x+y)2.
(4)
(a+bx)2-1.
(5)
(x-y+z)2-(2x-3y+4z)2.
试一试
创新与应用
已知,
x+y
=7,
x-y
=5,求代数式
x2-
y2-2y+2x
的值.
若a=101,b=99,求a2-b2的值.
若x=-3,求20x2-60x的值.
1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?
课后练习
4.
若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
2.公式a?-
b?
=
(a+b)(a-b)中的字母
a
,
b可以是数，
也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用.
3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一
步分解因式.
4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，
直到不能再分解为止.
小结：
1.具有两式或两数平方差形式的多项式可运用平
方差公式分解因式.