北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》 同步练习卷（Word版 含答案）

1.2
矩形的性质与判定
一．选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（　　）
A．OM＝AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
3．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAO，则AB的长为（　　）
A．3
B．4
C．
D．
4．如图，已知点P是矩形ABCD内一点（不含边界），设∠PAD＝θ1，∠PBA＝θ2，∠PCB＝θ3，∠PDC＝θ4，若∠APB＝80°，∠CPD＝50°，则（　　）
A．（θ1+θ4）﹣（θ2+θ3）＝30°
B．（θ2+θ4）﹣（θ1+θ3）＝40°
C．（θ1+θ2）﹣（θ3+θ4）＝70°
D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）＝180°
5．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为（　　）
A．
B．4
C．4.5
D．5
6．如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（　　）
A．（2，7）
B．（3，7）
C．（3，8）
D．（4，8）
7．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（　　）
A．（3，1）
B．（3，）
C．（3，）
D．（3，2）
8．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A．4.8
B．5
C．6
D．7.2
9．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，
其中正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
10．如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB＝1，AD＝2，则S△BCE为（　　）
A．1
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　
　．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，O是AD的中点，连接OB，OC，点E在线段BC上（点E不与B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，则EM+EN的值为　
　．
13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为　
　．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是　
　．
三．解答题
15．已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2＝PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．
答：对图（2）的探究结论为　
　；
对图（3）的探究结论为　
　；
证明：如图（2）
16．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是BC延长线上一点，PE⊥AB交BA延长线于E，PF⊥AC交AC延长线于F，D为BC中点，连接DE，DF．求证：DE＝DF．
17．已知四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．
18．如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF＝EC，且EF⊥EC．
（1）求证：AE＝DC；
（2）已知DC＝，求BE的长．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN．
（1）求证：∠PNM＝2∠CBN；
（2）求线段AP的长．
20．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若BC＝2，求AB的长．
参考答案
一．选择题
1．
C．
2．
A．
3．
C．
4．A．
5．
D．
6．
A．
7．
B．
8．
A．
9．
C．
10．
D．
二．填空题
11．
．
12．
．
13．（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．
14．
．
三．解答题
15．解：结论均是PA2+PC2＝PB2+PD2．
（1）如图2，过点P作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，
∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形，
根据（1）中的结论可得，
在矩形ABNM中有PA2+PN2＝PB2+PM2，在矩形NCDM中有PC2+PM2＝PD2+PN2，
两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PB2+PM2+PD2+PN2，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2．
（2）如图3，过点P作MN∥AB，交AB的延长线于点M，交CD的延长线于点N，
∴四边形BCNM和四边形ADNM均为矩形，
同样根据（1）中的结论可得，
在矩形BCNM中有PC2+PM2＝PB2+PN2，在矩形ADNM中有PA2+PN2＝PD2+PM2，
两式相加得PA2+PN2+PC2+PM2＝PD2+PM2+PB2+PN2，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2．
16．证明：连接AD（如图），
∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四边形AEPF是矩形，
∴AE＝FP，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC中点，
∴AD＝DC，∠1＝∠2＝45°＝∠3，
∴∠EAD＝∠FCD＝135°，∠CPF＝45°＝∠3，
∴CF＝PF＝AE，
∴△ADE≌△CDF（SAS）
∴DE＝DF．
17．解：矩形．
理由是：连接OM，
∵AB＝CD，BC＝DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AM⊥MC，BM⊥MD，
∴∠AMC＝∠BMD＝90°，
∴OM＝BD，OM＝AC，
∴BD＝AC，
∴四边形ABCD是矩形．
答：四边形ABCD是矩形．
18．（1）证明：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS），
∴AE＝DC；
（2）解：由（1）得AE＝DC，
∴AE＝DC＝，
在矩形ABCD中，AB＝CD＝，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即（）2+（）2＝BE2，
∴BE＝2．
19．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN∥BC，
∴∠CBN＝∠MNB，
∵∠PNB＝3∠CBN，
∴∠PNM＝2∠CBN；
（2）连接AN，
根据矩形的轴对称性，可知∠PAN＝∠CBN，
∵MN∥AD，
∴∠PAN＝∠ANM，
由（1）知∠PNM＝2∠CBN，
∴∠PAN＝∠PNA，
∴AP＝PN，
∵AB＝CD＝4，M，N分别为AB，CD的中点，
∴DN＝2，
设AP＝x，则PD＝6﹣x，
在Rt△PDN中
PD2+DN2＝PN2，
∴（6﹣x）2+22＝x2，
解得：x＝
所以AP＝．
20．（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAC＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：如图，连接OB，
∵BE＝BF，OE＝OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO＝90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA＝OB＝OC，
∴∠BAC＝∠ABO，
又∵∠BEF＝2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC＝90°，
解得∠BAC＝30°，
∵BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝＝＝6．