高中数学人教A版（2019）必修第一册教案：4.5.1 函数的零点与方程的解（Word）

第四章
指数函数与对数函数
4.5
函数的应用（二）
4.5.1
函数的零点与方程的解
教学设计
一、教学目标
1.了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.
2.理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
3.能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.
二、教学重难点
1.教学重点
理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法.
掌握函数零点存在定理并能应用.
2.教学难点
数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用.
函数零点存在定理的理解.
三、教学过程
（一）新课导入
观察下列三组方程与函数：
方程
函数
大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x轴的交点之间的关系.
教师以第一题为例阐述二者之间的关系，方程的根为-1和3，函数的图像与x轴交于点（-1,0），（3,0）.
学生思考回答下面两组关系.
学生：有两个相等的实根为1，函数的图像与x轴有唯一的交点（1,0）.
没有实根，函数的图像与x轴无交点.
教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容.
探究一：零点的概念
教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.
学生思考并归纳：
零点的概念：对于一般函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.
提问：考察函数（1）；（2）；（3）；（4）的零点.
学生思考回答：（1）零点是x=1；（2）零点是x=0；（3）没有零点；（4）零点是x=1.
教师引导学生思考归纳函数的零点与方程的根的关系：
方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点.
探究二：二次函数零点的判定
提问：我们已经知道了函数的零点与方程的根的关系，那么对于二次函数来说，方程有一个根，说明函数有一个零点，方程有两个根，说明函数有两个零点；那么大家思考：二次函数的零点与一元二次方程的根的判别式之间有什么关系呢?
学生思考并由教师归纳总结：二次函数零点的判定.
对于二次函数与一元二次方程，其判别式.
判别式
方程的根
函数的零点
两个不相等的实根
两个零点
两个相等的实根
一个零点
没有实根
0个零点
师：大家思考下列问题：（1）如何求函数的零点?（2）函数零点与函数图像的关系怎样?
学生回答，教师点评.
生：（1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根.
（2）零点即函数图像与x轴交点的横坐标.
探究三：函数零点存在定理
提问：探究函数的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况?
教师引导学生思考解决.
师：利用图像观察零点所在区间，区间端点一般取整数.
生：零点，零点，且.
师：那么其他函数的零点是否具有相同规律呢?
观察下列函数的零点及零点所在区间：
（1）
（2）.
生：（1）函数的零点为且，所以零点所在区间为（0,1）；
（2）函数的零点为2，且，所以零点所在区间为（1,3）.
教师讲解，由特殊到一般，由此我们可以归纳出函数零点存在定理.
如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在，使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的解.
师生合作分析，并剖析定理中的关键词：
（1）连续不断；（2）f（a）f（b）<0.
教师讲解：由于函数图象连续不断，若f（a）>0，f（b）<0，则函数y=
f（x）的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点.
对定义的进一步理解：（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，且它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点；
（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号；
（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.
例题：函数在（0,3）内（1）由2个零点（2）有1个零点，分别求a得取值范围.
学生求解：（1）在（0,3）内有两个零点，则；
（2）在（0,3）内有一个零点，则.
通过实例分析，进一步理解定理.
（三）课堂练习
例1.求函数的零点，并画出他们的图像.
解：因为，所以这个函数的零点为-1，1，2.这三个零点把x轴分为4个区间：.
在这4个区间内，取x得一些值（包括零点），列出这个函数的对应值表.
x
…
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
…
y
…
-4.38
0
1.88
2
1.13
0
-0.63
0
2.63
…
在直角坐标系中描点连线，这个函数的大致图像如图：
例2.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根?
；
；
；
.
解：（1）令，做出函数的图像，它与x轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根.
（2）可以化为，令，作出函数的图像，它与x轴没有交点，所以方程没有实数根.
（3）可化为，做出函数的图像，它与x轴有一个交点，所以方程有两个相等的实数根.
（4）可以化为，令做出函数的图像，它与x轴有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根.
（四）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容?
1.数学知识：零点的概念、求法以及判定.
2.数学思想：函数与方程的相互转化，即转化思想；借助图象探寻规律，即数形结合思想.
四、板书设计
1.
零点的概念、求法以及判定.
2.
函数与方程的相互转化，借助图象探寻规律.
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