高中数学人教A版（2019）必修第一册教案：4.5.2 用二分法求方程的近似解（Word）

第四章
指数函数与对数函数
4.5
函数的应用（二）
4.5.2
用二分法求方程的近似解
教学设计
一、教学目标
1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次.
2.能借助计算工具、信息技术用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次.
3.通过让学生概括二分法思想和步骤，培养学生的归纳概括能力，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.
二、教学重难点
1.教学重点
用二分法求方程的近似解.
2.教学难点
二分法原理的理解.
三、教学过程
（一）新课导入
教师提问：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根.
但对于一般的方程，虽然可用零点存在定理判定根的存在性，然而没有公式，求根的操作根本就无法下手.如何求得方程的根?
学生思考讨论.
教师引导学生观察图像：
学生：方程的根在区间（2,3）内.
教师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根?
学生思考.
师：我们现在用一种常见的数学方法--二分法，共同探究已知方程的根.
探究一：用二分法探求方程的近似解
（1）函数在区间（2,3）内有零点；
（2）如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；
（3）通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围；
（4）取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）≈-0.084，因为f（2.5）f（3）<0，所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）≈0.512，因为
f（2.5）f（2.75）<0，所以零点在区间（2.5，2.75）内.
（5）由于（2，3）（2.5，3）（2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如下表）.
零点所在区间
中点的值
中点函数近似值
（2,3）
2.5
-0.084
（2.5,3）
2.75
0.512
（2.5,2.75）
2.625
0.215
（2.5,2.625）
2.5625
0.066
（2.5,2.5625）
2.53125
-0.009
（2.53125,2.5625）
2.546875
0.029
（2.53125,
2.546875）
2.5390625
0.010
（2.53125,
2.5390625）
2.53515625
0.001
（6）例如，当精确度为0.01时，由于=0.0078125<0.01，所以，我们可以将
x=2.531
25作为函数f（x）=Inx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解，
教师引导学生理解求近似解的方法.
探究二：二分法的概念
教师给出二分法的概念，让学生理解.
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f（a）f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
通过上面的求解过程，试着让学生自己总结二分法的解题步骤，有不对或遗漏的，教师随时补充.
教师引导学生思考并总结.
给定精确度,用二分法求函数y=f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点x0的初始区间[a,b],验证f（a）f（b）<0；
（2）求区间（a，b）的中点c；
（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
①若f（c）=0（此时x0=c），则c就是函数的零点，
②若f（a）f（c）<0（此时x0∈（a，c）），则令b=c，
③若f（c）f（b）<0（此时x0∈（c，b））.则令a=c；
（4）判断是否达到精确度ε：若<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.
教师着重讲解零点所在区间的归属条件，避免学生出现选择区间上的错误.
（三）课堂练习
例1.借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）.
解：原方程即，令f（x）=，用计算器或计算机画出函数y=f（x）的图象（如下图），并列出它的对应值表（如下表）.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
观察图或表，可知f（1）f（2）<0，说明这个函数在区间（1，2）内存在零点x0，取区间（1，2）的中点，用计算器算得f（1.5）≈0.33.因为f（1）（1.5）<0，所以.再取区间（1，1.5）的中点，用计算器算得f（1.25）≈-0.87.因为f（1.25）f（1.5）<0.所以x0∈（1.25，1.5）.同理可得x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.437
5）.
由于|1.375一1.437
5|=0.062
5<0.1.
所以，原方程的近似解可取为1.375.
（四）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容?
1.二分法的定义.
2.给定精确度ε,用二分法求函数f（x）零点的近似值的步骤.
四、板书设计
1.对于在区间[a,b]上图象连续不断且f（a）f（b）<0的函数y=f（x）.通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
2.给定精确度,用二分法求函数y=f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点x0的初始区间[a,b],验证f（a）f（b）<0；
（2）求区间（a，b）的中点c；
（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
①若f（c）=0（此时x0=c），则c就是函数的零点，
②若f（a）f（c）<0（此时x0∈（a，c）），则令b=c，
③若f（c）f（b）<0（此时x0∈（c，b））.则令a=c；
（4）判断是否达到精确度ε：若<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.
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