2.2 基本不等式 课件（共22张PPT）

2.2 基本不等式
【学习目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，
并从不同角度探索基本不等式的证明过程
【教学难点】
基本不等式等号成立条件
温故知新
证明：（作差法）
当且仅当a=b 时等号成立
【基本不等式】
【基本不等式】
——算术平均数
——几何平均数
【基本不等式】
可以叙述为:
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
例1 已知x、y都是正数，求证：
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
即求（x+y）的最小值.
例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m.
分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
周长确定，则2（x+y）=36，
篱笆的面积为xy m2.
即求xy的最大值.
例2 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36, x+ y=18，
矩形菜园的面积为xy m2 .
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，
菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .
例2 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36, x+ y=18，
矩形菜园的面积为xy m2 .
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，
菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .
例2 (2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？
【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积
为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，
池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价
最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：
设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得
当
时y有最小值297600
所以将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价
最低，最低造价是297600元
【随堂练习】
1、已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc
【随堂练习】
2、当x>0时， 的最小值为 ，此时x= 。
2
1
【随堂练习】
3、已知2x+3y=2(x>0,y>0),则x y 的最大值是 。
4、(x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
适用范围
文字叙述
“=”成立条件
a=b
a=b
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
两数的平方和不小于它们积的2倍
a,b∈R
a>0,b>0
小结：
感谢您的观看