3.2.1 函数的单调性与最大小值（第二课时） 课件（共23张PPT）

第三章 函数概念与性质
3.2.1 单调性和最大（小）值
（第二课时）
教学目标
（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
重点难点
重点：
函数的最大（小）值及其几何意义．
难点：
利用函数的单调性求函数的最大（小）值
知识点一 增函数与单调递增
温故知新
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间?D?I???，如果??x1,x2∈D????,
当x1特别地，当函数?f(x)在它的定义域内单调递增时，我们称它为增函数。
知识点二 减函数与单调递减
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间?D?I???，如果??x1,x2∈D????,
当x1f(x2)???那么就称函数f(x)在区间D上单调递减?????；
特别地，当函数?f(x)在它的定义域内单调递增时，我们称它为减函数。
温故知新
知识点三 单调区间
如果函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间
具有(严格的)　单调性????,区间D叫做y=f(x)的单调区间????.
温故知新
思考
你能以函数f(x)=-x2为例说明f(x)的最大值含义吗？
研探新知
图象在区间 (0,+∞)上 逐渐上升，
在(0,+∞)内随着x的增大，y也增大。
对于区间(0,+∞)内任意x1,x2，
当x1就说函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
知识点一 函数最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
（1）?x∈I,都有??f(x)≤M???
（2）?x0∈I,使得????f(x0)=M???
那么,称M是函数y=f(x)的最大值
研探新知
知识点一 函数最大值
f(x)的最大值的几何意义：图象上最高点的　纵坐标??
研探新知
知识点一 函数最小值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
（1）?x∈I,都有??f(x)≥M???
（2）?x0∈I,使得????f(x0)=M???
那么,称M是函数y=f(x)的最小值
研探新知
知识点一 函数最大值
f(x)的最小值的几何意义：图象上最高低的　纵坐标??
研探新知
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时暴裂，如果烟花距地面的高度h(单位m)与时间t s之间的关系为h(t)=- 4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）?
研探新知
分析：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象
显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,
顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,
纵坐标就是这时距地面的高度.
例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时暴裂，如果烟花距地面的高度h(单位m)与时间t s之间的关系为h(t)=- 4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）?
研探新知
例2 已知函数 ，求函数f（x）的最大值与最小值.
研探新知
分析：
由函数的图象可知道，此函数在[2，6]上递减。
所以在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.
详细解析见教材P81。
1、函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分别是(　　)
A.f(-2),0
B.0,2
C.f(-2),2
D.f(2),2
随堂练习
C
2、下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1
随堂练习
C
解:函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．
【答案】　C
3、函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
随堂练习
B
解:函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．
4、函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为(　　)
A．[0,3] B．[－1,0]
C．[－1，＋∞) D．[－1,3]
随堂练习
解:∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]
∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1
当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]
5．已知函数f(x)＝x2－x＋1.
(1)画出函数的图象；
(2)根据图象求函数在区间[－1,1]上的最大值．
随堂练习
解:(1)图象如图所示:
(2)由图象知，函数在[－1,1]上的最大值是3.
6．已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值-2.(1)求a,b的值;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>-x+m恒成立,求实数m的取值范围.．
随堂练习
解：(1)∵f(x)=ax2-4ax+b(a>0),
∴函数f(x)的图象开口向上,且图象的对称轴方程为x=2,
∴f(x)在[0,1]上是减函数,
∴f(x)max=f(0)=b=1
f(x)min=f(1)=b-3a=-2,
∴a=b=1.
6．已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值-2.(1)求a,b的值;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>-x+m恒成立,求实数m的取值范围.．
随堂练习
解：(2)由f(x)>-x+m,可得x2-4x+1>-x+m即x2-3x+1-m>0,
要使此不等式在[-1,1]上恒成立,
只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
1. 增函数、减函数的定义；
2.证明函数单调性的步骤；
3.函数的最大（小）值。
随堂练习