3.2.1 函数的单调性与最大小值（第一课时） 课件（共22张PPT）

第三章 函数概念与性质
3.2.1 单调性和最大（小）值
（第一课时）
教学目标
1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；
2、掌握增（减）函数的证明和判别；
3、学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
重点难点
重点 ：
掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。
难点 ：单调性的证明和判别。
温故知新
表示法
定义
解析法
用　数学表达式????表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出　表格????来表示两个变量之间的对应关系
图象法
用　图象????表示两个变量之间的对应关系
知识点一 函数的表示法
知识点二 分段函数
温故知新
　　已知函数y=f(x),x∈A,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的对应关系????,那么我们称这样的函数为分段函数.
如y=f(x)= ?是分段函数.
注意:分段函数表示的是一个函数.
思考
情境导入
观察下列各个函数的图象， 并探讨下列变化规律：
①随x的增大，y的值有什么变化？
②能否看出函数的最大、最小值？
③ 函数图象是否具有某种对称性？
知识点一 增函数与单调递增
研探新知
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间?D?I???，如果??x1,x2∈D????,
当x1特别地，当函数?f(x)在它的定义域内单调递增时，我们称它为增函数。
知识点二 减函数与单调递减
研探新知
一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间?D?I???，如果??x1,x2∈D????,
当x1f(x2)???那么就称函数f(x)在区间D上单调递减?????；
特别地，当函数?f(x)在它的定义域内单调递增时，我们称它为减函数。
知识点三 单调区间
研探新知
如果函数f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间
具有(严格的)　单调性????,区间D叫做y=f(x)的单调区间????.
例 1 如图是定义在区间 [－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
研探新知
研探新知
解：从函数图象上看，
当-5≤x≤-2时，图象呈下降趋势，
所以[-5，-2]为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；
当-2≤x≤1时，图象呈上升趋势，
所以[-2，1]为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增；
当1≤x≤3时，图象呈下降趋势，
所以[1，3]为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；
当3≤x≤5时，图象呈上升趋势，
所以[3，5]为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增．
例2 利用定义证明:f(x)=?在[0,+∞)上是增函数.
研探新知
解：任取[0,+∞)上的两个实数x1,x2,且x1则f(x1)-f(x2)=?-?
=?=?.
∵0≤x10,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴f(x)=?在[0,+∞)上是增函数.
1、已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是(　　)
随堂练习
B
2、函数y= 的单调递减区间是(　　)
A.[0,+∞)
B.(-∞,0]
C.(-∞,0)和(0,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
随堂练习
C
解：有图像易知，f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)单调递减，此时可表示为：(-∞,0)和(0,+∞)或(-∞,0)，(0,+∞),故选择C
3、已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图所示.根据图象写出y=f(x)的单调递减区间为　　　 　.?
随堂练习
[-1,2]
4、函数y=|x+2|在区间[-3,0]上(　　)
A.递减
B.递增
C.先递减后递增
D.先递增后递减
随堂练习
解：根据题意画出函数图像，易知选择C
5、.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是(　　)
A.f(4)>f(-π)>f(3)
B.f(π)>f(4)>f(3)
C.f(4)>f(3)>f(π)
D.f(-3)>f(-π)>f(-4)
随堂练习
解：由函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,
得 f(4)>f(π)>f(3)>f(-3)>f(-π)>f(-4),故选D.
D
6、已知函数f(x)= .
(1)求f(f(3))的值;
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
(3)确定x的取值范围,使得函数f(x)=的图象在x轴上方(写出结论即可).
随堂练习
6、已知函数f(x)= .
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
随堂练习
6、已知函数f(x)= .
(3)确定x的取值范围,使得函数f(x)=的图象在x轴上方(写出结论即可).
随堂练习
法一：作出函数f(x)=的图象,如图所示,由图象知,
当x∈(-∞,0)∪(1,+∞)时,f(x)=的图象在x轴上方.
法二：f(x)图象在x轴上方，相当于f(x)>0，即x(x-1)>0且x≠1，可得x<0或x>1，即x∈(-∞,0)∪(1,+∞)
课堂小结
1、函数的表示法：解析法、列表法、图像法
2、单调递增与增函数
3、单调递减与减函数
4、单调区间