江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第二次大考数学（理）试题 Word版含答案

南康中学2020-2021学年度第一学期高二第二次大考
数 学（理）试 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）
1．直线的方程为，则直线的倾斜角为（ 　　）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，已知，，则的中点到坐标原点的距离为（　　）
A． B． C．2 D．3
3．一个长方体切去一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为(　　)

4．圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的，则圆锥的体积（ ）
A．扩大到原来的倍 B．缩小到原来的一半 C．缩小到原来的 D. 不变
5．等比数列，满足，且，，则（ ）
A．31　　　　　 B．36　　　 C．42　 　　　 D．48
6．在棱长为1的正方体中，分别是和的
中点，则直线与所成角的余弦值为(　 　)
A． B．
C． D．
7．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是 (　　)
A． 36 B． 18 C． 5 D． 6
8．在中，角，，的对边分别为，，，若，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
9. 已知空间中不同直线和不同平面、，下面四个结论：
①若互为异面直线，，，，，则；
②若，，，则；
③若，，则；
④若，，，则.其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③
10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知正方体的棱长为1，是棱的中点，点在正方体内部或正方体的表面上，且∥平面，则动点的轨迹所形成的区域面积是（? ）
A． B． C． D．
12．如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成 （平面）．若、分别为线段、的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A．与平面垂直的直线必与直线垂直
B．异面直线与所成角是定值
C．一定存在某个位置，使
D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上的相应位置）
13．已知向量，若向量与垂直，则 .
14．如图,为水平放置的斜二测画法的直观图，且,则的周长为 .
15．在平面直角坐标系中，若圆C：上存在两点A、B满足：，则实数a的最大值是 .
16．已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
17．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面．
18．（本小题满分12分）
在中，．
（I）求的大小；
（II）求的最大值．
19．（本小题满分12分）
设数列的前n项和为，且，,n∈N*．
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
如图所示，正三棱柱的高为2，点是的中点，点是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.
21．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，，平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.
22．（本小题满分12分）
如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线，分别与圆交于两点,设直线的斜率分别为.
（1）若，求△的面积；
（2）若，求证：直线过定点.
南康中学2020-2021学年度第一学期高二第二次大考
数学（理）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A D B A B D D D A C C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上的相应位置）
13. 7 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
17.解: （1）直三棱柱，面，，
又，，，，，
，面，．----------5分
（2）取的中点，连结和，
，且，
四边形为平行四边形，
，面，
，且，四边形为平行四边形，，面，
，面面，平面．----------10分

18.解: （1），又∵，∴......................6分
（2）由（1）知
............................ 10分
因为，所以当时，取得最大值.................................12分
19.解:（1）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），两式相减得an+1﹣an=2an
即an+1=3an（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以an=3n﹣1． ................................................................5分
（2）因为 ，所以．
则，
两式相减得：．
所以=．...........................................................12分
20. 解：（1）如图，连接，因为是的中点，是的中点，
所以在中，,
平面， 平面，
所以平面. -------------5分
（2）由等体积法，得，
因为是的中点，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半.
如图，作交于点，由正三棱柱的性质可知，平面.
设底面正三角形的边长，则三棱锥的高， ------------9分
,
所以，解得，
所以该正三棱柱的底面边长为. -------------12分
21.解：(1)在中，.
所以，所以为直角三角形，. -------------3分
又因为平面，所以.
而，所以平面. -------------5分
(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，
则平面平面.
二面角就是平面与平面所成二面角.
因为，所以是的中位线.
，这样是等边三角形.
取的中点为，连接，因为平面.
所以就是二面角的平面角. -------------10分
在，所以. -------------12分
(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，
可得.
.
设是平面的法向量，则
令得. -------------9分
取平面的法向量为. -------------10分
设平面与平面所成二面角的平面角为，
则，从而. -------------12分
22.解:（1）由题知，得直线AM的方程为，直线AN的方程为
所以，圆心到直线AM的距离，所以，，-------------3分
由题知，所以AN⊥AM，，-----------5分
（2）方法一:由题知直线AM的方程，直线AN的方程为
联立方程，所以，
得或 所以，-------------7分
同理，，-------------8分
所以直线为
即，得，
所以直线恒过定点．-------------12分
方法二:由知直线的斜率不为0,
设直线的方程为,
联立 得
且 -------------7分
,
又
即
-------------9分
化简整理得,解得或(舍去) -------------11分
直线的方程为,故直线恒过定点 -------------12分