江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第二次大考数学（文）试题 Word版含答案

南康中学2020-2021学年度第一学期高二第二次大考
数学（文）试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）
A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24
C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是21
2．一个长方体切去一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为(　　)

3．如图，是的直观图，其中，
那么是（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
4．甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练，成绩如下：
甲：7，7，8，8，10；乙：8，9，9，9，10.
若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示，方差分别用，表示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ 　）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A． 02 B． 07 C． 01 D． 06
6．若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，
则（ ）










A． B． C． D．
7．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
8．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（　　）
A． B．
C． D．
9．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是 (　　)
A． 36 B． 18 C． 5 D． 6
10．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
注：重心坐标公式为横坐标：；纵坐标：.
A． B． C． D．
11．两圆和恰有一条公切线，若， ，且，则的最小值为（ ）
A． 4 B． 3 C．2 D．1
12．如图，在空间四边形中，两条对角线互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边分别相交于点，记四边形的面积为y，设，则（ ）
A．函数的值域为
B．函数的最大值为8
C．函数在上单调递减
D．函数满足
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为 ．
14．已知直线与圆交于两点，若，则 .
15．表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ．
16．在正三棱柱中，为棱的中点，若是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
（1）求证：；
（2）求证：平面．
18．（本小题满分12分）
某快递公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.
（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；
（2）在这60天中包裹件数在[100，200）和 [200，300）的两组中，用分层抽样的方法抽取件，求在这两组中应分别抽取多少件？
19．（本小题满分12分）
在中，．
（I）求的大小；
（II）求的最大值．
20．（本小题满分12分）
某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：
单价（元） 18 19 20 21 22
销量（册） 61 56 50 48 45
（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程,
（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？
附：，，，.
21．（本小题满分12分）
如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,，,，为等边三角形.
（1）证明：；
（2）求点到平面的距离.
22．（本小题满分12分）
已知圆心为的圆过原点，且直线与圆相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）已知过点的直线的斜率为，且直线与圆相交于两点，
（i）若，求弦的长；
（ii）若圆上存在点，使得成立，求直线的斜率.
南康中学2020-2021学年度第一学期高二第二次大考
数学（文）试卷参考答案
一、选择题 B C D D C D C A D D A D
二、填空题
13. 45 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】（1）直三棱柱，面，，
又，，，，，
，面，．----------5分
（2）取的中点，连结和，
，且，
四边形为平行四边形，
，∥面，
，且，四边形为平行四边形，，面，
，面面，平面．----------10分
18.【解析】（1）每天包裹数量的平均数为
；
或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，
所以每天包裹数量的平均数为
----------4分
设中位数为x，易知，则，
解得x=260. ----------8分
所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.
（2）件数在[100，200）.[200，300）的频率分别为0.1，0.5
频率之比为1:5，所抽取的件中，在[100，200）的件数为，
在的件数为. ----------12分
19. 【解析】（1），又∵，∴......................6分
（2）由（1）知
............................ 10分
因为，所以当时，取得最大值.................................12分
20．【解析】
（1），-------2分
又，
所以， ----------4分
故
所以对的回归直线方程为：． ------------6分
（2）设获得利润为，
， ------------9分
因为二次函数的开口向下，
所以当时，取最大值，
所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润． ---------12分
21．【解析】∵在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，
DC＝2AD＝2AB＝2，∠DAB＝∠ADC＝90°，PB，△PDC为等边三角形．
∴BC＝BD，
∴BD2+BC2＝CD2，PB2+BC2＝PC2，
∴BD⊥BC，PB⊥BC，
∵BD∩PB＝B，∴BC⊥平面PBD，
∵PD 平面PBD，
∴PD⊥BC．----------6分
（2）由（1）知，，
故
故得点B到面PCD的距离为 ----------12分
22.【解析】（1）由已知得，圆心在线段的垂直平分线上，
圆心也在过点且与垂直的直线上，
由得圆心，
所以半径，所以圆的方程为.-------4分
（2）①由题意知，直线的方程为，即，
∴圆心到直线的距离为，
∴.----------8分
②∵圆上存在点，使得成立，∴四边形是平行四边形，
又，∴都是等边三角形，
∴圆心到直线的距离为，
又直线的方程为，即，
∴，解得. ----------12分