专题21.1 一元二次方程-2020-2021数学九上册同步课堂帮帮帮（人教版）

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第二十一章 一元二次方程
21.1一元二次方程
1．一元二次方程的定义
（1）等号两边都是 ，只含有一个 （一元），并且 是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．21世纪教育网版权所有
（2）注意以下几点：①只含有 ；②未知数的最高次数是 ；③等号两边都是 ．21*cnjy*com
2．一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是 ．其中，ax2是 ，a是 ；bx是 ，b是 ；c是 ．
3．一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未_?????°????????????_一元二次方程的 ，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义是解方程过程中 的依据．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．
1．（1）整式，未知数，未知数的最高次数（2）一个未知数，2，整式
2．ax2+bx+c=0(a≠0)，二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项
3．解，验根
帮—重点 一元二次方程的根
帮—难点 根据实际问题列出一元二次方程
帮—易错 （1）若一元二次方程的二次项系数含有字母，则根据一元二次方程的定义求值时，要注意不能忽略隐含条件“”．（2）指出一元二次方程的二次项、一次项和常数项时，一定要注意各项均包含前面的符号．
1．一元二次方程的定义及一般形式
1．等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程．www-2-1-cnjy-com
2．一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项
下列方程中是一元二次方程的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、该方程是一元一次方程，故本选项错误.
B、该方程是二元二次方程，故本选项错误.
C、该方程是一元二次方程，故本选项正确.
D、该方程分式方程，故本选项错误.
故选：C.
【名师点睛】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是.
将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是一6，常数项是1的方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
其二次项系数是3，一次项系数是，常数项是1，故选A.
【名师点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为.
2.一元二次方程的根
1．使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．
2．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．21·cn·jy·com
已知关于的方程有一个根是，则的值是（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
把b代入方程得到关于a，b的式子进行求解即可；
【详解】
把b代入中，得到，
∵，
∴两边同时除以b可得，
∴．
故答案选A．
【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，准确利用等式的性质是解题的关键．
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0
2．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．?2 B．2
C．?4 D．4
3．一元二次方程4x2–3x–5=0的一次项系数是
A．–5 B．4
C．–3 D．3
4．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．在下列方程中，一定是一元二次方程的是
A． B．
C． D．
6．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是
A．2，5，–4 B．2，5，4
C．2，–5，–4 D．2，，4
7．把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式，则a、b、c的值分别是( )
A．1，-3，10 B．1，7，-10
C．1，-5，12 D．1， 3，2
8．已知实数a,b满足 ,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是
A．x=a,x=b都不是该方程的解
B．x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解
C．x=a不是该方程的解,x=b是该方程的解
D．x=a,x=b都是该方程的解
9．一元二次方程化为一般形式是__________，它的一次项是__________，常数项是__________．21教育网
10．已知关于的方程是一元二次方程的条件是____________.
11．已知关于的方程的一个根是，则__________．
12．关于x的一元二次方程的一个根是0，求n的值．
13．若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，试求整数a，b的值．
14．若一元二次方程 的常数项为0,则m的值为　
A．3 B．-3
C．±3 D．±9
15．下面关于的方程中：①；②；③；④（为任意实数）；⑤．一元二次方程的个数是
A．1 B．2
C．3 D．4
16．已知a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根，则代数式﹣2a2+6a﹣3的值是
A．﹣5 B．﹣6
C．﹣12﹣2 D．﹣12+2
17．关于的方程是一元二次方程，则=__________．
18．已知=0是关于x的一元二次方程，则k为__________．
19．若关于x的一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项之和是0，则k=__________.2-1-c-n-j-y
20．已知是方程的一个根，则代数式的值是________．
21．一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数之和为___________．
22．已知方程ax2+bx+c＝0的一个根是﹣1，则a﹣b+c＝_____．
23．关于x的一元二次方程（a–1）x2+x+（a2–1）=0的一个根是0，则a的值是__________．
24．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值.
25．（2020?黑龙江）已知2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）21*cnjy*com
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
26．（2019·遂宁）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为
A．0 B．
C．1 D．
27．（2019·资阳）a是方程的一个根，则代数式的值是_____________.
28．（2019·南京）已知是关于x的方程的一个根，则m=_____________.
1．【答案】C
【解析】
【分析】
一元二次方程必须满足四个条件：_???1???????????°_的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
【名师点睛】此_é?????è??è????????_一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．【版权所有：21教育】
2．【答案】B
【解析】
分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．21教育名师原创作品
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=2．
故选B．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．【答案】C
【解析】一元二次方程4x2–3x–5=0的一次项系数，即–3x的系数，是–3，故选C．
4．【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．
【详解】
由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选A．
【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．21·世纪*教育网
5．【答案】B
【解析】A.?x2+=0是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；
B. 由原方程知x2?2x?19=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C. 当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故本选项错误；
D. 该方程中含有2个未知数，所以它不是一元二次方程，故本选项错误.
故答案选B.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义.
6．【答案】C
【解析】方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，–5，–4．故选C．
7．【答案】A
【解析】
【分析】
方程整理为一般形式，找出常数项即可．
【详解】
方程整理得：x2?3x+10=0，
则a=1，b=?3，c=10.
故答案选A.
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的每种形式.
8．【答案】D
【解析】∵实数a，b满足，
∴x=a，x=b都是一元二次方程的根．
故选D．
【名师点睛】本题考查了一元_??????????¨????è§?_（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．www.21-cn-jy.com
9．【答案】，3x，–2．
【解析】方程可整理为：，，即，根据一元二次方程的一般式（a≠0）可得，该一元二次方程的一般式为，它的一次项是3x，常数项为–2．故答案为：，3x，–2．【来源：21·世纪·教育·网】
10．【答案】m≠1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的一般形式（是常数且）可知，二次项系数不为0，即可解答.
【详解】
根据一元二次方程的一般形式（是常数且）可知，二次项系数不为0，故
解得：
故答案为
【名师点睛】本题考查一元二次方程的条件，熟练掌握一元二次方程一般形式以及二次项系数不为0，是解题关键.21cnjy.com
11．【答案】2
【解析】∵关于的方程的一个根是，∴，∴，∴．
12．【答案】
【解析】∵关于x的一元二次方程的一个根是0，∴，∴，∵，∴．
13．【答案】整数a，b的值为a＝1，b＝0或a＝1，b＝－1.
【解析】分五种情况讨论：
①2a+b=2，a-b=1，解得a=1，b=0.
②2a+b=2，a-b=0，解得a=，b=，不合题意，舍去．
③2a＋b＝1，a－b＝2，解得a＝1，b＝－1.
④2a＋b＝0，a－b＝2，解得a=，b=-，不合题意，舍去．
⑤2a＋b＝2，a－b＝2，解得a=，b=-，不合题意，舍去．
∴整数a，b的值为a＝1，b＝0或a＝1，b＝－1.
14．【答案】B
【解析】∵关于x的一元二次方程的常数项是0，
∴，
即，
解得 ．
故选B．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不等于零．【出处：21教育名师】
15．【答案】 B
【解析】方程①，的取值不确定，时，方程可化为，故不一定是一元二次方程；
方程②，可化为，符合定义，是一元二次方程；
方程③，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
方程④，因为为任意实数，不是未知数，所以符合定义，是一元二次方程；
方程⑤，含有根号，不是整式方程，所以不是一元二次方程．
综上，②④是一元二次方程，故选B．
16．【答案】A
【解析】∵a是方程的解， ∴，
∴原式=－2()－3=－2－3=－5，
故选A．
【名师点睛】本题主要考_?????????????¨????_解以及整体思想求解，属于中等难度的题型．在解这个问题的时候很多同学就会根据方程的解法求出a的值，然后再代入求值．这里我们需要通过观察，利用好整体思想．2·1·c·n·j·y
17．【答案】3
【解析】根据题意得，|m?1|=2，且m+1≠0，解得：m=3，∴m的值为3．
18．【答案】–2
【解析】已知=0是关于x的一元二次方程，可得，1–k≥0，解得k=–2．
19．【答案】14
【解析】易得二次项系数、一次项系数、常数项分别是，
因为它们的和是0，即得到，解得k=14．
【名师点睛】一元二次方_?¨???????è????????_是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意说项的符号是一定要有前面的符号．
20．【答案】-5
【解析】
【分析】
根据方程根的概念可得，将所求代数式变形为，然后利用整体代入的方法进行求解即可得．
【详解】
∵是方程的一个根，
∴，即，
∴
=
=-5，
故答案为：-5．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，正确理解方程根的概念是解题的关键．
21．【答案】或5
【解析】
【分析】
将方程化为一元二次方程的一般形式即可得．
【详解】
由题意，分以下两种情况：
（1）一元二次方程化为，
由此可知，二次项系数为2、一次项系数为、常数为，
则它们之和为，
（2）一元二次方程化为，
由此可知，二次项系数为、一次项系数为1、常数为6，
则它们之和为，
故答案为：或5．
【名师点睛】本题考查了一元二次方程的概念，依据题意，正确分两种情况是解题关键．
22．【答案】0
【解析】
【分析】
将方程的根代入求值即可.
【详解】
解：把x＝﹣1代入方程，可得
a﹣b+c＝0，
故答案为0．
【名师点睛】此题考查代入求值，理解题意即可正确解题.
23．【答案】–1
【解析】∵关于x的一元二次方程（_a???1???x2_+x+（a2–1）=0的一个根是0，∴x=0满足该方程，且a–1≠0．∴a2–1=0，且a≠1．解得a=–1．
24．【答案】0
【解析】∵a＝＋－2，
∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.
又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a－b＋c＝0，
∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.
∴原式＝＝0.
【名师点睛】本_é??è??????????????_二次方程的解，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，本题需注意当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
25．【答案】B
【分析】把x＝2代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解析】根据题意，得
（2）2﹣4×（2）+m＝0，
解得m＝1；
故选：B．
26．【答案】D
【解析】关于x的一元二次方程有一个根为，
∴，则a的值为：.
故选D.
27．【答案】8
【解析】∵a是方程的一个根，
∴，
.
故答案为：8.
28．【答案】1
【解析】把代入方程得，解得m=1.故答案为1.
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