专题22.2 二次函数与一元二次方程-2020-2021数学九上册同步课堂帮帮帮（含解析）

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第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
一、二次函数和一元二次方程之间的关系
函数y=ax2+bx+c(_a???0)??????_y=0时，得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).一元二次方程的根就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此，由二次函数的图象与x轴的交点情况可以确定一元二次方程根的情况.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点的情况分别对应着一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况，如下表所示：
b2-4ac的取值 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况
b2-4ac>0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于（x1，0），（x2，0）两点 一元二次方程ax2+bx+c=0有_______个不相等的实数根x1，x2
b2-4ac=0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点（，0） 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个________的实数根x1=x2=_______
b2-4ac<0 抛物线y=ax2+bx+c与x轴无公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0在实数范围内__________
已知二次函数y=ax2+bx+c_(a???0)???_函数值为k，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=k(a≠0)；反过来，解一元二次方程ax2+bx+c=k(a≠0)就是把二次函数y=ax2+bx+c–k(a≠0)的函数值看作0，求自变量的值．21·世纪*教育网
二、利用二次函数的图象求解一元二次方程
1．方法一
利用抛物线与x轴的交点坐标的方法求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解．
具体过程如下：
（1）在平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象；
（2）观察图象，确定抛物线与x轴的交点坐标；
（3）交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解．
2．方法二
利用求抛物线与直线交点坐标的方法求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解．
具体过程如下：
（1）在平面直角坐标系中画出函数y=ax2(a≠0)(a=0)与y=–bx–c(b≠0)
[或y=ax2+bx(a≠0)与y=–c或y=]的图象；
（2）观察图象，确定抛物线与直线的交点坐标；
（3）交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的解．
【提示】用图象_???è§?????????????_方程是数形结合思想的具体应用．可类比用一次函数的图象解一元一次方程的方法，也可在平面直角坐标系中画出二次函数的图象求一元二次方程的解.但由于作图或观察存在误差，因此通过这种方法求得的方程的根一般是近似的．
1．两，相等，，无解
帮—重点 二次函数和一元二次方程之间的关系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
帮—难点 二次函数和一元二次方程之间的关系
帮—易错 抛物线与x轴的位置关系
一、抛物线与x轴的交点
当函数图象与x_è??????????¤??????_，函数所对应的方程的Δ≥0；函数图象过原点，即当x=0时，y=0；寻求y<0及y>0时x的取值范围，可利用其图象回答． 【版权所有：21教育】
抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0 D．m＞﹣2且m≠0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的定义及抛物线与x轴有交点，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】
解：∵抛物线和轴有交点，
,
解得：且．
故选．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的定义以及解一元一次不等式组，牢记“当时，抛物线与x轴有交点是解题的关键．
已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式m?-m+2019的值为_______
【答案】2020
【解析】
【分析】
把点（m，0）代入抛物线y=x?-x-1求出m?-m的值，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】
∵抛物线y=x??x?1与x轴的一个交点为(m,0)，
∴m??m?1=0，
∴m??m=1，
∴原式=1+2019=2020.
故答案为2020.
【点睛】此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于利用待定系数法求解.
若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____．
【答案】－1或2或1
【解析】
【分析】
分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得．
【详解】
∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0，
解得：a1=-1，a2=2，
当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1.
故答案为-1或2或1.
已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为_________．
【答案】
【解析】
试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.
解：∵方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，
∴抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点的横坐标分别为，﹣1，
∴两个交点间距离为.
故答案为.
二、利用二次函数求一元二次方程的近似解
1．利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下：
①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c；
②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标；
③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
2．用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，
则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．
3．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下：
①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n；
②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号；
③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度．
如图，二次函数的图象的顶点C的坐标为，与x轴交于，根据图象回答下列问题：
（1）写出方程的根；
（2）写出不等式的解集．
【答案】（1），；（2）或
【解析】
【分析】
（1）方程的根是二次函数与x轴的交点的横坐标，可由已知直接得出答案．
（2）本题可根据图像观察当，即二次函数y值大于零时x的取值范围直接得出答案．
【详解】
（1）∵方程的根是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，且两交点分别为，，
∴方程的根为，．
（2）∵不等式的解集是抛物线在x轴上方的图象对应的x的取值范围，
∴由图可知的解集为或．
【点睛】本题考查二次函数，涉及二次函数与一元二次方程根的关系，求解二次函数不等式时，图像观察法更为便捷，熟练掌握可提升解题效率．
一、单选题
1．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到结论．
【详解】
解：∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．
2．函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（　　）
A．0 B．0或2 C．0或2或﹣2 D．2或﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的方法可以求得m的值，本题得以解决．
【详解】
解：∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴当m＝0时，y＝2x+1，此时y＝0时，x＝﹣0.5，该函数与x轴有一个交点，
当m≠0时，函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
则△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0，解得，m1＝2，m2＝﹣2，
由上可得，m的值为0或2或﹣2，
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
3．抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称轴为x=-1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（-3，0），结合图象求出y＞0时x的范围．
【详解】
解：根据抛物线的图象可知：
抛物_??????????§°è?????_x=-1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（-3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴_?????¤????????????_二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=-x2+bx+c的完整图象，求出另一个交点是解决问题的关键．
二、填空题
4．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为 ______．
【答案】(－3，0)，(2，0)
【解析】令y=0，2(x＋3)(x－2)=0，x=-3或2，所以抛物线与x轴交点坐标分别为(－3，0)，(2，0).
【点睛】要求二次函数与x轴的交_??????????????¤y_=0，求出对应的x写出交点坐标即可；要求二次函数与y轴的交点坐标即令x=0，求出y写出交点坐标即可.
5．二次函数y=x2+4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，则三角形ABC的面积为________．
【答案】3
【解析】
∵抛物线y=x2+4x+3=（x+1）（x+3），
∴它与坐标轴的三个交点分别是：（-1，0），（-3，0），（0，3），
∴该三角形的面积为．
故答案是3.
6．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣1，x2=2，则b+c的值是__．
【答案】﹣3
【解析】
试题分析：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣1，x2=2，
∴根据根与系数的关系，可得﹣1+2=﹣b，﹣1×2=c，
解得b=﹣1，c=﹣2
∴b+c=﹣3．
考点：根与系数的关系．
三、解答题
7．抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），试确定抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴的交点坐标．
【答案】抛物线的解析式为y=-x2+4x-3;抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）
【解析】分析：把（0，-3）和_???2???1??????_入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式，把y=0代入解析式，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标．
详解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点（0，-3）和（2，1），
∴，解得?，
抛物线的解析式为y=-x2+4x-3，
令y=0，得-x2+4x-3=0，即?x2-4x+3=0，
∴x1=1，x2=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）．
【点睛】本题考查了用待定_?????°????±???????_函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，解二元一次方程组和解一元二次方程等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目较好，难度适中．
8．求抛物线与坐标轴的交点为顶点的三角形的面积．
【答案】三角形的面积为10
【解析】
【分析】
求出与坐标轴交点的坐标即可得到抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
【详解】
解：∵
∴令y=0，则，
解得，，
∴与x轴的交点为（-1，0）和（4，0），
令x=0，则y=4，
∴与y轴的交点为（0，-4）
∴抛物线与坐标轴的交点为顶点的三角形的面积为
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，用到的知识点是二次函数的基本性质，关键是根据交点坐标求出三角形的底和高．
9．对于抛物线．
（1）将抛物线的一般式化为顶点式．
（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．
x …




…
y …




…
（3）结合图象，当时，求出y的取值范围．
【答案】（1）；（2）函数图象如图所示，见解析；（3）当时，y的取值范围是．
【解析】
【分析】
（1）利用配方法变形即可；
（2）列表、描点、连线即可；
（3）结合（2）中图象和表格即可得出结论．21世纪教育网版权所有
【详解】
（1）．
∴抛物线的顶点式为．
（2）
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0
0 3 …
函数图象如图所示：
（3）根据函数图象可知，当时，y的取值范围是．
【点睛】此题考查的是二次_?????°è§??????????_变形、画二次函数的图象和根据自变量的取值范围，求函数值的取值范围，掌握配方法、画二次函数的图象的一般步骤和数形结合的数学思想是解决此题的关键．【来源：21cnj*y.co*m】
10．已知函数y1＝－x2 和反比例函数y2的图象有一个交点是 A（，－1）．
（1）求函数y2的解析式；
（2）在同一直角坐标系中，画出函数y1和y2的图象草图；
（3）借助图象回答：当自变量x在什么范围内取值时，对于x的同一个值，都有y1＜y2？
【答案】（1）；（2）作图见解析；（3）x＜0，或x＞.
【解析】
分析：（1）利用A点在二次函数的图象上，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据二次函数的性质以及反比例函数的性质画出草图即可；
（3）利用函数图象以及交点坐标即可得出x的取值范围．
详解：（1）把点A（，-1）代入y1=?x2，
得-1=?a，
∴a=3．
设y2=，把点A（，-1）代入，
得??k=?，
∴y2=?．
（2）画图；???
??????????????????????????????
（3）由图象知：当x＜0，或x＞时，y1＜y2．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及二次函数的性质和比较函数的大小关系，利用数形结合得出是解题关键．21cnjy.com
一、单选题
1．若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为（　　）
A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据m＝1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．
【详解】
解：当m＝1时，函数解析式为：y＝﹣6x+是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当m≠1时，函数为二次函数，
∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴62﹣4×（m﹣1）×m＝0，
解得，m＝﹣2或3，
故选C．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
2．如图是二次函数的部分图象，则的解的情况为（ ）
A．有唯一解 B．有两个解 C．无解 D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3，把方程转化为，利用数形结合求解即可.
【详解】
根据图象可知抛物线顶点的纵坐标为-3,
把转化为
抛物线开口向下有最小值为-3
∴（-3）>(-4)即方程与抛物线没有交点.
即方程无解.
故选C.
【点睛】本题考查了数形结合的思想，由题意知道抛物线的最小值为-3是解题的关键.
3．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知当_???è±?é???????¨???_B时，点N的横坐标的最大值为4，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论．
【详解】
解：当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，
则此时抛物线的解析式为．
把点N的坐标代入得，解得．
当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小，
此时抛物线的解析式为．
令，则或1，
即点M的横坐标的最小值为．
故选B．
【点睛】此题考查的是二次函_??°??????è±??????§_质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点B时，点N的横坐标最大；当图象顶点在点A时，点M的横坐标最小．
二、填空题
4．二次函数（a，b，c为常数且）的x与y部分对应值如下表：
x


0 1 2 3 4 5
y 12 5 0


0 5 12
给出了结论：①二次函数有最小值，最小值为；②当时，；③；④二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确的结论是______．21*cnjy*com
【答案】②③④
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
①由题表可知，时，二次函数有最小值，最小值为，故①错误；
②若，则x的取值范围为，
则当时，，故②正确；
③由表可知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，
所以，则，故③正确；
④二次函数的图象与x轴有两个交点，分别为，
它们分别在y轴两侧，故④正确．
综上所述，其中正确的结论是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2-1-c-n-j-y
5．已知函数y＝，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是_____．
【答案】k＝1或k＜﹣8
【解析】
【分析】
求出抛物线y＝﹣（x﹣1）2+_1????????????y_＝﹣（x﹣7）2+1交点坐标（4，﹣8），然后利用函数图象求出直线y＝k与函数图象有两个交点时k的范围即可．
【详解】
解：y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），
y＝﹣（x﹣7）2+1的顶点坐标为（7，1），
当 得：x＝4，
则抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y＝﹣（x﹣7）2+1相交于点（4，﹣8），
如图，直线y＝﹣8与函数图象有三个交点，
当k＜﹣8时，直线y＝k与函数图象有2个交点，
当k＝1时，直线y＝k与函数图象有2个交点，
所以使y＝k成立的x值恰好有2个时，k＝1或k＜﹣8．
故答案为：k＝1或k＜﹣8．
【点睛】本题考查的是二次函数与直线的交点个数的问题，利用数型结合是解题的关键．
6．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0； ②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3
③a+b+c＞0 ④当x＞1时，y随x的增大而增大．
正确的说法有_____．
【答案】①②③．
【解析】
【分析】
【详解】
∵抛物线的开口向下，

∵与轴的交点为在轴的正半轴上，

故①正确；
∵对称轴为 抛物线与轴的一个交点为
∴另一个交点为
∴方程 的根是
故②正确；
当时，
故③正确；
异号，即
当时，随的增大而减小，故④错误．
∴其中正确的说法有①②③；
故答案为①②③．
三、解答题
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若∠DAB=60?，直接写出D点的坐标．21教育名师原创作品
【答案】（1）；（2），；（3），
【解析】
分析：（1）根据根的判别式，有两个不等的实根，根的判别式△=b2-4ac＞0列出关于k的不等式12+8k＞0，求解即可得到k的取值范围；
（2）利用（1）中k的取值范围求得k的整数解，然后将其代入关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0并整理，再根据配方法进行求解；
（3）先求出二次函数的解析式，_???????±??????????_线与x轴的交点，从而得到对称轴的解析式以及AB的长度，再根据∠DAB=60°求出点D到x轴的距离，然后根据点D在AB的上方与下方两种情况讨论得解．
详解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x+1-2k=0有两个不等的实根，
∴△=（-4）2-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，
解得，k＞-；
（2）∵k取小于1的整数，
∴k=-1或0，
①当k=-1时，方程为x2-4x+3=0，
即（x-2）2=1，
∴x-2=1或x-2=-1，
解得x1=3，x2=1，
②当k=0时，方程为x2-4x+1=0，
即（x-2）2=3，
∵方程的解为整数，
∴k=0不符合，
∴k=-1，此时方程的两个整数根是x1=3，x2=1；
（3）如图所示，根据（2），二次函数解析式为，y=x2-4x+3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴AC=（3-1）=1，
∵∠DAB=60°，
∴AD=2AC=2，
∴CD=，
当点D在AB的上方时，坐标为（2，），在AB的下方时，坐标为（2，-），
∴点D的坐标为（2，）或（2，-）．
【点睛】本综合考查了根的判_??????????????????_次方程的解法以及二次函数的性质，抛物线与x轴的交点情况，综合性较强，但难度不是很大，根据整数根求出k的值是解题的关键．
8．画出二次函数的图象．
（1）利用图象求方程的近似很（结渠精确到）；
（2）设该抛物线的顶点为M，它与直线y=－3的两个交点分别为C、D，求△MCD的面积．
【答案】（1）x=?1.4或3.4；（2）；
【解析】
【分析】
（1）根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．
（2）解方程x2-2x_-5=-3???_根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1?x2=-2，因为抛物线与直线y=-3的两个交点C、D的横坐标就是方程的两个根，所以进而求得CD=|x1-x2|=
，然后根据三角形的面积公式求得即可．
【详解】
方程x2?2x?5=0根是函数y=x2?2x?5与x轴交点的横坐标。
作出二次函数y=x2?2x?5的图象，如图所示，
(1)由图象可知方程有两个根，一个在?2和?1之间，另一个在3和4之间.
先求?2和?1之间的根，
当x=?1.4时，y=?0.24；当x=?1.5时，y=0.25；
因此，x=?1.4是方程的一个近似根，
同理，x=3.4是方程的另一个近似根.
故一元二次方程x2?2x?5=0的近似根为x=?1.4或3.4.
(2)根据题意,得x2?2x?5=?3，
整理得x2?2x?2=0，
∴x1+x2=2,x1?x2=?2，
∴CD=|x1?x2|=
∴在△CDM中,S△CDM=
∴三角形CDM的面积是.
【点睛】此题考查图象法求一元二次方程的近似根，解题关键在于根据题意画出函数图象.
9．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出的最小值；
（3）若抛物线上有一动点Q，使的面积为6，求点Q的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）点Q的坐标为或或或
【解析】
【分析】
（1）将A、D点代入抛物线方程，即可解出b、c的值，抛物线的解析式可得；
（2）点C、D关于抛物线的对_?§°è??????§°???è??_接AC，点P即为AC与对称轴的交点，PA+PD的最小值即为AC的长度，用勾股定理即可求得AC的长度；
（3）求得B点坐标，设点，利用三角形面积公式，即可求出m的值，点Q的坐标即可求得．
【详解】
解：（1）∵抛物线经过点，∴解得
∴抛物线的解析式为．
（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线．
∵，∴C，D关于抛物线的对称轴对称，连接，可知，当点P为直线与对称轴的交点时，取得最小值，
∴最小值为．
（3）设点，
令，
得或1，
∴点B的坐标为，
∴．∵，
∴，
∴或，
解得：或或0或，
∴点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题考_?????????????????°_法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答
10．如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（1）求抛物线的关系式和tan∠BAC的值；
（2）P为抛物线上_?????¨??????è?????_PA，过点P作PQ⊥OA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在AB上找一点M，使得OM+DM的值最小，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式：y=x2﹣x+3；tan∠BAC=；（2）点P坐标为：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）；（3）M点坐标（，）.
【解析】
【分析】
（1）C两点坐标代入二次函数的解析式，解方程组求出m、n的值即可得抛物线的解析式，利用解析式可求出D点坐标，根据抛物线和直线交于A、B两点，解方程组可求得B点坐标，根据A、B、C三点坐标可知△ABC是直角三角形，进而可求得tanBAC 的值.（2）设P（a，a2﹣a+3），根据QA=∠ACB=90°可知相似比为3或，分别讨论点P在点A的下方和下方两种情况，根据相似比求出a的值即可的P点坐标；（3）由A、B两点坐标求出直线AB的解析式，作点O关于直线AB的对称点O'，可求出O′的坐标当O'，M，D三点共线时，OM+DM值最小，连接O'D交AB于M，根据D、O′坐标可求出O'D的析式，结合AB的解析式求出M的坐标即可.
【详解】
（1）∵抛物线y=x2+mx+n过点A（0，3），点C（3，0）．
∴ ，
解得：n=3，m=﹣，
∴抛物线解析式：y=x2﹣x+3
当y=0时，0=x2﹣x+3
∴x1=3，x2=2
∴D点坐标（2，0）
∵抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点
∴，
解得： ， ；
∴B点坐标（4，1）
∵A（0，3），C（3，0），B（4，1）
∴AB=2，BC=，AC=3，
∵AB2=20，BC2=2，AC2=18
∴AB2=BC2+AC2．
∴∠ACB=90°
∴tan∠BAC==，
（2）设P（a，a2﹣a+3），
若点P在点A的下方，则PQ=a＞0
∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°
∴或，
若，则3AQ=PQ 即3[3﹣（a2﹣a+3）]=a
解得a=，a=0（不合题意舍去）
∴点P（，）
若，则AQ=3PQ 即[3﹣（a2﹣a+3）]=3a
解得：a=0（不合题意舍去），a=﹣1（不合题意舍去）
若点P在点A上方，且在y轴左侧，则PQ=﹣a＞0
∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°
∴或
若，则3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣a
解得：a=0（不合题意舍去），a=（不合题意舍去）
若，则AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=﹣3a
解得：a=0（不合题意舍去），a=﹣1
∴点P（﹣1，6）
若点P在点A上方，且在y轴右侧，则PQ=a＞0
∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，且∠PQA=∠ACB=90°
∴或
若，则3AQ=PQ，即3[（a2﹣a+3）﹣3]=a
解得：a=0（不合题意舍去），a=，
∴点P（，）
若，则AQ=3PQ 即[（a2﹣a+3）﹣3]=3a
解得：a=0（不合题意舍去），a=11，
∴点P（11，36）
综上所述：点P坐标为：（11，36），（，），（﹣1，6），（，）
（3）∵A（0，3），B（4，1）
∴直线AB的解析式：y=﹣x+3
作点O关于直线AB的对称点O'（，）
∴OM+DM=O'M+DM
根据两点之间，线段最短，则当O'，M，D三点共线时，OM+DM值最小．
连接O'D交AB于M
∵O'（，），D（2，0）
∴O'D解析式：y=12x﹣24
则
解得：
∴M点坐标（ ，）
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式的综合应用、相似三角形的性质，理解题意分情况讨论是解题关键.21·cn·jy·com
一、单选题
1．（202_0?·é??é???±?é??_齐哈尔·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：www.21-cn-jy.com
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】
解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；2·1·c·n·j·y
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
2．（2020·四川眉山·中考真题）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．
【详解】
解：
∵图象与x轴有交点，
∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0
解得a≥-2；
∵抛物线的对称轴为直线
抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，
∴a≤3，
∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．
3．（2020·浙江杭州·中考真_é???????¨???é?????_角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
【答案】B
【解析】
【分析】
选项B正确，利用判别式的性质证明即可．
【详解】
解：选项B正确．
理由：∵M1＝1，
∴a2﹣4＝0，
∵a是正实数，
∴a＝2，
∵b2＝ac，
∴c＝b2，
∵M2＝0，
∴b2﹣8＜0，
∴b2＜8，
对于y3＝x2+cx+4，
则有△＝c2﹣16＝b2﹣16＝（b2﹣64）＜0，
∴M3＝0，
∴选项B正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点个数及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本题的关键．
4．（2017·天津中考真题）已知抛物线与轴相交于点（点在点左侧），顶点为.平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：令y=0，即，解得x=1或3，即可得A（1，0），B(3,0)，抛物线=的顶点坐标为（2，-1），平移该抛物线，使点平移后的对应点落在轴上，点平移后的对应点落在轴上，也就是把该抛物线向上平移1个单位，向左平移3个单位，根据抛物线平移规律可得新抛物线的解析式为，故选A.
二、填空题
5．（2020·湖北荆州·中考真题）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．
【答案】或或
【解析】
【分析】
将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可．
【详解】
解：将关联数为代入函数得到：
，
∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），
∴y=0，即，
因式分解得，
又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点，
即
∴m=1，
∴，
与x轴交点即y=0解得x=1或x=2，
即坐标为或，
与y轴交点即x=0解得y=2，
即坐标为，
∴这个函数图象上整交点的坐标为或或；
故答案为：或或．
【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．21教育网
6．（2019·湖北武汉·中考真题）抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________
【答案】，.
【解析】
【分析】
由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得.
【详解】
依题意，得：，
解得：，
所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：，
即：，
化为：，
解得：，，
故答案为：，.
【点睛】本题考查了抛_??????????????????_标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键.
7．（2016·四川泸州·中考真题）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为______．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】
与x轴的交点的家横坐标就是求y=0时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与两根之积。把要求的式子通分代入即可。
【详解】
设y=0，则，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即，，∴，
∴ ，故答案为：．
【点睛】根据求根公式可得，若，是方程的两个实数根，则
8．（2020·四川乐山·中考真题）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：
（1）当时，的取值范围是______；
（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．
【答案】 或
【解析】
【分析】
（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围．
（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．www-2-1-cnjy-com
【详解】
（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2．
当取0时， ；当取1时， ；当=2时，．
故综上当时，x的取值范围为：．
（2）令，，，
由题意可知：，．
①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时， ，得．
②当时，=0， 不符合题意．
③当时，=1， ，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得，
当时，，因为 ，故，符合题意．
故综上：或．
【点睛】本题考查函数的新定_??????????????°???_需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型．【来源：21·世纪·教育·网】
三、解答题
9．（2020·湖南永州·中考真题）在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求面积的最小值．
②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①4；②点，或点，
【解析】
【分析】
（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案；
（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．【出处：21教育名师】
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为，
在等腰中，垂直平分，且，
∴．
∴
，
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）①设直线l的解析式为，交点，
由，
可得，
∴，．
∴，
∴．
∴．
∴当时，取最小值4．
∴的最小值是4．
②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，
∴，即
解得：，，，
∵，，（不合题意，舍去．）
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：．
当时，点，线段的中点为．
∴，
．
∴直线l的表达式为：
综上：点，或点，．
【点睛】本题考查的是_?????¨???????????°_法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，轴对称的性质，利用因式分解的方法解方程，掌握以上知识是解题的关键．21*cnjy*com
10．（2020·浙江金华·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．
（1）当m=5时，求n的值．
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
【答案】（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1或1＜m＜2
【解析】
【分析】
1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出时，的值即可判断．
（3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
【详解】
解：（1）当时，，
当时，．
（2）当时，将代入函数表达式，得，
解得或（舍弃），
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．
（3）点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．
【点睛】本题属于二次函_??°??????é?????è??_查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_