专题23.1 图形的旋转-2020-2021数学九上册同步课堂帮帮帮（含解析）

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第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转
一、旋转的概念：
把一个平面图形绕着平面_????????????Oè??_动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__________，转动的角叫做__________，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的__________．
旋转有三要素：（1）__________；（2）__________；（3）__________．
二、旋转的性质：
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
三、旋转作图的基本步骤
1．明确旋转中心，旋转方向和旋转角．
2．找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置．
3．按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形．
一、旋转中心，旋转角，对应点，旋转中心，旋转方向，旋转角度
帮—重点 1．旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角；
2．旋转图形的性质
帮—难点 利用旋转的性质探索线段与角的等量关系
帮—易错 对旋转角的概念理解不透彻
1．生活中的旋转现象
（1）旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．
（2）旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
（3）旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
下列运动属于旋转的是
A．滚动过程中的篮球的滚动
B．钟表的钟摆的摆动
C．气球升空的运动
D．一个图形沿某直线对折的过程
【答案】B
【解析】A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；
B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；
C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；
D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．故选B．
下面四个图案中,不能由基本图案（图中阴影部分）旋转得到的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．可由一个基本花瓣绕其中心经过7次旋转，每次旋转45度得到；
B．可由一个基本菱形绕其中心经过5次旋转，每次旋转60度得到；
C．可由一个基本花瓣绕其中心旋转180度得到；
D．不能由基本图案旋转得到，故选D．
2．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等．
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
③旋转前、后的图形全等．
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．
注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
将一副三角板的两个直角顶_???????????¨???è?·_拼成如下的图形．若∠EAB=40°，则∠CAD=_________；将△ABC绕直角顶点A旋转时，保持AD在∠BAC的内部，设∠EAC=x°，∠BAD=y°，则x与y的关系是__________．21*cnjy*com
【答案】40°；y=180-x
【解析】∵∠EAD=∠BAC=90°，即∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC，
∴∠CAD=∠EAB=40°；
∵∠EAC=∠EAD+∠BAC?∠BAD，
∴x=90+90?y，即y=180?x，
故答案为： 40°；y=180-x．
3．旋转对称图形
（1）旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．21世纪教育网版权所有
（2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等．
下列汽车标志中，是旋转对称图形但不是轴对称图形的有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【解析】第1个图形，既是旋转对称图形，也是轴对称图形，
第2个图形，是旋转对称图形，不是轴对称图形，
第3个图形，不是旋转对称图形，是轴对称图形，
第4个图形，既是旋转对称图形，也是轴对称图形，
第5个图形，是旋转对称图形，不是轴对称图形．
所以，是旋转对称图形但不是轴对称图形的有：第2个，第5个，共2个．故选A．
一、单选题
1．图1的摩天轮上以等间隔的方式设置个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为号到号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费分钟．若图2表示号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟後，号车厢才会运行到最高点？（　　）21*cnjy*com
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可．
【详解】
解： =20（分钟）．
所以经过20分钟後，9号车厢才会运行到最高点．
故选B．
【点睛】本题考查生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到9号旋转的角度占圆大小比例是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
2．下列运动形式属于旋转的是( )
A．在空中上升的氢气球 B．飞驰的火车
C．时钟上钟摆的摆动 D．运动员掷出的标枪
【答案】C
【解析】
【分析】
根据旋转的定义逐一进行判断即可得到正确的结论.
【详解】
在空气中上升的氢气球，飞驰的火车，运动员掷出标枪属于平移现象，时钟上钟摆的摆动属于旋转现象.
故答案选：C.
【点睛】本题主要考查的是关于旋转的知识，题目比较简单，属于基础题目，大部分学生能够正确完成，熟练掌握旋转的定义是解决本题的关键.
3．如图所示，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转角可得∠，即可求出的度数．
【详解】
解:根据旋转角可得:∠
∵
∴=∠－
故选：B．
【点睛】此题考查的是三角形旋转后求角的度数，掌握旋转角的定义是解决此题的关键．
4．在以下几种生活现象中，不属于旋转的是(　　)
A．下雪时，雪花在天空中自由飘落
B．钟摆左右不停地摆动
C．时钟上秒针的转动
D．电风扇转动的扇叶
【答案】A
【解析】
【分析】
根据旋转的定义判断即可。（旋转是绕一点转动，这一点不动。）
【详解】
A 是平移；B是旋转；C是旋转；D是旋转。故选A
【点睛】本题主要考查旋转和平移的区分，旋转关键点在于绕一点旋转，并且这点不动，平移是整体移动。
二、填空题
5．如图，所示的是教师用的三角板旋转而成的图形，其中∠BAC＝30°，则旋转中心是点________，旋转角度最小为________．
【答案】A 30°
【解析】
【分析】
根据图形是由三角板旋转而成的图形，结合旋转的定义，可以确定旋转中心；根据∠BAC＝30°，结合旋转后B与 重合，可以确定旋转的角度。
【详解】
由图可知A点是旋转中心，绕A点逆时针旋转 使得B与 重合，故最小旋转角为。
【点睛】本题主要考查旋转的定义，可根据图形的变化，结合旋转定义进行解答。
6．如图,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在B'位置,A点落在A'位置,若AC⊥A'B',则∠BAC的度数是__.?
【答案】70°
【解析】
【分析】
由旋转的角度易得∠ACA′=20_?°???è??AC???_A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC=∠A′，即可得解．
【详解】
解：由题意知：∠ACA′=_20?°???
è??_AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′=90°，
得：∠A′=90°-20°=70°；
由旋转的性质知：∠BAC=∠A′=70°；
故∠BAC的度数是70°．
故答案是：70°
【点睛】本题考查旋_è???????§è?¨??????_转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
7．如图，点A在_?°????OX??????_OA的长等于2cm．若OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OAˊ，那么点Aˊ的位置可以用（2，30°）表示．若将OAˊ再沿逆时针方向继续旋转45°，到OA〞，那么点A〞的位置可以用（________ ，_______）表示．
【答案】（2，75°）．
【解析】
试题分析：第一个坐标为原点到此_??????è·??????????_转前后线段长度不变，所以OA″=OA=2，第二个坐标为与x轴的夹角=∠A″OA′+∠A′OA=45°+30°=75°，那么点A”的位置可以用（2，75°）表示．故答案为：（2，75°）．
考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．新定义．
8．广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和________等．
【答案】旋转
【解析】
试题分析：熟练掌握几种几何变换的类型即可作出回答．
试题解析：几何变换包括：平移、轴对称、旋转．
故答案为旋转．
考点: 利用旋转设计图案．
三、解答题
9．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接，，．若，，，求四边形的面积．
【答案】
【解析】
【分析】
连接，证明为等边三角形，再证明，结合已知条件证明为直角三角形，，可得的面积，过作于，利用等边三角形的性质与勾股定理求解，可得的面积，从而可得答案．
【详解】
解：连接．
∵为等边三角形，
∴，．
∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段，
∴，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
在中，∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，

过作于，


∴．
【点睛】本题考查的是等边三角_????????¤????????§_质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．21·cn·jy·com
10．如图1，点O_?????????AD???_中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．21·世纪*教育网
（1）证明：⊿ABC ≌ ⊿DCB；
（2）求∠AEB的大小．
（3）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．2-1-c-n-j-y
【答案】（1）详见解析；（2）60° （3）60°
【解析】
【分析】
(1)利用题中信息可得：都为等边三角形，找出它们之间的等量关系去证明全等；
(2)根据等边三角形和外角的性质，可求；
(3)方法同上，只是，此时已不是外角，但仍可用外角和内角的关系解答．
【详解】
证明：(1)
,且都为等边三角形，
,
,
为等边三角形，
,
在和中，
,
;
(2)如图所示：
和都是等边三角形，
且点O是线段的中点，
,∠，
，
又，
，
同理，

.
(3)如图所示：
都是等边三角形，

又





，
，
，
又，，

【点睛】本题考查旋转的性质, 三角形内角和定理, 等边三角形的性质.
一、单选题
1．如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使．设旋转角为，则符合，满足的关系的是（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意由旋转的性质和平行线的_??§è?¨?????°???C_AA′=∠ACB=α，AC=A′C，根据等腰三角形的性质得到∠AA′C=∠A′AC=α；根据三角形的内角和进行分析即可得到．
【详解】
解：∵绕点顺时针旋转得到，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考_??????è???????§è?¨_和平行线的性质以及等腰三角形的性质，正确的识别图形以及掌握旋转的性质和平行线的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．21教育网
2．如图，△A′B′C_????????±???AB_C经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．③④
【答案】D
【解析】
【分析】
依据旋转变换以及轴对称变换，即可使△ABC与△A'B'C'重合．
【详解】
解：先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°，即可得到△A'B'C'；
先将△ABC沿着C'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着C''C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；
故选D．
【点睛】本题主要考_??????????????????_的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．
3．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起，在将三角尺AOB绕点O旋转的过程中，下列结论成立的是(　　)
A．∠AOD＞∠BOC
B．∠AOC≠∠BOD
C．∠AOD－∠BOC＝45°
D．∠AOD＋∠BOC＝180°
【答案】D
【解析】
【分析】
依据旋转的性质可知∠AOB=∠COD=90°，然后依据图形间角的和差关系进行求解即可.
【详解】
解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC．
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、角的运算，明确在旋转过程中∠AOB和∠COD的度数不变是解题的关键．
二、填空题
4．如图，在平面直角坐标系中，，由绕点顺时针旋转而得，则所在直线的解析式是___．
【答案】．
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥x轴于点_D????????????A_CD≌△BAO（AAS），已知A（2，0），B（0，1），从而求得点C坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A，点C坐标代入求得k和b，从而得解．
【详解】
解：∵
∴
过点作轴于点，
∴∠BOA=∠ADC=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAO+∠CAD=90°.
∵∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠CAD=∠ABO.
∵AB=AC，
?∴.
∴
∴
设直线的解析式为，将点，点坐标代入得
∴
∴直线的解析式为．
故答案为．
【点睛】本题是几何图形旋转与待定系数法求一次函数解析式的综合题，难度中等．
5．如图，在边长为1的正方形网格中，，，，.线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为______.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】或
【解析】
【分析】
连接两对对应点，分别作出连线的垂直平分线，其交点即为所求．
【详解】
解：如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．
故答案为（3，3）或（6，6）．
【点睛】本题主要考查了利用旋转变_???è??è???????????_根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
6．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和C的距离分别为，1，2，△ABP绕点B旋转至△CBP′，连结PP′，并延长BP与DC相交于点Q，则∠CPQ的大小为______ （度）
【答案】45
【解析】
【分析】
△ABP绕点B旋转90°至△CBP′，可知∠PBP′=90°，BP′=BP故可求出PP′==，又△ABP≌△CBP′得CP′=AP=,故可利用勾股定理逆定理知△CPP′是直角三角形，得∠CPP′=90°，即可求出∠CPQ.
【详解】
△ABP绕点B旋转90°至△CBP′，
∴∠PBP′=90°，BP′=BP
∴PP′==，
又△ABP≌△CBP′
则CP′=AP=,
又CP=2，PP′=
∴CP′?=CP?+PP′?，
∴△CPP′是直角三角形，得∠CPP′=90°，
∴∠CPQ=180°-∠CPP′-∠P′PB=45°
【点睛】此题主要考察旋转的性质.
三、解答题
7．将等腰直角_???è§????ABC_（AB＝AC，∠BAC＝90°）和等腰直角三角形DEF（DE＝DF，∠EDF＝90°）按图1摆放，点D在BC边的中点上，点A在DE上．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）填空：AB与EF的位置关系是　 　；
（2）△DEF绕点D按顺时针方向转动至图2所示位置时，DF，DE分别交AB，AC于点P，Q，求证：∠BPD+∠DQC＝180°；
（3）如图2，在△DEF绕_???D???é?????é??_方向转动过程中，始终点P不到达A点，△ABC的面积记为S1，四边形APDQ的面积记为S2，那么S1与S2之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）平行；（2）见解析；（3）存在，S1＝2S2，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质和平行线的判定方法即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，再根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）连接AD_????????????è?°???_角三角形的性质和余角的性质可得BD＝CD＝AD，∠B＝∠CAD，∠BDP＝∠ADQ，进而可根据ASA证明△BDP≌△ADQ，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠C=45°，
∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠F＝∠E＝45°，
∴∠F＝∠ ABD，∴AB∥EF；
故答案为：平行；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠EDF＝90°，∴∠BDP+∠CDQ＝90°，
∴∠BPD+∠DQC＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠BDP﹣∠CDQ＝180°；
（3）S1与S2之间存在不变的数量关系：S1＝2S2.
理由：连接AD，如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝AD＝BC，∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，
∵∠BDP+∠ADP＝∠ADP+∠ADQ＝90°，
∴∠BDP＝∠ADQ，
∴△BDP≌△ADQ（ASA），
∴S△ABD＝S△BPD+S△APD＝S△ADQ+S△APD＝S2，
又∵S△ADB＝S1，
∴S1＝2S2．
【点睛】本题考查了等腰_???è§????è§???????_性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键.
8．在中，，于点，为线段上的一点，，以为直角边在直线右侧构造等腰使，连接，为的中点．
（1）如图1，与交于点，连接，求线段的长度；
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，旋转角为且，为线段的中点，连接，，猜想的大小是否为定值，并证明你的结论；
（3）如图3，连接，将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，请直接写出线段长度的最大值．
【答案】（1）；（2），为定值，见解析；（3）+2
【解析】
【分析】
（1）证明?EHC为直角三角形，得到HG=EC，利用勾股定理在直角三角形EDC中求得EC长即可得解；
（2）连接BE，CF，证明?ABE≌?ACF，从而得到BE⊥CF，又由三角形的中位线定理得到HG//CF，DG//BE，从而证得HG⊥DG，即，为定值；
（3）在AC上取中点S，并连接_BS???SG???_则有BG≤BS+SG，当B，S，G三点共线时，BG最大为BS+SG，利用勾股定理和三角形的中位线的性质即可计算得解；
【详解】
解：（1）如图1，
∵在中，，，
∴BC=12，
又∵,
∴BD=CD=AD=6，
∠BAD=∠CAD==45°,
又∵为等腰三角形，
又∵∠EAH=∠FAH=45°,
∴AC⊥EF，
∴?EHC为直角三角形，
又为的中点，
∴HG=EC，
∵,
∴DE==，AE=4，
在Rt?EDC中，由勾股定理可知：
,
∴HG=EC= ;
（2），为定值，理由如下：
如图2，连接BE，CF，交于K
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，
∴
在?ABE和?ACF中
，
∴?ABE≌?ACF(SAS)
∴∠1=∠2，
又∵∠1+∠BAC=∠2+∠BKC，
∴∠BKC=∠BAC=90°，
∴BE⊥CF，
在?EFC中，为线段的中点，为的中点
∴HG//CF，
在?BCD中，D为线段BC的中点，为的中点
∴DG//BE，
∴HG⊥DG，
即，为定值；
（3）如图3，
在AC上取中点S，并连接BS，SG，则有
BG≤BS+SG，当绕点逆时针旋转到与B，S，G三点共线时，BG最大为BS+SG．
又易知SG为?AEC的中位线，
∴SG=AE=×4=2，
由勾股定理易知：BS=,
故BG的最大值为+2
【点睛】本题主要考查_??????è?°???è§????_角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，三角形三边关系，勾股定理及旋转的性质，本题综合性较强，善于以基本的构图模型为基础进行思考，是顺利解答本题的关键．www.21-cn-jy.com
9．如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．设旋转角为，此时点恰好落在边上，连接．
（1）当恰好是中点时，此时________；
（2）若，求旋转角及的长．
【答案】（1）60°；（2）=30°，2
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得出AD=BC=4，∠BCD=∠D=90°，当B'恰好是AD中点时，B'D= AD=2，得出B'D= BC，证出∠B'CD=30°，求出∠BCB'°=60°即可；
（2）由平行线的性质和等腰三_è§?????????§è?¨???_出∠CB'B=∠CBB'=75°，由三角形内角和定理得出∠BCB'=30°，即旋转角α为30°；作B'E⊥BC于E，由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵四边形是矩形，
∴，，当恰好是中点时，，
∴，
∴，
∴，即当恰好是中点时，此时．
故答案为：60°．
（2）∵四边形是矩形，
∴，
∴．由旋转的性质得，
∴，
∴，即旋转角为30°．
作于点．
则．
【点睛】本题考查旋转的_??§è?¨????????????_性质、含30°角的直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键．
10．如图所示，在中，，，，点为内一点，连接、、，且．
（1）以点为旋转中心，将绕点顺时针方向旋转60°，得到（得到、的对应点分别为点、），按要求画图（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求的度数及的值．
【答案】（1）见解析；（2）∠A'BC=90°，．
【解析】
【分析】
（1）在Rt△ABC中_????????????AB_C=30°，由于旋转角为60°，易得旋转后的A'B⊥CB．故过点B作BC的垂线，截取A'B=AB，再以点A'为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O'，连接A'O'、BO'，即可得到△A'O'B；
（2）根据旋转的性质求出A'B的_é???????????BO_O'是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO'，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO'=∠BO'O=60°，然后求出C、O、A'、O'四点共线，再利用勾股定理列式求出A'C，从而得到OA+OB+OC=A'C．
【详解】
（1）∵∠C=90°，AC=1，BC，
∴AB=，
∴AB=2AC，
∴∠ABC=30°．
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A'B⊥CB．
过点B作BC的垂线，截取A'B=AB，
再以点A'为圆心，以AO为半径画弧，
以点B为圆心，以BO为半径画弧，
两弧相交于点O'，连接A'O'、BO'，
即△A'O'B如图所示；
（2））∵∠C=90°，AC=1，BC，
∴AB=，
∴AB=2AC，
∴∠ABC=30°．
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B，
∴A'B=AB=2，BO=BO'，A'O'=AO，∠ABA′=60°，
∴△BOO'是等边三角形，∠A'BC=∠ABC+∠ABA′=30°+60°=90°，
∴BO=OO'，∠BOO'=∠BO'O=60°．
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°=∠A'O'B，
∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BO'O=120°+60°=180°，
∴C、O、A'、O'四点共线．
在Rt△A'BC中，A'C，
∴OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C．
【点睛】本题考查了利用_???è??????????????_，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A'、O'四点共线是解答本题的关键．21教育名师原创作品
一、单选题
1．（2018·海南中考_???é??????????????_在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
此题涉及的知识点是旋转的性质，由旋转的性质，再根据∠BAC=30°，旋转60°，可得到∠BAC1=90°，结合勾股定理即可求解.
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴∠BAC1=∠BAC+∠CAC1=30°+60°=90°，
AC1=AC=6，
在RtBAC1中，∠BAC=90°，AB=8，AC1=6,
∴，
故本题选择C.
【点睛】此题重点_è?????????????????_旋转的性质的理解，也考查了解直角三角形，等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（2012·山东聊城·中考真题）如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（ ）
A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
【答案】B
【解析】
几何变换的类型．
【分析】根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．故选B．
3．（201_2?·???????±??¤?_·中考真题）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．110° B．80° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】
根据旋转的性质可得：∠A′=∠A，∠A′CB′=∠ACB，
∵∠A=40°，∴∠A′=40°．
∵∠B′=110°，∴∠A′CB′=180°﹣110°﹣40°=30°．∴∠ACB=30°．
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=30°+50°=80°，故选B．
二、填空题
4．（2018·江西中考真题_??????????????¨???_形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，
∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，
∴EF=BC=3，AE=AB，
∵DE=EF，
∴AD=DE=3，
∴AE==3，
∴AB=3，
故答案为3.
【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.
5．（2017·山东威海_?·????????????A_点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐 标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是_____________．
【答案】（1，1）或（4，4）
【解析】
试题分析：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为（1，1）或（4，4）．
考点：坐标与图形变化中的旋转
6．（2013·_????¤????è?????é??_）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为　 　．
【答案】2α
【解析】
分析：由在Rt△ABC中，∠AC_B=90?°???_∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，∴∠B=90°﹣α．
由旋转的性质可得：CB=CD，∴∠CDB=∠B=90°﹣α．
∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=2α，即旋转角的大小为2α．
三、解答题
7．（2020·湖北武汉·中考真题）在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：2·1·c·n·j·y
（1）将线段绕点逆时针旋转，画出对应线段；
（2）在线段上画点，使（保留画图过程的痕迹）；
（3）连接，画点关于直线的对称点，并简要说明画法．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将线段是将线段绕点逆时针旋转即可；
（2）连接BD，并连接（4,2），（5,5）点，两线段的交点即为所求的点E.
（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.
【详解】
解：（1）如图示，线段是将线段绕点逆时针旋转得到的；
（2）∠BCE为所求的角，点E为所求的点.
（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC的交点为F,且F为所求.
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质，熟悉相关性质是解题的关键．【出处：21教育名师】
8．（2013·湖南湘潭·中考真题）小明在数学活动课上，将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图a,他连接AD、CF，经测量发现AD=CF．【版权所有：21教育】
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针针旋转一定的角度，如图b，试判断AD与CF还相等吗？说明理由．
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图c，请求出CF的长．
【答案】（1）AD=CF．理由见解析；（2）CF=
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质可得AO_=CO???OD_=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OGOE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD．
【详解】
解：（1）AD=CF．理由如下：
在正方形ABCO和正方形ODEF中，∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF．
在△AOD和△COF中，∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF，
∴△AOD≌△COF（SAS）．
∴AD=CF．
（2）与（1）同理求出CF=AD，
如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE，
∵正方形ODEF的边长为，∴OE=×=2．
∴DG=OG=OE=×2=1．
∴AG=AO+OG=3+1=4，
在Rt△ADG中，，
∴CF=AD=．
9．（2013·四川凉山·）如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．
求证：FD=BE．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．
【详解】
证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．
∵AF=CE，∴OF=OE．
∵在△DOF和△BOE中，，
∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．
10．（2013·山东潍坊·中考真题）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至,旋转角为.
（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角的值；
（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜＜90°，求证：；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.
【答案】（1）∠α=30°（2）见解析（3）旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与∠DCD′全等
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质得CE=CH=1，即可得出结论；
（2）由G为BC中点_??????CG=C_E，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，则∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D；
（3）根据正方_????????§è?¨???C_B=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．
【详解】
解：（1）∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴CE=CH=1，
∴△CEH为等腰直角三角形，
∴∠ECH=45°，
∴∠α=30°；
（2）证明：∵G为BC中点
∴CG=1
∴CG=CE
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α
在△GCD′和△E′CD中
∵CD′=CD，∠GCD=∠DCE′，CG=CE′
∴△GCD′≌△E′CD（SAS）
∴GD′=E′D；
（3）解：能．
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形
∴CB=CD
∵CD′=CD′
∴△BCD′与△DCD′为_è?°???????????¤???_腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α=（360°-90°）÷2=135°
当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°，则α=360°﹣90°÷2=315°
即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．
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