专题24.1 圆的有关性质-2020-2021数学九上册同步课堂帮帮帮（含解析）

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第24章 圆
24.1 圆的有关性质
1．圆
在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作______________.21教育网
圆心：固定的端点叫作圆心.
半径：线段OA的长度叫作这个圆的______________.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“______________”，读作“圆O”.
同时从圆的定义中归纳：
（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆.
2．垂直于弦的直径
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的________________，圆有_______________条对称轴.21·cn·jy·com
（2）垂直于弦的______________平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径__________于弦，并且________________弦所对的弧.
3．弧、弦、圆心角
（1）顶点在圆心的角叫做_______________.
（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________________，所对的弦也________________.
（3）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
4．圆周角
（1）圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
特征：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.
（2）同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的___________.
（3）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的_______________.
（4）半圆(或直径)所对的圆周角是_____________，90°的圆周角所对的弦是_______________.
（5）如果一_????¤?è???????????_有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做_____________，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的______________.
1．圆 半径 ⊙O
2．（1）对称轴 无数 （2）直径 垂直 平分
3．（1）圆心角 （2）相等 相等
4．（2）一半 （3）一半 （4）直角 直径 （5）圆内接多边形 对角互补
帮—重点 垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论
帮—难点 圆的有关概念、圆心角、圆周角的概念
帮—易错 弧、弦、圆心角的关系
一、圆的有关概念
圆中容易混淆的“两组基本概念”
1．弦与直径：（1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦.
（2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2．弧与半圆：
（1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆.
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆.
下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】
①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，原命题错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意；
正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
二、垂径定理及其推论的有关计算与证明
垂径定理应用中常作的辅助线：
（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；
（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形.
如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OP，OQ，根据M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到OH+OI=（AC+BC）=13和PH+QI=6，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．
【详解】
连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，
∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
∴H、I是AC、BC的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，
∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，
∴PH+QI＝13﹣7＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，
故选C．
【点睛】本题考查了中位线定理的应用，解题的关键是正确作出辅助线，题目中还考查了垂径定理和轴对称的知识，有难度．
三、应用垂径定理作图
圆弧中点的确定：由垂径定理可知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，所以常通过作孤所对的弦的垂直平分线确定孤的中点.
如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是
A．点Q B．点P
C．点R D．点M
【答案】A
【解析】连接BC，
作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点.
故选A.
四、利用垂径定理解决实际问题
利用垂径定理解答弓形问题时，常通过作辅助线构造直角三角形，然后利用勾股定理求得相关线段的长，从而解决问题.【版权所有：21教育】
在直径为的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图，油面宽为，当油面宽为时，油上升了多少厘米？
王源的解题步骤如下：
[解]连接，过点作于点．
于点，且为弦，．
当时，在中，．
当时，在中，．
．即油上升了．
请问王源的解题过程正确吗？如果不正确，请写出正确的解题步骤．
【答案】王源的解题过程不正确．正确解题步骤见解析．油上升了或．
【解析】
【分析】
连接AO，过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理结合勾股定理求出当AB=6cm和8cm时OC的长度，即可得出结论．
【详解】
王源的解题过程不正确．正确解题步骤如下：
连接，过点作于点，如图所示．
∵于点，且为弦，．
当时，在中，，；
当时，在中，．
或．
答：油上升了或．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是求出OC的长，根据OC的变化来得出结论．
五、利用圆周角定理及其推论求角的度数
计算圆心角和_?????¨è§?????????¨_意事项：
1.在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化.一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；
2.一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补.
如图，在的外接圆上，所对的圆心角的度数比为．在上取一点，过分别作直线的平行线，交于两点，则的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意即可求出所对的圆心角的度数，然后根据圆周角定理即可求出∠BAC的度数，再根据平行线的性质即可证出，最后根据三角形的内角和定理即可求出结论．
【详解】
解：所对的圆心角的度数比为
所对的圆心角的度数为
．
故选C．
【点睛】此题考查的是圆周角定理、平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握圆周角定理、平行线的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
六、运用弧、弦、圆心角、圆周角的关系进行证明
圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角相等或倍分关系的方法：
在圆中证明弧、弦、圆心角、圆周角_??????????????????_关系时，应从同类型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分关系入手，转化为另一种元素的相等或倍分关系，从而得到问题的结论.
如图，以平行四边形的顶点为圆心，长为半径作，分别交于两点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）70°
【解析】
【分析】
（1）通过平行四边形的对边平行，得到同位角和内错角相等，再利用等腰△ABE的两底角相等进行等量代换，进行求证；www-2-1-cnjy-com
（2）通过邻补角求得等腰△ABE的顶角∠BAE读数，再利用三角形内角和求底角∠B，平行四边形对角相等可求出∠D.
【详解】
（1）
证明：连接．
∵四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
.
（2）解：为的直径，，
，
，
∵四边形是平行四边形，
．
【点睛】在圆的证明和计算中，证明两弧相等，常常需要构造弧所对的圆心角，通过证明圆心角相等来再进一步证明弧相等．
七、圆内接四边形
如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是
A．50° B．60°
C．80° D．100°
【答案】D
【解析】圆上取一点A，连接AB，AD，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.
故选D．
八、圆中计算防漏解
已知圆的半径为13 cm，两弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则两弦AB，CD间的距离是
A．7 cm B．17 cm
C．12 cm D．7 cm或17 cm
【易错提示】本题应分两种情况解答：（1）两弦在圆心的同侧；（2）两弦在圆心的异侧，易遗漏两弦在圆
心的异侧时的情况.
【正解】第一种情况：两弦在圆心的同侧时，如图，过点O作OE⊥弦CD，交CD于点E，交AB于点F.
∵AB∥CD，∴EF⊥AB，∴线段EF的长是AB，CD间的距离.
∵CD=10 cm，∴DE=5 cm.
∵OD=13 cm，∴由勾股定理可得OE=12 cm.
同理可求OF=5 cm，∴EF=OE?OF=7 cm.
第二种情况：两弦在圆心的异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，延长EO交AB于点F.
∵CD∥AB，∴EF⊥AB.∴线段EF的长是AB，CD间的距离，
∴EF=OE+OF=17 cm.故选D.
九、对圆心角与圆周角的性质理解不透彻
判断：（1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.（ ）
（2）相等的圆周角所对的弧相等.（ ）
【易错提示】误以为这两个题均是正确的.如图①，在同心圆中，∠AOB=∠COD，但即.
在图②中，与有公共点M，显然圆周角∠AMB=∠CMD，而.
【正解】（1）错误；（2）错误.
十、求圆周角时未分类讨论而漏解
如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为
A．50° B．80°或50°
C．130° D．?50°或130°
【易错提示】点C可能在优弧上也可能在劣弧上，此题应分两种情况进行讨论.
【正解】①如图所示，当C点在优弧上时，因为∠AOB=100°，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以∠ACB=∠AOB=50°.
②如图所示，当C点在劣弧上时，
因为∠AOB=100°，所以优弧所对的圆心角为：360°?100°=260°，
根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，所以∠ACB=130°.
综上所述，∠ACB的度数为50°或130°.
故选D.
一、单选题
1．已知点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆可以经过点 B．点可以在圆的内部
C．点可以在圆的内部 D．点可以在圆内部
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，画出符合题意的示意图，然后求解．
【详解】
解：∵点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，∴点可以在圆的内部，故A错误，B正确；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故C错误；∵过点的圆记为圆，∴点可以在圆的外部，故D错误．
故选B．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，画出适当的辅助图形，采用数形结合的方法，更有助于解题.
2．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是（　　）
A．35° B．70° C．110° D．140°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆周角定理问题可解．
【详解】
解：∵∠ABC所对的弧是，
∠AOC所对的弧是，
∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理，解答关键是掌握圆周角和同弧所对的圆心角的数量关系．
3．如图，图中的弦共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【解析】
【分析】
根据弦的定义解答即可．
【详解】
解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，
故选B．
【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键．
4．下列说法错误的是（　　）
A．圆内接四边形的对角互补 B．圆内接四边形的邻角互补
C．圆内接平行四边形是矩形 D．圆内接梯形是等腰梯形
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质分别分析得出即可．
【详解】
解：A、圆内接四_è???????????è§????_补，正确，不合题意；
B、圆内接四边形的邻角互补，错误，符合题意；
C、圆内接平行四边形是矩形，正确，不合题意；
D、圆内接梯形是等腰梯形，正确，不合题意．
故选：B．21*cnjy*com
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，正确把握圆内接四边形对角互补进而得出是解题关键．
二、填空题
5．如图，是⊙O的直径，交⊙O于点交⊙O于点，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
①根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，②根据直径所对的圆周角是判断，③同一个圆中，圆周角相等，弧相等，④根据等腰直角三角形的判断方法判定.
【详解】
解：如图，连接．是的直径，．又，故②正确．是的平分线，．故③正确．是的直径，．．是的直角边，是斜边，．故④错误．由圆周角定理知，，故①正确．
综上，正确的结论是①②③．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是、等腰三角形的性质、角平分线的性质、圆周角定理等，知识综合性较强，是常见考点，难度一般，熟练掌握相关知识是解题关键.
6．在同一个_??????,_??????_心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．
【答案】越长 越长 越短
【解析】
【分析】
根据圆心角定理解答即可.
【详解】
在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧越长，所对的弦越长，所对弦的弦心距越短．
故答案为越长；越长；越短.
【点睛】本题考查了圆心角定理及其推理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
7．如图，分别以四边形ABCD(边长均大于4)的四个顶点为圆心，2为半径画圆，则图中四个阴影部分的面积之和是________．
【答案】4π
【解析】
【分析】
根据平行四边形的内角和等于360°可知，图中阴影部分的面积正好等于一个圆的面积，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD的边长均大于4，各弧的半径都是2，
∴图中阴影部分的面积等于一个圆的面积，
即π?22=4π．
故答案为4π．
【点睛】本题考查了平行四边形的内角和等于360°的性质，判断出阴影部分的面积等于一个圆的面积是解题的关键．
8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦×矢+矢2）即可得到结论．
【详解】
解：∵弦米，半径弦，
∴，
∴，
∴，
∴弧田面积（弦×矢+矢2），
故答案为10
【点睛】此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．
三、解答题
9．如图，已知E是⊙O上任意一点，CD平分∠ACB，求证：ED平分∠AEB．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
根据CD平分∠ACB，判断出，再根据弧相等，判断出∠AED=∠BED即可.
【详解】
∵平分，
∴，
∴
∴ED平分∠AEB．
【点睛】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等解答．
10．如图，在⊙O中，AB．AC是弦，，求的关系．
【答案】
【解析】
【分析】
过A作⊙O的直径，交⊙O于D，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质即可求出答案．
【详解】
过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
中，，则，
同理可得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，正确添加辅助线是解题的关键.
一、单选题
1．如图，在中，已知AB=CD，则AC与BD的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件可得，进而可得，根据圆心角、弧、弦的关系即可得
．
【详解】
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆的性质是解题关键．
2．如图，在圆O中，弦AB=4，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OD，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可．
【详解】
连接OD，如图，设圆O的半径为r，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90°，
∴CD=，
∴当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，
此时D、B重合，则由垂径定理可得：CD=CB=AC=AB=2，
∴CD的最大值为2.
故答案为：2．
【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理，作辅助线构造直角三角形应用勾股定理，并熟记垂径定理内容是解题的关键.
3．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点P是劣弧（含端点）上任意一点，若AB＝5，BC＝4，则AP的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，利用勾股定理得到AC＝3，则3≤AP≤5，然后对各选项进行判断．
【详解】
解：连接AC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝3，
∵点P是劣弧（含端点）上任意一点，
∴AC≤AP≤AB，
即3≤AP≤5．
故选A．
【点睛】本题考查_????????¨è§???????_：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
二、填空题
4．如图，已知点经过原点，交轴正半轴于点．点在上，，圆心的坐标为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OP，OB，PB，延长BP交⊙P于E，连接OE，作EF⊥OA于F，BH⊥x轴于H.利用全等三角形的性质求出点E坐标即可解决问题.
【详解】
解：连接OP，OB，PB，延长BP交⊙P于E，连接OE，作EF⊥OA于F，BH⊥x轴于H．
∵∠BPO=2∠BAO，∠BAO=45°，
∴∠BPO=90°，
∵PO=OB，
∴△PBO是等腰直角三角形，
∵BE是直径，
∴∠BOE=90°，
∴∠OBE=∠OEB=45°，
∴OE=OB，
∵∠EOB=∠AOH=90°，
∴∠EOF=∠BOH，
∵∠EFO=∠BHO=90°，
∴△EFO≌△BHO(AAS)，
∴OF=OH=5，EF=BH=2，
∴E(?2,5)，
∵PE=PB，
∴P.
故答案为.
【点睛】本题考查圆周角定_????????¨??????è§?_形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝________，则直线BC与⊙O的位置关系为
【答案】40°
【解析】
【分析】
先根据直线BC与⊙O相切，得到∠OBC=90°，再利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出∠BOC=2∠A=50°，可求出∠OCB=40°．
【详解】
∵直线BC与⊙O相切，
∴∠OBC=90°，
∵∠BOC=2∠A=50°，
∴∠OCB=40°，答案为:40°.
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，及圆的切线的性质，关键是熟练掌握这些性质.
6．如图，半圆形纸片AMB_????????????1__cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________ .
【答案】cm
【解析】
【分析】
作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．
【详解】
作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，
对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则ME=OE=OC，
在直角三角形COE中，CE=，
折痕CD的长为2×=（cm）．
故答案为：cm
【点睛】作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．
三、解答题
7．如图，过的直径上两点，分别作弦，．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OC、OF，根据圆_???è§??????§??????_的关系即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，等量代换得到∠BFC=∠ACF．根据平行线的性质得到∠AMC=∠ANE．根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，连接．

，
．
．
（2）
，
．

．
又．
．
在和中，

．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【出处：21教育名师】
8．如图，已知为⊙O的直径且，点（不与重合）为⊙O上一个动点，线段经过点，且为⊙O上一点，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）当点在⊙O上移动时，求四边形的最大面积．
【答案】（1）见解析；（2）8
【解析】
【分析】
（1）连接D_F???AF???é??_先证明四边形ADFE是矩形，推出EF=AD，即可解决问题．
（2）证明四边形EFCD是平行四边形，推出S矩形EFDA=S平行四边形EFCD，推出矩形EFDA的面积最大时，四边形EFCD的面积最大．
【详解】
（1）证明：连接DF，AF．
∵DE是直径，
∴∠EAD=90°，
∵FE⊥AB，
∴∠FEA=90°，
∴AF是直径，
∴∠ADF=90°，
∴∠FEA=∠EAD=∠ADF=90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD，
∵EB=EA，∠BEF=∠EAD=90°，
∴△EFB≌△ADE(HL)；
（2）解∵四边形ADFE是矩形，
∴EF∥AC，EF=AD，
∵BE=AE，
∴BF=CF，
∴AC=2EF，
∴EF=AD=CD，
∵EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵AD=CD，EF∥AC，
∴S矩形EFDA=S平行四边形EFCD，
∴矩形EFDA的面积最大时，四边形EFCD的面积最大，
当AF⊥DE时，矩形EFDA的面积最大，即矩形EFDA为正方形时，面积最大，
此时矩形EFDA的面积的最大值．
∴四边形FCDE的最大面积为8．
【点睛】本题考查了全等_???è§?????????¤???_和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．说出下列点的轨迹是什么图形，并画出图形．
（1）在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹．
（2）以已知点A为端点的线段AB=10cm，这线段的另一个端点的轨迹．
（3）已知直线上有两点A、B，且AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2的三角形的点的轨迹．
【答案】（1）x轴、y轴所构成的四个角的平分线；（2）以点A为圆心，半径长为10cm的圆；（3）平行于直线且与直线的距离为的两条直线.
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质即可得答案；（2）根据圆的定义即可得答案；（3）根据等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等的性质即可得答案.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
（1）如图：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴在平面直角坐标系内，到x轴，y轴距离相等的点的轨迹是x轴、y轴所构成的四个角的平分线；
（2）如图，∵到定点的距离为定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆，
∴点A为端点的线段AB=10cm，另一个端点B的轨迹为以点A为圆心，半径长为10cm的圆，
（3）如图，∵AB=3cm，与A、B构成面积为3cm2，
∴AB边的高为2cm，
∵等底等高的三角形面积相等，平行线间的距离相等，
∴另一个点的轨迹为平行于直线且与直线的距离为的两条直线.
【点睛】本题考查的是点的轨迹，熟练掌握角平分线的性质、圆的定义及平行线的性质是解题关键.
10．如图，B_C?????????O???_直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：AE=BE；
（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；
（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．
【答案】（1）见解析；（2）BE=EF，理由见解析；（3）小李的发现是正确的，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）如图1，连_???AP?????±B_C是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论；
（2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；
（3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．
【详解】
（1）如图1，连接AP，
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵点A是弧BP的中点，
∴∠P=∠ACB=∠ABP，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；
（2）BE=EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；
（3）小李的发现是正确的，
理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，
∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，
，
∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵A为弧BP中点，
∴∠GCA=∠BCA，
在△BAC和△GAC中，

∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=BG，
∴CF=2AB．
【点睛】本题考查_????????¨è§???????_，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
一、单选题
1．（2020·浙_?±?????·??·???è??_真题）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　）
A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
2．（2020·湖北武汉·中考真题）如图，在半径为3的⊙O中，是直径，是弦，是的中点，与交于点．若是的中点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
连接DO、DA、DC，_è??DO???AC_交于点H，证明△DHE≌△BCE，得到DH=CB，同时OH是三角形ABC中位线，设OH=x，则BC=2x=DH，故半径DO=3x，解出x，最后在Rt△ACB中由勾股定理即可求解．
【详解】
解：连接DO、DA、DC、OC，设DO与AC交于点H，如下图所示，
∵D是的中点，∴DA=DC，∴D在线段AC的垂直平分线上，
∵OC=OA，∴O在线段AC的垂直平分线上，
∴DO⊥AC，∠DHC=90°，
∵AB是圆的直径，∴∠BCA=90°，
∵E是BD的中点，∴DE=BE，且∠DEH=∠BEC，
∴△DHE≌△BCE(AAS)，
∴DH=BC，
又O是AB中点，H是AC中点，
∴HO是△ABC的中位线，
设OH=x，则BC=DH=2x，
∴OD=3x=3，∴x=1，
即BC=2x=2，
在Rt△ABC中，．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等、勾股定理等，属于综合题，熟练掌握其性质和定理是解决此题的关键
3．（2020·浙江嘉兴·中考真题）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．10 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．21·世纪*教育网
【详解】
解：如图，设OA交BC于T．
∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝，
在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
故选：D．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．www.21-cn-jy.com
二、填空题
4．（2020·宁夏中考真题）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是______寸．2·1·c·n·j·y
【答案】26
【解析】
【分析】
根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.
【详解】
解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
在中，根据勾股定理可得：
解得：,
木材直径为26寸；
故答案为：26.
【点睛】本题考查垂径定理结合_???è????????è?????_半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解.
5．（2018·海南中考真题_??????????????¨???_面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_____．
【答案】（2，6）
【解析】
【分析】
此题涉及的知识点是平面直角坐标系_????????§è?¨??????_合应用．过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标．21cnjy.com
【详解】
∵四边形OCDB是平行四边形,点B的坐标为(16,0)，
CD∥OA，CD=OB=16，
过点M作MF⊥CD于F,则
过C作CE⊥OA于E，
∵A(20,0)，
∴OA=20，OM=10，
∴OE=OM?ME=OM?CF=10?8=2，
连接MC,
∴在Rt△CMF中，

∴点C的坐标为(2,6).
故答案为(2,6).
【点睛】此题重点考察学生对坐标与图形性质的实际应用，勾股定理，注意数形结合思想在解题的关键．
6．（2018·_é??é???±????????·_中考真题）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．21世纪教育网版权所有
【答案】10或70
【解析】
【分析】
分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得.
【详解】
如图，作半径于C，连接OB，
由垂径定理得：=AB=×60=30cm，
在中，，
当水位上升到圆心以下时??水面宽80cm时，
则，
水面上升的高度为：；
当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：，
综上可得，水面上升的高度为30cm或70cm，
故答案为：10或70．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键．
三、解答题
7．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，在中，点为的中点，弦、互相垂直，垂足为，分别与、相交于点、，连接、．21*cnjy*com
（1）求证：为的中点．
（2）若的半径为，的度数为，求线段的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）．
【解析】
【分析】
（1）通过同弧或等弧所对的圆周角相等，结合、互相垂直，证明，可得结果；
（2）连接AC，OA，OB，AB，证明M为AE中点，得MN为的中位线，结合的度数为90°，半径为8，得到AB的长度，进而得到MN长度．
【详解】
（1）∵点为的中点
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴°
在和中
∴
∴
∴点N为BE中点
（2）连接CA，AB，OA，OB，如图所示：
∵点为的中点
∴
在和中
∴
∴，即M为AE中点
∵N为BE中点
∴MN为的中位线
又∵的半径为，的度数为
∴，OA=OB=8
∴
∴
【点睛】本题_è?????????????¨???_周角定理的性质结合全等三角形证明中点问题，同时考查了直角三角形的边长的计算，及中位线的作用，熟知以上知识是解题的关键．
8．（2019·湖北省直辖县级单位·中考真题）已知ABC内接于，的平分线交于点D，连接DB，DC．
（1）如图①，当时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：　 　；
（2）如图②，当时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）如图③，若BC=5，BD=4，求 的值．
【答案】（1）AB+AC=AD；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）在AD上截取AE=AB，_è?????BE?????±_条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE=AC，则AB+AC=AD；
（2）延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD=AD，证得AB+AC=；
（3）延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND=AD，∠N=∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，
可由AN=AB+AC，求出的值.
【详解】
解：（1）如图①在AD上截取AE=AB，连接BE，
∵∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，
∴△ABE和△BCD都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，
∴△BED≌△BAC（SAS），
∴DE=AC，
∴AD=AE+DE=AB+AC；
故答案为：AB+AC=AD．
（2）AB+AC=．理由如下：
如图②，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠MBD=∠ACD，
∵∠BAD=∠CAD=45°，
∴BD=CD，
∴△MBD≌△ACD（SAS），
∴MD=AD，∠M=∠CAD=45°，
∴MD⊥AD．
∴AM=，即AB+BM=，
∴AB+AC=；
（3）如图③，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，
∵四边形ABDC内接于⊙O，
∴∠NBD=∠ACD，
∵∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴△NBD≌△ACD（SAS），
∴ND=AD，∠N=∠CAD，
∴∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，
∴△NAD∽△CBD，
∴，
∴，
又AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，
∴．
【点睛】本题属_???????????????é??_，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．
9．（2020·山东德州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________________．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标 …



…
P的坐标 …



…
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________．
验证：
（4）设点P的坐标是，根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点，，点D为曲线L上任意一点，且，求点D的纵坐标的取值范围．
【答案】（1），线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）图见解析，抛物线；（3）见解析；（4）；（5）
【解析】
【分析】
（1）由尺规作图的步骤可知，HG是AM的中垂线，结合中垂线的性质，即可得到答案；
（2）根据第（1）的作图方法，得到相应点P的位置，即可求解；
（3）用平滑的曲线作出图象，即可；
（4）过点P作轴于点E，用含x，y的代数式表示，，，结合勾股定理，即可得到答案；
（5）连接，由题意得当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°，的外接圆圆心为坐标原点O，设，求出b的值，进而即可求解．
【详解】
解：（1） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
（2）
M的坐标 …



…
P的坐标 …



…
（3）草图见图2：形状：抛物线
（4）如图1，过点P作轴于点E，
，，
在中，
即
化简，得
∴y关于x的函数解析式为．

（5）连接，易得，又
∴为等边三角形，∴
当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60°
其圆心在的垂直平分线y轴上，
∴的外接圆圆心为坐标原点O，
设，则，即 ①
又点D在该抛物线上
∴ ②
由①②联立解得：（舍去）
数形结合可得，
当时，点D的纵坐标的取值范围为
【点睛】本题主要考查尺规作作中垂线，二次函数的图象和性质，圆周角定理，解题关键是：熟练掌握垂直平分线的性质定理，构造三角形的外接圆．21教育名师原创作品
10．（202_0?·????±????è??_真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF，
（1）求证：△BEF是直角三角形；
（2）求证：△BEF∽△BCA；
（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1)想办法证明∠BEF=90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）．
(2)根据两角对应相等两三角形相似证明．
(3)证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ=BD=m，EF=m，由△ABC∽△CBM，可得BM=，由△BEF∽△BCA，推出，由此构建方程求解即可.
【详解】
（1）证明：由折叠可知，∠ADB=∠ACB=90°
∵∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF，
∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF是直角三角形．
(2) 证明：∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠EFB=∠EDB，
∴∠EFB=∠BCD，
∵AC=AD，BC=BD，
∴AB⊥CD，
∴∠AMC=90°，
∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠BCD=∠CAB，
∴∠BFE=∠CAB，
∵∠ACB=∠FEB=90°，
∴△BEF∽△BCA．
(3) 设EF交AB于J．连接AE，如下图所示：
∵EF与AB互相平分，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴∠EFA=∠FEB=90°，即EF⊥AD，
∵BD⊥AD，
∴EF∥BD，
∵AJ=JB，
∴AF=DF，
∴ FJ=
∴ EF=
∵ △ABC∽△CBM
∴ BC:MB=AB:BC
∴ BM=，
∵ △BEJ∽△BME，
∴ BE:BM=BJ:BE
∴ BE=，
∵ △BEF∽△BCA，
∴
即
解得(负根舍去).
故答案为：
【点睛】本题_?±?????????????é??_，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_