专题24.2 点和圆、直线和圆的位置关系-2020-2021数学九上册同步课堂帮帮帮（含解析）

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第24章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
1．点和圆的位置关系
（1）设⊙O的半径为r_??????P??°??????_的距离OP＝d，则有：点P在圆外?________；点P在圆上?________；点P在圆内?________.21教育网
（2）经过已知点_A?????????_________个圆，经过两个已知点A，B可以作________个圆；它们的圆心________上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作________圆．
（3）经过三角形的________的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边________的交点，叫做这个三角形的外心．
任意三角形的外接圆有________，而一个圆的内接三角形有________．
（4）用反证法证明命题的一般步骤：
①反设：___________________________；
②归缪：___________________________；
③下结论：___________________________.
2．直线和圆的位置关系
（1）直线和圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
图形


公共点个数 0个 1个 2个
数量关系 d>r d______r d由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
（2）切线的性质与判定
a.切线的性质
（1）切线与圆只有_________个公共点．
（2）切线到圆心的距离________圆的半径．
（3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
b．切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
（3）切线长及切线长定理
①经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的_____________.
②从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线_______________两条切线的夹角.21·cn·jy·com
（4）三角形的内切圆及内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离_____________．
1．（1）d＞_r__d???r_ d＜r （2）无数 无数 在线段AB的垂直平分线 一个 （3）三个顶点 垂直平分线 一个 无数个 （4）假设命题结论不成立 从设出发，经过推理论证，得出矛盾
由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立
2．（1）= （2）一 等于 切线长 平分 相等
帮—重点 点和圆的位置关系、圆的确定、直线和圆的位置关系、切线的判定与性质、切线长及切线长定理
帮—难点 反证法、三角形的外接圆、三角形的内切圆及内心
帮—易错 圆的确定、切线的判定
一、判断点和圆的位置关系
理解点和圆的位置关系的“两点”技巧：ABCD
（1）等价关系：点和圆的位置关系点到圆心的距离（d)和半径（r）的数量关系.
（2）数形结合：解决点与圆的位置关系的捷径是利用数形结合的方法，借助图形进行判断.
已知的半径为，若，则可以得到的正确图形可能是
【答案】A
【解答】因为的半径为，，
∴OA故选A.
二、直线与圆的位置关系的判断
利用点和圆的位置关系求半径的取值范围
（1）若点在圆内，则点到圆心_???è·?????°???????_的半径；若点在圆上，则点到圆心的距离等于圆的半径；若点在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径.（2）解这类题时，常运用转化思想，将点与圆的位置关系转化成点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系，从而列出方程或不等式来解答.
已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=24 cm，以r为半径作⊙P．
（1）若r=12 cm，试判断⊙P与OB位置关系；
（2）若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件．
【答案】（1）相切；（2）0 cm＜r＜12 cm．
【解析】过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP=90°．
∵∠AOB=30°，OP=24 cm，
∴PC=OP=12 cm．
（1）∵PC =r=12 cm，
∴⊙P与OB相切，
即⊙P与OB位置关系是相切．
（2）当⊙P与OB相离时，r＜PC，
∴r需满足的条件是：0 cm＜r＜12 cm．
三、有关三角形外接圆的计算和证明
如图，是的外接圆，半径为R，∠A=45°，连接OB、OC，则边BC的长为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°，
∵的半径为R，
∴，
∴BC=OB=R，
故选A.
四、过不在同一直线上的三点作圆
平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）______ 确定一个圆（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【解析】∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，0）在x轴上，
∴点A、B、C三点不共线，
∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．
故答案为：能．
五、用反证法证明
（1）当一个命题直接证明很困难时，可考虑运用反证法证明.证明时要弄清楚反证法的思想及一般步骤，还要考虑结论的反面的所有情况，并一一否定.
（2）用反证法证明命题_??????????????????_与原命题的结论相反的假设是关键.“一定”“可能”，“全都是”的否定分别为“不一定”“不可能’“不全是”；特别注意“一定”的否定不是“一定不”.
用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°时，应假设
A．三角形的二个内角小于60°
B．三角形的三个内角都小于60°
C．三角形的二个内角大于60°
D．三角形的三个内角都大于60°
【答案】B
【解析】用反证法证明“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”时，第一步应先假设三角形的三个内角都小于60°，故选B.
六、直线和圆的位置关系
利用数量关系判断直线与圆的位置关系
（1）当图形中直线与圆的位置关系_??????????????????_般不利用交点个数来判断直线与圆的位置关系，应通过比较圆心到直线的距离与半径的大小来确定它们之间的位置关系.（2）在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先根据已知条件求出d与r的值，再通过比较它们的大小确定直线与圆的位置关系.
已知，的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离d=4，则直线l与的位置关系是
A．相交 B．相切
C．相离 D．平行
【答案】A
【解析】，，
∵的半径是一元二次方程的一个根，
∴，
∵，∴直线l与的位置关系是相交，
故选A.
七、切线的性质与判定
切线的判定方_????????????è?????_径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.
切线的判定方法二——作垂直，证半径
证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.
（2019·雅安）如图，已知AB是的直径，AC，BC是的弦，OE∥AC交BC于E，过点B作的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F.
（1）求证：DC是的切线；
（2）若∠ABC=30°，AB=8，求线段CF的长.
【解析】（1）连接OC，AC，
∵OE//AC，
∴∠1=∠ACB，
∵AB是的直径，
∴∠1=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB=DC，
∴∠DBE=∠DCE，又OC=OB，
∴∠OBE=∠OCE，即∠DBO=∠OCD，
∵DB为的切线，OB是半径，
∴∠DBO=90°，
∴∠OCD=∠DBO=90°，即OC⊥DC，∵OC是的半径，
∴DC是的切线；
（2）在中，∠ABC=30°，
∴∠3=60°，又OA=OC，
∴是等边三角形，
∴∠COF=60°，
在中，易得,
根据勾股定理得.
如图，已知BC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，切线AD交BC的延长线于D，若∠D=40°，则∠B的度数是
A．40° B．50°
C．25° D．115°
【答案】C
【解析】连接OA_??????????????????_性质得到OA⊥AD，由三角形的内角和得到∠AOC=50°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠OAB，根据圆周角定理可得到结论．
连接OA，
∵AD是⊙O的切线，∴OA⊥AD，
∴∠D=40°，∴∠AOC=50°，
∵BO=OA，∴∠B=∠BAO，
∴∠B+∠BAO=∠AOC=50°，
∴∠B=∠BAO=∠AOC=25°．
故选C．
八、三角形的内切圆
有关三角形内心的常用辅助线作法
解答该类问题时一般有两种_???è??????????????_法：一是连接内心与三角形的顶点，即构建出三角形的角平分线；二是连接内心与切点得到线段垂直的位置关系，再连接内心与三角形的顶点进而运用直角三角形的相关知识来解答.
如图，⊙O为ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.
（1）求ABC的面积；
（2）求⊙O的半径；
（3）求AF的长．
【答案】（1）6；（2）⊙O的半径为1；（3） 3.
【解析】（1）∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴S△ABC＝×3×4＝6；
（2）如图，连接OE，OD，OF.
∵⊙O为ABC的内切圆，D，E，F为切点，
∴EB＝FB，CD＝CE，AD＝AF，OE⊥BC，OD⊥AC.
又∵∠C＝90°，OD＝OE，∴四边形ECDO为正方形，
设OE＝OD＝CE＝CD＝x，
则EB＝3－x，AD＝4－x，FB＝3－x，AF＝4－x. 又∵AB＝＝5，∴3－x＋4－x＝5，
解得x＝1.即⊙O的半径为1；
（3）∵CD＝1，∴AF＝AD＝4－1＝3.
九、对圆的切线判定方法理解不透彻
已知，如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点,D与OA相切于点E.
求证：直线OB与D相切.
证明：设F为OB与D的公共点，分别连接DF，DE.
∵OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∵OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，
∴∠EOD=∠FOD,DE=DF.
又∵OD=OD,.△ODE≌△ODF,
∴∠DEO=∠DFO=90°，即DF⊥OF,∴OB与D相切.
以上证明过程正确吗？若不正确，请给出正确的证明过程.
[易错提示】本题易错误地默认直线OB与D有交点.
正解：不正确.
证明：如图，连接DE，过点D作DF⊥OB于点F.
∵直线OA与D相切于点E，DE⊥OA.
∴DF⊥OB，点D是∠AOB的平分线上一点，
∴DE=DF,∴直线OB与D相切.
一、单选题
1．如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：
（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；
（2）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；
（3）连接BD，BC．则下列说法中不正确的是（　　）
A．∠ABD＝90° B．sin2A+cos2D＝1
C．DB＝AB D．点C是△ABD的外心
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直角三角形的判定方法，三角形的外接圆的性质，特殊角三角函数值，解直角三角形一一判断即可．
【详解】
由作图可知：CA＝CB＝CD，
∴∠ABD＝90°，点C是△ABC外接圆的圆心，故A，D正确，
∵AC＝BC＝AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，∠D＝30°，
∴BD＝AB，故C正确，
∴sin2A+cos2D＝，故B错误，
故选B．
【点睛】本题考查作图﹣_?¤????????????????_段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆与外心，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21·世纪*教育网
2．在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求得AB的长，再利用三角形的面积公式求得点C到AB的距离，进而判定圆与AB的位置关系.【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
解：在中，，，，
∴，
∴点C到AB的距离=，
则该圆与AB的位置关系是相离.
故选C.
【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
3．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切，已知AB=10cm，则两圆形成的圆环的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OC、OA，构造出Rt△AOC，求出的值，再乘以π即为环形的面积．
【详解】
连接OC、OA，则OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
=25
环形的面积为
故选B.
【点睛】本题考查切线的性质，解题关键在于求出的值
二、填空题
4．如图，已知O为三边垂直平分线交点，∠BAC=60°，则∠BOC=______．
【答案】120°
【解析】
【分析】
由点O为三边垂直平分线交点，得到点O为△ABC的外心，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到结果．
【详解】
解：∵已知点O为三边_?????????????????¤_点，
∴点O为△ABC的外心，
∴∠BOC=2∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
故答案为120°．2·1·c·n·j·y
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外心的性质，解答本题关键熟练掌握圆周中同一弧线所对应的圆周角是圆心角的一半．
5．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交它的外接圆于D、E两点．若∠B=24°，∠C=106°，则 的度数为____
【答案】82°
【解析】
【分析】
根据垂径定理的推理可判断DE为直径，根据垂径定理得到，设△ABC的外接圆的圆心为O，连结OC、OA，如图，再利用三角形内角和计算出∠BAC=50°，利用圆周角定理得到∠EOC=∠BAC=50°，∠AOC=2∠B=48°，然后计算出∠AOD的度数，再根据的度数等于它所对的圆心角的度数求解即可．
【详解】
解：∵DE垂直平分BC，
∴DE为直径，，
设△ABC的外接圆的圆心为O，连结OC、OA，如图，
∵∠B=24°，∠C=106°，
∴∠BAC=180°-24°-106°=50°，
∴∠EOC=∠BAC=50°，
∵∠AOC=2∠B=48°，
∴∠AOD=180°-∠COE-∠AOC=180°-50°-48°=82°，
∴的度数为82°．
故答案为82°.
【点睛】本题考查了三角形的_?¤???????????¤????_：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是把求弧的度数转化为求弧所对的圆心角的度数．
6．已知⊙O的面积为9π，若PO=4，则点P在圆__．
【答案】外
【解析】
【分析】
先求出圆的半径，再根据点和圆的位置关系进行判断即可.
【详解】
解：设⊙O的半径为r，
∵⊙O的面积为9π，
∴，解得r=3.
∵PO=4＞3，
∴点P在圆外.
【点睛】本题考查了点与圆的位_??????????????¤???_点和圆的位置关系时，关键是比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，再根据大小关系进行作答. 若点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外，当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内.
三、解答题
7．已知AB是的直径，C，D是上AB同侧的两点，.
（Ⅰ）如图①，若，求和的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作的切线，交AB延长线于点E，若，求的大小．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，从而求出的度数，再根据一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据等腰三角形的性质得出，继而根据角的和差以及等腰三角形的性质得出的度数．
（Ⅱ）连接OC，根据切线的性质得出,再根据圆周角的性质定理得出,从而得出，然后根据平行线的性质和圆周角的性质定理得出的度数.
【详解】
解：（Ⅰ）连接
是直径，
，
.
，
（II）连接OC
与相切，
，
在中，
【点睛】本题考查了切_????????§è?¨??????_腰三角形的性质，以及圆周角的性质定理等知识，正确的作出辅助线，熟练掌握基本知识是解题的关键，属于中考常考题型．
8．如图，在中，，，．
的外接圆半径为______；
用直尺和圆规作出的内切圆保留作图痕迹，不写作法，并求出的内切圆半径．
【答案】（1）2.5；（2）该三角形内切圆的半径长是1．
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定_????±????AB???_根据直角三角形的外心是斜边的中点，即可求出答案．
（2）作两角的平分线，交点为圆心，以交点到边的距离为半径作出圆即可．根据三角形面积公式求出内切圆半径即可．
【详解】
解：在中，，，，由勾股定理得：，
即三角形的外接圆的半径长是，
故答案为．
如图所示：即为所求
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设内切圆的半径长为r，则，
由
得：
解得：，
即该三角形内切圆的半径长是1．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆和三角形的外接圆的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力21世纪教育网版权所有
9．如图,AB是⊙0的直径,点C在⊙0上,过点C作⊙0的切线CM,AD⊥CM于点D,交⊙0于点E.
(1)求证:AC平分∠BAD;
(2)若AE=A0=2,求线段CD的长.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
(1) 连接OC,由CD与⊙O相切于点C，可得∠l+∠2=90°，又∠2+∠3=90°，∠l=∠3，可以得到结论;
(2)作OH⊥AD于点H,可得四边形OCDH是矩形，可求得CD的长.
【详解】
(1)证明:连接OC,
∵CD与⊙O相切于点C,
∴OC⊥DC,
∴∠OCD=90°.
∴∠l+∠2=90°.
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°.
∴∠2+∠3=90°.
∴∠l=∠3.
∵OA=OC,
∴∠4=∠1=∠3.
∴AC平分∠BAD.
(2)解:作OH⊥AD于点H.
∵AE=2,
∴AH=AE=1,
∵在Rt△OAH中,AH2+OH2=AO2,AO=2,
∴OH=.
∵∠OHD=∠HDC=∠OCD=90°,
∴四边形OCDH是矩形.
∴CD=OH=.
【点睛】本题主要考查圆中切线的证明及圆与矩形的综合.
10．如图，△ABC的内切圆_???O???BC???_CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求：AF、BD、CF的长．
【答案】AF=4,BD=9,CF=5.
【解析】
【分析】
根据切线的性质定理列三元一次方程组可得AF、BD、CF的长.
【详解】
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AE=AF（设为x），BD=BF（设为y），CD=CE（设为z），
又∵AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，
∴ ，
由①+②+③得：2（x+y+z）=36，
∴x+y+z=18④，
由④﹣①得z=5；由④﹣②得x=4；由④﹣③得y=9；
∴ AF=4,BD=9,CF=5.
【点睛】该命题主要考查了三角形的内切圆及其性质的应用问题;解题的关键是灵活运用切线的性质列方程组求出相关线段长.
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，_???C???90?°_，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是(　　)
A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形即可得出答案．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，
当圆A的半径0＜r＜3或r＞5时，圆A与线段BC没有公共点；
故选D．
【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案．
2．一点到某圆的最小距离为4，最大距离为9，则该圆的半径是（ ）
A．2.5或6.5 B．2.5 C．6.5 D．5或13
【答案】A
【解析】
【分析】
本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点在圆内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点在定圆外时，直径=最远点的距离-最近点的距离．
【详解】
解：应分两种情况讨论：
①当点在圆内时，最近点的距离为4，最远点的距离为9，
则直径=最近点的距离+最远点_???è·?????????????_直径=4+9=13，因而半径是6.5；
②当点在圆外时，最近点的距离为4，最远点的距离为9，则直径=最远点的距离-最近点的距离=9-4=5，因而半径是2.5．
故选A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
3．如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是　　
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
【详解】
解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
，，
，
点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
，，
，
，
的最小值，
故选B．
【点睛】本题考查点与圆_??????????????????_坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题
4．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点.若的半径为7，则GE+FH的最大值为______.
【答案】10.5
【解析】
【分析】
根据连结、，可得是等边三角形，因此可得当为直径时，的取最大值.
【详解】
连结、，
易得是等边三角形.可得，
故当为直径时，的最大值为.
【点睛】本题主要考查圆的综合知识，关键在于分析当为直径时，取的最大值.
5．如图，在中，，，，为斜边上的两个点，且，，则的外接圆的半径是________．2-1-c-n-j-y
【答案】
【解析】
【分析】
设∠DCE=x_??????ACD=_y，根据等腰三角形的性质求出∠ACE、∠BDC，根据三角形内角和定理求出∠DCE=45°，根据三角形的外接圆和外心的概念求出答案．【版权所有：21教育】
【详解】
设∠DCE=x,∠ACD=y,则∠ACE=x+y,∠BCE=90°?∠ACE=90°?x?y，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°?x?y+x=90°?y，
在△DCE中,∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+(90°?y)+(x+y)=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°，
∵AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
∵AE=AC=6，BD=BC=8，
∴DE=4,又∠DCE=45°,
如图，作直径CH，连接HE，
∴∠CEH=90°,又∠CHE=∠DCE=45°，CE=4，
∴CH=4，
即△DCE的外接圆的直径4，
∴△DCE的外接圆的半径为2.
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形的外接圆与外心的性质.21cnjy.com
6．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦PQ∥AB交弦CD于点M，BE=18，CD=PQ=24，则OM的长为______．
【答案】
【解析】
试题解析：作OF⊥PQ于F，连接OP，
∴PF=PQ=12，
∵CD⊥AB，PQ∥AB，
∴CD⊥PQ，
∴四边形MEOF为矩形，
∵CD=PQ，OF⊥PQ，CD⊥AB，
∴OE=OF，
∴四边形MEOF为正方形，
设半径为x，则OF=OE=18-x，
在直角△OPF中，
x2=122+（18-x）2，
解得x=13，
则MF=OF=OE=5，
∴OM=5．
三、解答题
7．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
(1)若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
(2)求证：DE=DB．
【答案】（1）35°；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，易得∠CAD=，进而得出∠CBD=∠CAD=35°；
(2) 由点E是△A_BC????????????_可得E点为△ABC角平分线的交点，可得∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，可推导出∠DBE=∠BED，可得DE=DB.www.21-cn-jy.com
【详解】
（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，
∴∠CAD=，
∵，
∴∠CBD=∠CAD=35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BED，
∴DE=DB.
【点睛】此题考查了圆的内心的性质以及角平分线的性质等知识． 此题综合性较强, 注意数形结合思想的应用.www-2-1-cnjy-com
8．如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；21*cnjy*com
（2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积.
【详解】
（1）证明：连接，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理.
9．已知OA，OB是⊙O的半径，_???OA???OB_，垂足为O，P是射线OA上的一点（点A除外），直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交射线OA于点E．
（1）如图①，点P在线段OA上，若∠OBQ=15°，求∠AQE的大小；
（2）如图②，点P在OA的延长线上，若∠OBQ=65°，求∠AQE的大小．
【答案】（1）30°；（2）20°；
【解析】
【分析】
（1）利用圆切线的性质求解；
(2) 连接OQ，利用圆的切线性质及角之间的关系求解。
【详解】
（1）如图①中，连接OQ．
∵EQ是切线，
∴OQ⊥EQ，
∴∠OQE=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AQB=∠AOB=45°，
∵OB=OQ，
∴∠OBQ=∠OQB=15°，
∴∠AQE=90°﹣15°﹣45°=30°．
（2）如图②中，连接OQ．
∵OB=OQ，
∴∠B=∠OQB=65°，
∴∠BOQ=50°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOQ=40°，
∵OQ=OA，
∴∠OQA=∠OAQ=70°，
∵EQ是切线，
∴∠OQE=90°，
∴∠AQE=90°﹣70°=20°．
【点睛】此题主要考查圆的切线的性质及圆中集合问题的综合运等.
10．如图，⊙O的直径_AB???10c_m，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，直径AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）AC＝8cm；AD＝cm；（2）PC与圆⊙O相切，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连结BD，如图，根_????????¨è§???????_由AB为直径得∠ACB＝90°，则可利用勾股定理计算出AC＝8；由DC平分∠ACB得∠ACD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得∠DAB＝∠DBA＝45°，则△ADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；
（2）连结OC，由PC＝PE得∠PCE＝∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，加上∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，于是可得到∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE＝90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线．
【详解】
（1）连结BD，如图1所示，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC＝＝8（cm）；
∵DC平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠DBA＝45°
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝（cm）；
（2）PC与圆⊙O相切.理由如下：
连结OC，如图2所示：
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠PEC，
∵∠PEC＝∠EAC+∠ACE＝∠EAC+45°，
而∠CAB＝90°﹣∠ABC，∠ABC＝∠OCB，
∴∠PCE＝90°﹣∠OCB+45°＝90°﹣（∠OCE+45°）+45°，
∴∠OCE+∠PCE＝90°，
即∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的性质和判_????????????é?????_理，圆周角定理，是圆的综合题，综合性比较强，难度适中，熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法是解题的关键．
11．已知BC是⊙O的直径，BF是弦，AD过圆心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，连接FC．
（1）如图1，若OE＝2，求CF；
（2）如图2，连接DE，并延长交FC的延长线于G，连接AG，请你判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）4；（2）直线AG与⊙O相切.
【解析】
【分析】
(1)由AAS证明△AEO≌△BDO,得出OE=OD=2,证出OD//CF,得出OD为△BFC的中位线,得出CF=2OD=4即可;
(2)由ASA证明△_ABD??????G_DF,得出AD=GF,证出AD//GF,得出四边形ADFG为矩形,由矩形的性质得出AG⊥OA,即可得出结论.
【详解】
解：（1）∵BC是⊙O的直径，AD过圆心O，AD⊥BF，AE⊥BC于E，
∴∠AEO＝∠BDO＝90°，OA＝OB，
在△AEO和△BDO中，
，
∴△AEO≌△BDO（AAS），
∴OE＝OD＝2，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CFB＝90°，即CF⊥BF，
∴OD∥CF，
∵O为BC的中点，
∴OD为△BFC的中位线，
∴CF＝2OD＝4；
（2）直线AG与⊙O相切，理由如下：
连接AB，如图所示：
∵OA＝OB，OE＝OD，
∴△OAB与△ODE为等腰三角形，
∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠ADG＝∠OED＝∠BAD＝∠ABO，
∵∠GDF+∠ADG＝90°＝∠BAD+∠ABD，
∴∠GDF＝∠ABD，
∵OD为△BFC的中位线，
∴BD＝DF，
在△ABD和△GDF中，
，
∴△ABD≌△GDF（ASA），
∴AD＝GF，
∵AD⊥BF，GF⊥BF，
∴AD∥GF，
∴四边形ADFG为矩形，
∴AG⊥OA，
∴直线AG与⊙O相切．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、切线的性质及三角形全等，本题综合性大，注意综合运用所学知识求解.21*cnjy*com
一、单选题
1．如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH=BC，当BC为直径时长度最大，即可求解．
【详解】
解：∵
∴∠BHC=90°
∵在Rt△BHC中，点M是的中点
∴MH=BC
∵BC为的弦
∴当BC为直径时，MH最大
∵的半径是3
∴MH最大为3．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．
【详解】
设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断．
二、填空题
4．如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________．
【答案】25
【解析】
【分析】
先由切线的性质可得∠OA_C=90?°???_再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵是的切线，
∴∠OAC=90°
∵，
∴∠AOD=50°，
∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
5．如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】
如图：连接OP、OQ，根据,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】
解：如图：连接OP、OQ，
∵是的一条切线
∴PQ⊥OQ
∴
∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短
在Rt△ABC中，
∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB=
∵S△AOB=
∴，即OP=3
在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1
∴PQ=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了切_????????§è?¨??????_30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键．
6．如图，AB是的直径，PA切于点A，线段PO交于点C．连接BC，若，则________．
【答案】27°
【解析】
【分析】
连接AC，根据直径所对的圆周角是直角、切线的定义得到，根据三角形外角的性质可得，因此可得，求解即可．
【详解】
如图，连接AC，
是的直径，
∴，
∴，
∵PA切于点A，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角、切线的性质、三角形外角的性质等内容，解题的关键是作出辅助线，得到关于的方程．
三、解答题
7．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC．
（1）求证：AC是∠DAB的角平分线；
（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，再根据AD⊥DC，和半径线段即可证明AC是∠DAB的角平分线；
（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明Rt△ADC∽Rt△ACB，对应边成比例即可求出AC的长．
【详解】
解：（1）证明：连接OC，如图，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠ACD+∠ACO＝90°，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠ACO＝∠DAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC是∠DAB的角平分线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴ ，
∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，
∴AC＝
【点睛】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，解题关键是连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°.
8．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD=∠ABC．
（1）请判断直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由；
（2）若CD=2，CA=4，求弦AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）如图，连接O_A?????±?????¨è§?_定理可得∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，由等腰三角形的性质可得∠OAB=∠CAD=∠ABC，可得∠OAC=90°，可得结论；
（2）由勾股定理可求OA=OD=3，由面积法可求AE的长，由勾股定理可求AB的长．
【详解】
（1）直线AC是⊙O的切线，
理由如下：如图，连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°=∠OAB+∠OAD，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠ABC，
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠OAB=∠CAD=∠ABC，
∴∠OAD+∠CAD=90°=∠OAC，
∴AC⊥OA，
又∵OA是半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）过点A作AE⊥BD于E，
∵OC2=AC2+AO2，
∴(OA+2)2=16+OA2，
∴OA=3，
∴OC=5，BC=8，
∵S△OAC=OAAC=OCAE，
∴AE=，
∴OE=，
∴BE=BO+OE=，
∴AB=．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆的有关知识，勾股定理等知识，求圆的半径是本题的关键．
9．如图，为的直径，为的切线，M是上一点，过点M的直线与交于点B，D两点，与交于点E，连接．【出处：21教育名师】
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为2.5．
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质得到，可得，再根据等腰三角形的性质与角度等量替换得到，故可证明；
（2）解法1，先连接BC,证明，得到EM=6，根据勾股定理求出AE，再根据列出比例式求出直径，故可求出；解法2，连接CD，同理得到，根据勾股定理求出AE，设，根据等腰三角形的性质得到CD=CE=x,再利用Rt△ACD列出方程故可求出x,再得到直径即可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
（1）证明：∵为的切线，为的直径，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴．
（2）方法1：解：如图，连接，
∵为直径，∴，
∴，而，
∴，
又：，
∴，
∴，
∵，，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴的半径为2.5．
方法2：解：如图，连接CD，
∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵为直径，∴，
∴，
而，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
在中，
，∴，解得
∴，
∴的半径为2.5．
【点睛】此题主要考查切线的综合运用，解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质．
10．如图，为⊙O的直径，为⊙O上一点，，垂足为，平分．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据角平分线及等腰三角形的性质得到∠OCD=90°，即可求解；
（2）连接BC，在Rt△ADC中，利用cos∠1=∠CAB=，求出AC=5，再根据在Rt△ABC中，cos∠CAB=，即可求出AB的长．
【详解】
（1）证明：连接OC，
∵
∴∠ADC=90°
∴∠1+∠4=90°
∵AC平分∠DAB
∴∠1=∠2
又AO=OC，
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴∠4+∠3=90°
即∠OCD=90°
故OC⊥CD，OC是半径
∴是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵AC平分∠DAB，∠1=∠2
在Rt△ADC中，cos∠1=∠CAB=
又AD=4
∴AC=5
在Rt△ABC中，cos∠CAB=
∴AB=．
【点睛】此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知切线的判定定理及三角函数的定义．
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