专题24.3 正多边形和圆-2020-2021数学九上册同步课堂帮帮帮（含解析）

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第24章 圆
24.3 正多边形和圆
1．正多边形及有关概念
只要把一个圆分成　 　的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的　
　 圆．
一个正多边形的外接圆的　 　叫_???è?????????¤?è??_形的中心，外接圆的　 　叫作这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的　 　叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的　 　.
2．正多边形的有关计算
一般地，正n边形的一个内角的度数为　 　，中心角的度数等于　 　；正多边形的中心角与外角的大小　 　.
易错点：易把正多边形的内切圆的半径(即边心距)当作正多边形的半径．
1．相等 外接 圆心 半径 圆心角 边心距
2． 相等
帮—重点 正多边形及有关概念
帮—难点 正多边形及有关概念
帮—易错 混淆正多边形和圆的有关概念
一、圆内接正多边形的判断
证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法：
（1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可.
（2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等.
技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形.
已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
【解析】连接BF，CE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，
∴AF=CF，AE=BE，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，
∴，
∴AE=AF=BE=BC=FC，
∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．
∴五边形AEBCF为正五边形．
二、正多边形的有关计算
正多边形的相关计算技_?·§???
???1???_正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形.有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形；
（2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的倍，正方形的边长等于它的半径的倍.
（2019·贵阳市）如图，正六边形ABCDEF内接于，连接BD.则∠CBD的度数是
A.30° B.45°
C.60° D.90°
【答案】A
【解析】∵在正六边形ABCDEF中，，
∴，故选A.
三、对正多边形的概念、性质理解模糊
判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.
（1）各边相等的多边形是正多边形；（ ）
（2）圆内接菱形是正方形；（ ）
（3）各个角相等的圆内接多边形是正多边形；（ ）
（4）正多边形都是中心对称图形.（ ）
【易错提示】易因不理解正多边形的概念、性质而出错.
（1)菱形的各边相等，但它不一定是正方形；
（2）圆内接菱形的四个顶点将圆周4等分，所以它是正方形；
（3）圆内接矩形的各角都相等，但它不一定是正方形；
（4）当正多边形的边数为奇数时，该正多边形不是中心对称图形.
【正解】（1)×（2）√(3）×(4）×
四、混淆正多边形和圆的有关概念致错
求边长为a的正方形的半径.
【易错提示】正多边形有外接圆和内切圆，这两个圆是同心圆.正多边形的半径是指它的外接圆的半径，不要误认为正多边形的半径是它的内切圆半径
【正解】作正方形ABCD的外接圆，连接OA,OB.
在△AOB中，AB=a,∠AOB==90°，OA=OB.
由勾股定理，得OA2+OB2=a2，
∴，即边长为a的正方形的半径为.
一、单选题
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=110°，∠BAC=20°，则∠E的度数为（　　）
A．60° B．55° C．50° D．45°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数, 再由圆周角定理得出∠DCE的度数,根据三角形外角的性质即可得出结论.21·cn·jy·com
【详解】
解:四边形ABCD内接于⊙O,∠ABC=110°,
∠ADC=- ∠ABC=，
, ∠BAC=,
∠DCE=∠BAC=,
∠E=∠ADC - ∠DCE=70 - =.
故选C.
【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及 圆心角、 弧、 弦的关系，需灵活运用各知识求解.
2．如图，已知△ABC为⊙O的内接三角形，AB＞AC．E为的中点，过E作EF⊥AB于F．若AF＝1，AC＝4，∠C＝60°，则⊙O的面积是（　　）
A．8π B．10π C．12π D．18π
【答案】C
【解析】
【分析】
在BF上截取_BM???AC???_连接BE，EM，AE，CE，证明△BEM≌△CEA（SAS），得出EM＝AE，则AF＝FM＝1，求出AB＝6，过点A作直径AN，连结BN，求出AN，则答案可求出．
【详解】
解：在BF上截取BM＝AC，连接BE，EM，AE，CE，
∵E为的中点，
∴
∴BE＝CE，
在△BEM和△CEA中，
，
∴△BEM≌△CEA（SAS），
∴EM＝AE，
∵EF⊥AB，
∴AF＝FM＝1，
∴AB＝AF+FM+BM＝1+1+4＝6，
过点A作直径AN，连结BN，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ANB＝60°，
∴＝sin60°，
∴AN＝＝
∴OA＝，
∴⊙O的面积是＝12π．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆_????¤?????????¨???_三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
3．如图所示，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【解析】
∵⊙O内切于四边形ABCD，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB=10，BC=7，CD=8，
∴AD+7=10+8，
解得：AD=11．
故选D．
4．如图，把正六边形各边按同_????????????é?????_使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）21*cnjy*com
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据正六边形的性质_?????????1??????_数，再根据AD=CD=BC判断出△ABC的形状及∠2的度数，求出AB的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长．
【详解】
∵此六边形是正六边形，
∴∠1=180°-120°=60°，
∵AD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴BD=AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC=AC，
∴∠2=30°，
∴AB=BC=CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的倍，
，
∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的倍．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键．
5．正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据应（ ）
A．把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形
B．把圆等分，依次过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正边形
C．各边相等，并且各角也相等的多边形是正多边形
D．用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
【答案】A
【解析】
【分析】
根据圆的内接正多边形的定义即可得答案．
【详解】
正五边形的画法通常是先把圆分成五等份，然后连接五等分点而得，这种画法的理论依据是把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形．
故选A．
【点睛】本题考查圆的内接正多边形的定义，把圆等分，顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正边形．
6．正五边形的中心角等于（　　）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正n边形的圆中心角为计算即可.
【详解】
解：正五边形的中心角为．
故选D.
【点睛】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为.
7．若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝．OC是边心距，OA即半径．根据三角函数即可求解．
【详解】
解：设圆的半径为R，
则正三角形的边心距为R×cos60°．
四边形的边心距为R×cos45°，
正六边形的边心距为R×cos30°．
∴等于 ．
故选A．
【点睛】此题主要考查了正_?¤?è??????????????_性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
二、填空题
8．如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧弧MN的长度为__________．
【答案】
【解析】
试题分析：连接OM，ON，首先根据切线的性质和正五边形的性质求得圆心角的度数，然后利用弧长公式进行计算．
试题解析：如图：连接OM，ON，
∵⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∵∠A=108°，
∴∠MON=72°，
∵半径为1，
∴劣弧的长度为：．
考点：正多边形和圆
三、解答题
9．如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径.
【答案】
【解析】
【分析】
连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可半径，进而求得直径．
【详解】
解：如图所示，是的外接圆，连接OA交BC于D，
∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，
∴∠AOC=∠BOA，
∵OB=OC，
∴BD=DC，OA⊥BC，
∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，
∠OAC=∠BAC=×120°=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∴∠DCO=90°-60°=30°
∴OC=2OD，
设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，
a=，
∴OC=2a=，
∴外接圆的直径=2OC=（cm）．21·世纪*教育网
【点睛】本题考查等腰三角形_?????§è?¨??????è§?_形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．
10．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC相交于点M，延长AB，DC相交于点N，∠M=40°，∠N=20°，求∠A的度数.
【答案】∠A=60°.
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质可得∠1=∠2=∠A，由圆周角定理可得答案.
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠1=∠2=∠A.
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC=∠M+∠2，∠ABC=∠1+∠N，
∴∠M+∠1+∠2+∠N=180°
∵∠M=40°，∠N=20°，∠1=∠2=∠A
∴∠A=60°.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
一、单选题
1．如图，边长为_3?????????è?????_ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（　　）
A．12° B．16° C．20° D．24°
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,所以求出点E旋转的角度即可.
【详解】
解: 如图
设圆心为O,连接OA, OB,点E落在圆上的点E'处.
AB=OA=OB,
∠OAB=,同理∠OAE'=,
∠EAB=,
∠EAO=∠EAB-∠OAB=,
∠EAE'=∠OAE'-∠EAO=-=
点E旋转的角度和点C旋转的角度相等,
点C旋转的角度为,
故选A.
【点睛】本题主要考查旋转的性质，注意与圆的性质的综合.
2．如图，正六边形的边长为_2???????????????_六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．
【详解】
解：6个月牙形的面积之和，
故选A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
3．边长为的正三角形的外接圆的半径为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意画出图形，再根据正三角形的特点求出∠BOC的度数，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质解答即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】
如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC；
∵BC=1,
∴BD=,
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC==120°，
∵OB=OC，
∴∠BOD==60°，
∴∠OBD=30°，OB=．
故选C．
【点睛】解决本题的关键是构造与外接圆半径相关的直角三角形．
4．如图，O是的外心，则　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】
如图，
，
，
同理，，，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．
二、填空题
5．如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆上的三等分点，若⊙O的半径为1，E为线段AB上任意一点，则图中阴影部分的面积为_____．【出处：21教育名师】
【答案】
【解析】
【分析】
根据同底同高的三角_???é???§??????????_可知点E无论在哪一点都与在点O时的面积相等，根据C、D是半圆上的三等分点，可知△OCD是等边三角形，即阴影部分的面积就是一个圆心角为60度的扇形的面积．
【详解】
连接CO，DO．
∵C、D是半圆上的三等分点，∴△OCD是等边三角形，∴阴影部分的面积=扇形COD的面积=．
【点睛】本题的关键是看出阴影部分的面积就是一个圆心角为60度的扇形的面积．
6．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于________．(结果保留根号)
【答案】1＋
【解析】
【分析】把正八边形的四条不相邻的_è?????é??????????°_的四边形就是满足条件的正方形，则三角形BDE是等腰直角三角形；正方形的边长等于正八边形的边长1加上DB的2倍，根据三角函数求得DE的长即可求解．
【详解】∵△BDE是等腰直角三角形，BE=1．
∴BD=BE?=．
∴正方形的边长等于AB+2BD=1+．
故答案为1＋
【点睛】正确作出满足条件的正方形，理解所作正方形与已知正八边形之间的关系是解题的关键．
三、解答题
7．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC=EC，延长CE交AB的延长线于点D.21教育网
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，OF=1，∠OAF=30°，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先连接_OE?????±AC_⊥AB，，可得∠CAD=90°，又由AC=EC,OA=OE，易证得∠CAE=∠CEA, ∠FAO=∠FEO，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）根据题意可知∠OAF=30°，OF=1，可求得AE的长，又由S阴影= -，即可求得答案．
【详解】
（1）证明：连接OE
∵AC=EC,OA=OE
∴∠CAE=∠CEA, ∠FAO=∠FEO
∵AC⊥AB，
∴∠CAD=90°
∴∠CAE+∠EAO=90°
∴∠CEA+∠AEO=90°
即∠CEA=90°
∴OE⊥CD
∴CE为⊙O的切线
（2）解：
∵∠OAF=30°，OF=1
∴AO=2
∴AF= 即AE=
∴
∵∠AOE= 120°,AO=2
∴
∴S阴影=
【点睛】此题考查垂径定理及其推论，切线的判定与性质，扇形面积的计算，解题关键在于作辅助线.
8．如图，∠A=∠B=30°_???P???AB???_点，线段MV绕点P旋转，且M为射线AC上（不与点d重合）的任意一点，且N为射线BD上（不与点B重合）的一点，设∠BPN=α．

（1）求证：△APM≌△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若AB=4，60°≤α≤90°，直接写出△BPN的外心运动路线的长度。
【答案】（1）见解析；（2）30°；（3）
【解析】
【分析】
（1）由P为AB的中点，可得PA=PB，再由已知中∠A=∠B=30°，对顶角∠APM=∠BPN，根据ASA即可判定△APM≌△BPN；www.21-cn-jy.com
（2）由（1）中结论可知PM=PN，即MN=2PN，由已知MN=2BN，可得BN=PN，根据等边对等角，即α=∠B=30°；
（3）当α=60°时，由∠B=30°，可知MN⊥BD，此时BP的中点为△BPN的外心，当α=90°时，由∠B=30°，此时BN的中点为△BPN的外心，根据三角形中位线定理可得△BPN的外心运动路线的长度为PN的一半，即为.
【详解】
（1）证明：∵P是AB的中点，∴PA=PB ， 在△APM和△BPN中，
∴△APM≌△BPN（ASA）
（2）解：由（1）得_??????APM???_△BPN ， ∴PM=PN ， ∴MN=2PN ， ∵MN=2BN ， ∴BN=PN ， ∴α=∠B=30°
（3）解：
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，解题关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质
9．如图，已知BD是四边形ABCD的一条对角线.请利用直尺和圆规在AB边上作一点P，使得∠BPC＝∠BDC.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
作△BDC的外接圆,△DBC的外接圆与AB的交点P，即为所作的点P.
【详解】
（1）作△BDC的外接圆
（2）如图，△DBC的外接圆与AB的交点P，即为所作的点P.
【点睛】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
10．如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM.
求证：(1)AC＝BE；
(2)AM⊥CD.
【答案】见解析
【解析】
【分析】（1）先_è????????ABC_≌△EAB：AB=BC,AE=BA,∠ABC=∠EAB,所以全等,所以AC=BE；（2）连接AD,易证AC=AD（三角形ABC全等于三角形AED）,所以三角形ACD为等腰三角形,又M为CD中点,所以AM垂直于CD
【详解】解：(1)由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC，
∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE.
(2)连接AD，由五边形ABCDE是正五边形，得AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，
∴△ABC≌△AED，
∴AC＝AD.
又∵M是CD的中点，
∴AM⊥CD.
【点睛】本题考核知识点：正多边形. 解题关键点：证三角形全等.
11．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．21教育名师原创作品
(1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
(2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
【答案】（1）AB＝AC（2）≤r<5
【解析】
【分析】
（1）连接，根据切线的性质和垂直得出，推出，求出，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）根据已知得出在的垂直平分线上，作出线段的垂直平分线，作，求出，求出范围，再根据相离得出，即可得出答案.21*cnjy*com
【详解】
(1)AB＝AC，理由如下：
如图1，连结OB.
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；　
(2)如图2，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出；
又∵圆O与直线MN有交点，
∴，
，
，
r2≥5，
∴，
又∵圆O与直线l相离，
∴r<5，
即.

图1 图2
【点睛】本题考查了等腰_???è§?????????§è?¨_和判定、直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强，有一定的难度.
一、单选题
1．（2020·辽宁营口·中考_???é??????????????_AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）
A．110° B．130° C．140° D．160°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．
【详解】
解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆_??¨è§????????????¨_同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
2．（2020·福建中考真题）如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．
【详解】
∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴=40°，
故选：A．
【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．
3．（2019·富顺县_è?????????????????_考真题）如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AC，根据正方形的性质得到∠B=90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．
【详解】
连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC=AB=a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：，
故选C.
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．
二、填空题
4．（2020·黑龙江绥化·中考真题）如图，正五边形内接于，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接、，，垂足为G，等于________度．
【答案】54
【解析】
【分析】
连接OC，OD，利用正五边形的性质求出∠COD的度数，再根据圆周角定理求得∠CPD，然后利用直角三角形的两锐角互余即可解答．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
连接OC，OD，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD=，
∴∠CPD=∠COD=36?，
∵，
∴∠DGP=90?
∴∠PDG=90?-∠CPD=90?-36?=54?，
故答案为：54?．
【点睛】本题主要考查了圆内接正多边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟练掌握圆心角与圆周角之间的关系是解答的关键．2-1-c-n-j-y
5．（2018·四川宜宾·中考真_é?????????????????_国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
分析：根据正多边形的定义可_?????????ABO_为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
详解：依照题意画出图象，如图所示．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为2.
点睛：本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
6．（201_7?·???è????????_·中考真题）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是_____．
【答案】8+8
【解析】
解设直角三角形边是x,由勾股定理知22,解得x=,
所以周长等于8+8.
三、解答题
7．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分．
（1）求证：是等边三角形；
（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；
【解析】
【分析】
（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.【版权所有：21教育】
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD=90°
∵∠ADC=120°，
∴∠ADM=60°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD=1，AM=，
∵CD=3，
∴CM=CD+DE=1+3=4，
∴S△ACD=CD-AM=×3×=，
在Rt△AMC中，∠AMD=90°，
∴AC=，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=，
∴BN=，
∴S△ABC=××=，
∴四边形ABCD的面积=+=，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC_=180?°???_
∵∠ADC=120°，
∴∠E=60°，
∴∠E=BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB=∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
【点睛】本题考查圆内接四边_????????§è?¨??????_边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2019·西藏中考真题）如图，在中．，以为直径的⊙分别交于点，点在的延长线上，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求点到的距离．
【答案】（1）见解析；（2）点到的距离为．
【解析】
【分析】
（1）连接，则，证明为等腰三角形，则，即，即可求解；
（2）在中，，，设点到的距离为，利用，即可求解．
【详解】
（1）连接，则，
为等腰三角形，
，
∴，即，
是⊙的切线；
（2）为等腰三角形，
，
∵，则，
在中，，，
设点到的距离为，
则，
即： ，
解得：，
故点到的距离为．
【点睛】本题考查的是切线定理的判断与运用，涉及到解直角三角形、三角形面积计算等，难度适中．
9．（2019·湖南张家界·中考真题）如图，AB为的直径，且，点C是上的一动点(不与A，B重合)，过点B作的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．
(1)求证：EC是的切线；
(2)当时，求阴影部分面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为．
【解析】
【分析】
(1)如图，连接BC，OC，OE，证明，可得，进而根据BD是的切线，得到，继而得到，即可求得结论；
(2)先求出四边形OBEC的面积，继而根据阴影部分面积为进行求解即可得.
【详解】
(1)如图，连接BC，OC，OE，
AB为的直径，
，
在中，，
，
，，
，
，
BD是的切线，
，
，
OC为半径，
EC是的切线；
(2)，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
四边形OBEC的面积为，
阴影部分面积为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键.
10．（2019·山东威海·中考真题）(1)方法选择
如图①，四边形是的内接四边形，连接，，．求证：.
小颖认为可用截长法证明：在上截取，连接…
小军认为可用补短法证明：延长至点，使得…
请你选择一种方法证明．
(2)类比探究
（探究1）
如图②，四边形是的内接四边形，连接，，是的直径，．试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论．21cnjy.com
（探究2）
如图③，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是______．
(3)拓展猜想
如图④，四边形是的内接四边形，连接，．若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是______．
【答案】(1)方法选择：证明见解析；(2)【探究1】：；【探究2】；(3)拓展猜想：.
【解析】
【分析】
（1）方法选择：_?????????è?????è§?_形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，如图①，在BD上截取DM=AD，连接AM，由圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=60°，得到AM=AD，根据全等三角形的性质得到BM=CD，于是得到结论；2·1·c·n·j·y
（2）类比探究：如图②，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，过A作AM⊥AD交BD于M，推出△ADM是等腰直角三角形，求得DM=AD根据全等三角形的性质得到结论；
【探究2】
如图③，根据圆周角定理和三角形的内角和得到∠BAC=90°，∠ACB=60°，过A作AM⊥AD交BD于M，求得∠AMD=30°，根据直角三角形的性质得到MD=2AD，根据相似三角形的性质得到BM=CD，于是得到结论；
（3）如图④，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°，过A作AM⊥AD交BD于M，求得∠MAD=90°，根据相似三角形的性质得到BM=CD，DM=AD，于是得到结论．
【详解】
(1)方法选择：∵，
∴，
如图①，在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)类比探究：如图②，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
过作交于，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
[探究2]如图③，∵若是的直径，，
∴，，
过作交于，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为；
(3)拓展猜想：；
理由：如图④，∵若是的直径，
∴，
过作交于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为.
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21世纪教育网版权所有
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