专题24.4 弧长及扇形的面积-2020-2021数学九上册同步课堂帮帮帮（含解析）

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第24章 圆
24.4 弧长和扇形面积
1．弧长公式
半径为R，圆心角为n°的弧长为　 　.
2．扇形及扇形面积公式
（1）由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作_____________.
（2）半径为R，圆心角为n°的扇形面积为　 　；半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为　 　.【来源：21·世纪·教育·网】
3．圆锥与其侧面展开图
圆锥是由一个　 　面和一个　__???é???????????_，我们把连接圆锥　 　点和底面圆周上　 　一点的线段叫作圆锥的母线．圆锥的侧面展开图是一个　 　，这个扇形的半径等于圆锥的　 　，弧长等于圆锥底面圆的　 　.
4．圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长（底面圆的周长）为，因此圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为.
1．
2．（1）扇形 （2）
3．底 侧 顶 任意 扇形 母线长 周长
帮—重点 弧长公式、扇形及扇形面积公式
帮—难点 圆锥及其侧面积和全面积
帮—易错 对弧长公式及扇形面积公式中n的意义理解不充分致错
一、直接用弧长公式求扇形的弧长、半径或圆心角
利用弧长公式进行计算的三种题型
弧长公式涉及三个量，分别为弧长l，半径R，圆心角n.对于这三个量，可以借助弧长公式知二求一.
如图，的半径为3，是的弦，直径，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OC，利用垂径定理以及圆心角与圆周角的关系求出；再利用弧长公式即可求出的长.
【详解】
解：连接OC
（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）
∵直径
∴=（垂径定理）
∴
故选C
【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角与圆周角以及利用弧长公式求弧长，熟练掌握相关定理和公式是解答本题的关键.
二、扇形面积公式
（1））如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积为.
（2）半径为R，扇形的弧长为l的扇形面积为.
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=，以点B为圆心，AB为半径作弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是______________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据扇形的面积公式和三角形的面积公式即可求得阴影部分的面积．
【详解】
连接BE，
∵在中，，，；
∴，；
∵；
∴是等边三角形；
∴图中阴影部分面积是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，应用到勾股定理、直角三角形的性质等知识，掌握扇形面积计算公式为解题关键．
三、圆锥的侧面积和表面积
与圆锥的侧面积计算相关的问题，关键就是要把握圆锥的“母线”和“底面圆的周长”以及展开扇形的“半径”和“弧长”之间的对应关系.
如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为________ cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用π表示).
【答案】300π
【解析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
解：由图知，底面直径=30cm，母线长=20cm，则底面周长=30πcm，侧面面积=×30π×20=300πcm2．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
四、移动的点的轨迹长度
平面图形滚动问题的解题规律
（1）滚动前后图形的形状、大小不变，位置改变；
（2）图形滚动时不动的点是定点，移动的点是动点，滚动过程中动点经过的路线（轨迹）一般是一段圆弧，所形成的图形一般是扇形.www-2-1-cnjy-com
（3）解答平面图形滚动问题的关键是找到定点（所形成扇形的圆心）和动点，其中定点与动点之间的距离是所形成扇形的半径.
如图，一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上)（ ）cm.
A．16π B．π
C．π D．π
【答案】D
【解析】如图，∵一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置，∴∠CBC′=120°，BC=8 cm，弧的长为（cm），
故选D．
五、用割补法求图形的面积
用割补法求图形的面积
根据图形的特点，通过“割补”将不规则图形转化为规则图形是用割补法求图形面积的关键.
如图，等边三角形内接于，若的半径为2，则图中阴影部分的面积等于
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接OC，如图，
为等边三角形，
，，
∴图中阴影部分的面积
故选：C．
【名师点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了等边三角形的性质．21·世纪*教育网
六、用等积变形法求图形的面积
用等积变形法求图形的面积
根据两个图形的面积相等，把一个图_??????é???§?è?????_为另一个图形的面积以便于解题的方法就是等积变形法.对于三角形来说，等积的主要依据是“同底（等底）等高（同高）的三角形的面积相等”.
（2019·铜仁市）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G.21*cnjy*com
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积.
【答案】（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积为.
【解析】（1）连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）∵，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝.
【名师点睛】此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角.
七、混淆圆锥底面圆的半径和侧面展开扇形的半径致错
如图所示，扇形OAB的面积为4π cm2，∠AOB=90°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.求这个圆锥的底面圆的半径.【来源：21cnj*y.co*m】
【易错提示】圆锥侧面展开扇形的半径是圆锥的母线，与圆锥底面圆的半径不是同一条线段.常因将侧面展开扇形的半径当成圆锥的底面圆的半径致错.
【正解】设圆锥的底面圆的半径为r cm，扇形的半径为R cm，
则，解得（取正值）.
∴，解得，
即这个圆锥的底面圆的半径为1 cm.
一、单选题
1．如图，在⊙O中，∠OAB=45°，圆心O到弦AB的距离OE=2cm，则弦AB的长为（　　）
A．2 cm B．3 cm C．4 D．4 cm
【答案】D
【解析】
【分析】
首先由垂径定理可知: AE=BE, 然后再在Rt△AOE中,由等腰三角形的知识可求得AE=OE=2cm, 从而可求得弦AB的长.2-1-c-n-j-y
【详解】
解：在⊙O ，OE⊥AB,AE=EB,
在Rt△AOE中,∠OAB=45°
△AEO 是等腰三角形,
AE=OE=2cm.
AB=2AE=2x2=4cm.
故选D.
【点睛】本题主要考查垂经定理，后利用三角形的性质可求出答案.
2．如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAC=25°，则∠ADB的度数为（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆周角定理得到∠COB=, 根据平行线的性质得到∠C=∠COB=, 由等腰三角形的性质得到∠CAO=∠C=, 根据圆周角定理即可得到结论.
【详解】
解:∠BAC=,∠COB=,
AC//OB, ∠C=∠COB=,,
OC=OA, ∠CAO=∠C=,,
AOC=, ∠AOB=,
∠ADB=∠AOB=,
故选C.
【点睛】本题考查了圆周角定理, 平行线的性质, 等腰三角形的性质, 熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
3．如图，现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（? ??）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
【答案】A
【解析】
试题分析：本题的关键是利用弧长公式计算弧长，再利用底面周长=展开图的弧长可得．
解答：解：L=,
解R=2cm．
故选 A.
考点: 弧长的计算．
4．如图，AB为半圆O的直径，C为的中点，若AB=2，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用圆周角定理得到∠ACB=,则可判断△ACB为等腰直角三角形,接着判断△AOC和△BOC都是等腰直角三角形,于是得到,然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积.
【详解】
解:AB为直径,∠ACB=,
C为的中点, AC=BC,
AC=BC,
△ACB为等腰直角三角形,
OC⊥AB,
△AOC和△BOC都是等腰直角三角形,
,OA=1,
=,
所以C选项是正确的.
【点睛】本题主要考查扇形的计算公式，需灵活配合三角形的知识求解.
二、填空题
5．已知⊙O的半径为7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距高为8cm，则l1与l2的距离为____cm．
【答案】1或15
【解析】
【分析】
观察题目信息, 题目只说明了两条直线之间的位置关系, 没有说明两条直线在圆的同侧还是异侧，分两种情况讨论即可.
【详解】
解：当两条直线在圆的同侧时, 两条直线的距离为8 - 7 =1;
当两条直线在圆的异侧时, 两条直线的距离为8+7=15.
故两条直线之间的距离为1cm或15cm.
【点睛】本题考查圆与直线的位置关系, 需分同侧和异侧讨论.
6．如图，在三角形ACB中，，，，现将三角形ACB绕点A逆时针旋转50°得到三角形，则阴影部分的面积是________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】
由题意易得阴影部分的面积即为扇形的面积，然后根据扇形面积计算公式求解即可．
【详解】
解：将三角形ACB绕点A逆时针旋转50°得到三角形，
三角形ACB的面积和三角形的面积相等，
，，
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．
7．如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为_______．（结果保留）
【答案】4π．
【解析】
【分析】
根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，
∴∠OBA=72°．
∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm．
故答案是：4π．
【点睛】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．
8．一个扇形的半径为3cm，面积为，则此扇形的圆心角为 ．
【答案】40°．
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据扇形的面积计算公式可得：=π，
解得：n=40°，
即圆心角的度数为40°．
考点：扇形的面积计算．
三、解答题
9．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心逆时针旋转90°，画出旋转后对应的△A1B1C；
（2）图中△ABC外接圆的圆心的坐标是　 　，△ABC外接圆的面积是　 　平方单位长度．
【答案】（1）详见解析；（2）（﹣，3）；π．
【解析】
【分析】
（1）根据旋_è?????????????????_作出点A，B，C旋转后的对应点，再顺次连接即可得；
（2）根据中点坐标公式得到△ABC外接圆的圆心的坐标，然后根据圆的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C即为所求；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC外接圆的圆心即为AB的中点，
∵A（﹣3，2），B（0，4），
∴△ABC外接圆的圆心的坐标是（，3）；
∵AB＝，
∴△ABC外接圆的半径＝，
∴△ABC外接圆的面积＝（）2π＝π平方单位长度，
故答案为（，3）；π．
【点睛】本题主要考查作图-旋转变换、平移变换，解题的关键是根据旋转变换和平移变换的定义作出变换后的对应点．
10．在附中中心花园的草坪上,_?????????è????¨???_转喷泉水装置,它的喷灌区域是一个扇形,小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积,他测量岀了相关数据,并画出了示意图.如图,这种旋转喷水装置的旋转角度为240°,喷灌起终点A,B两点的距离为12米,求这种装置能够喷灌的草坪面积.
【答案】32
【解析】
【分析】
求得OA的长后用扇形的计算公式计算即可.
【详解】
过点O作OC⊥AB于C点.
∵OC⊥AB,AB=12,
∴AC=AB=6.
∵OA=OB,∠AOB=360°-240°=120°,
∴∠AOC=∠AOB=60°
在Rt△OAC中,OA2=OC2+AC2,
又∵OC=OA,
∴r=OA=4，
∴S==32(m2).
【点睛】本题主要考查扇形的计算公式.
一、单选题
1．如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=40°，阴影部分的面积为8π，则此扇形的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆周角定理可求出∠AOB的度数，设扇形半径为x，从而列出关于x的方程，即可求解．
【详解】
由题意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，
设扇形半径为r，故阴影部分的面积为，
故解得：，（不合题意，舍去），
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及扇形的面积求解，解本题的要点在于根据题意列出关于x的方程．
2．如图，在扇形_AOB?????????_AOB=90°，OA=4，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧点D、E，则阴影部分的面积为（　　）21cnjy.com
A．π﹣2 B．π+2 C．2﹣π D． +π
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OE.可得=BOE-BCD-S△OCE.根据已知
条件易求得BC=OC=CD=2,BO=OE=4.∠BOE=,CE=,所以由扇形面积公式、 三角形面积公式进行解答即可.21*cnjy*com
【详解】
解：连接OE，可得=BOE-BCD-S△OCE，
由已知条件可得，BC=OC=CD=2，又,BO=OE=4，
∠BOE=，可得CE=，
BOE=，
BCD，
S△OCE=，
=BOE-BCD-S△OCE==，
故选A.
【点睛】本题主要考查扇形面积公式、 三角形面积公式，牢记公式并灵活运用可求得答案.
3．如图，⊙O是边长为1的正方形ABCD的外接圆，P为弧AD上的不同于A、D的任意一点，则PA2+PB2+PC2+PD2的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
连接AC、 BD,先由正方形的性质得出∠ADC=∠BCD=,再根据90度的圆周角所对的弦是直径得出AC与BD是直径,由直径所对的圆周角是直角得出∠APC=∠BPD=,然后根据勾股定理得出,,从而求出结果.
【详解】
解:
如图，连接AC,BD.ABCD是正方形,
∠ADC=∠BCD=,
AC与BD是直径,
∠APC=∠BPD=,
,,
又正方形ABCD的边长为1,
AC=BD=,
.
所以B选项是正确的.
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆,勾股定理,圆周角定理,综合性较强,难度中等.根据圆周角定理得∠APC=∠BPD=是解题的关键.
二、填空题
4．如图，在Rt_???AOB??????_∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分別以O、E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是__．
【答案】．
【解析】
【分析】
作DH⊥AE_???H,_??????_勾股定理求出AB, 根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积，利用扇形面积公式计算即可.
【详解】
解：如图
作DH⊥AE于H,
AOB=, OA=2, OB=1,AB=，
由旋转的性质可知
OE=OB=1,DE=EF=AB=,
可得△DHE≌△BOA,
DH=OB=1,
阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积
＝＝，
故答案：．
【点睛】本题主要考查扇形的计算公式，正确表示出阴影部分的面积是计算的关键．
5．如图，正△A_BO???è??é?????_2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为______．
【答案】（+896）π．
【解析】
【分析】
由圆弧的弧长公式及正△ABO翻滚的周期性可得出答案．
【详解】
解：如图
作⊥x轴于E, 易知OE=5, ,,
观察图象可知3三次一个循环,一个循环点M的运动路径为=
=,
翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为,
故答案：
【点睛】本题主要考查圆弧的弧长公式及三角形翻滚的周期性，熟悉并灵活运用各知识是解题的关键．
6．已知圆锥的高为3，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为_____．
【答案】20π
【解析】
【分析】
利用勾股定理可求得圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面积公式进行计算即可.
【详解】
底面直径为8，底面半径=4，底面周长=8π，
由勾股定理得，母线长==5，
故圆锥的侧面积=×8π×5=20π，
故答案为：20π．
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算方法．解题的关键是熟记圆锥的侧面展开扇形的面积计算方法．
三、解答题
7．如图，以△ABC的BC边上_??????O?????????_的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．www.21-cn-jy.com
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径；
（3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）
【答案】（1）证明见解析；（2）6；（3）.
【解析】
【分析】
(1)连接OA、OD,如图,利用垂径定理的推论得到OD⊥BE,再利用CA=CF得到
∠CAF= ∠CFA,然后利用角度的代换可证明∠OAD+∠CAF=,则OA⊥AC,从而根据
切线的判定定理得到结论;
(2)设⊙0的半径为r,则OF=8-r,在Rt△ODF中利用勾股定理得到
,然后解方程即可;
(3)先证明△BOD为等腰直角三角形得到OB=,则OA=,再利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=,则∠AOE=,接着在Rt△OAC中计算出AC,然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积.
【详解】
（1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠ODF+∠OFD=90°，
∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
而∠CFA=∠OFD，
∴∠ODF+∠CAF=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=8﹣r，
在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2=（）2，解得r1=6，r2=2（舍去），
即⊙O的半径为6；
（3）解：∵∠BOD=90°，OB=OD，
∴△BOD为等腰直角三角形，
∴OB=BD=，
∴OA=，
∵∠AOB=2∠ADB=120°，
∴∠AOE=60°，
在Rt△OAC中，AC=OA=，
∴阴影部分的面积=??﹣=．
【点睛】本题主要考查圆、圆的切线及与圆相关的不规则阴影的面积，需综合运用各知识求解.
8．如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与△ABC 的外接圆⊙O 交于点 D．
（1）求证：DB=DC；
（2）若∠CAB=30°，BC=4，求劣弧 CD 的长度．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由DA平分∠EAC可得∠EAD=∠DAC，可证的∠EAD=∠DCB，∠DCB=∠DBC
可得DC=BC；
(2) 可证△_COB??????è??_三角形，可得OC=BC=4，∠DBC=∠DCB，∠DCB=∠DBC=75°可得∠DOC的度数，可得劣弧 CD 的长度.
【详解】
（1）∵DA平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC
∵∠EAD+∠DAB=180°
∠DAB+∠DCB=180°
∴∠EAD=∠DCB
又∵∠DAC=∠DBC
∠DCB=∠DBC
∴DC=BC
（2）∠CDB=∠CAB=30°
∠COB=2∠CDB=60°
∴△COB为等边三角形
∴OC=BC=4
∵DC=DB
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠DBC+∠DCB+∠CDB=180°
∴∠DCB=∠DBC=75°
∴∠DOC=2∠DBC=150°
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，及圆弧的计算公式.
9．如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆半径．
【答案】
【解析】
【分析】
连接BC、OB，作OH⊥BC于H，如图，利用等边三角形的性质计算出BC＝2BH，则AB，设圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长得到2πr，然后解关于r的方程即可．
【详解】
连接BC、OB，作OH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠OBH＝30°，∴OHOB，∴BHOH．
∵OH⊥BC，∴BC＝2BH，∴AB．
设圆锥的底面圆半径为r，根据题意得：2πr，解得：r．
答：圆锥的底面圆半径为．
【点睛】本题考查_??????é?????è?????_：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等边三角形的性质．
10．如图，AE是半圆O的直径，弦AB＝BC＝，弦CD＝DE＝2，连接OB、OD，求图中阴影部分的面积和．
【答案】
【解析】
试题分析:根据弦AB_=BC??????C_D=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．
试题解析:∵弦AB=BC，弦CD=DE，
∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，
∴∠BOD=90°，
过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G．
则BF=FC=，CG=GD=1，∠FOG=45°，
在四边形OFCG中，∠FCD=135°，
过点C作CN∥OF，交OG于点N，
则∠FCN=90°，∠NCG=135°-90°=45°，
∴△CNG为等腰三角形，
∴CG=NG=1，
过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=，
在等腰三角形MNO中，NO=MN=2，
∴OG=ON+NG=3，
在Rt△OGD中，OD=，
即圆O的半径为，
故S阴影=S扇形OBD=．
【点睛】本题考查了_?????????é???§?è??_算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．21·cn·jy·com
一、单选题
1．（2019·四川凉山·中考真题）如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积
故选B．
【点睛】考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．21教育网
2．（2019·西藏中考真题）如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（　　）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到．
【详解】
过作于，
，
，
，
弧的长，
设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．
故选A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【出处：21教育名师】
3．（2012·广东湛江·中考真题）一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（ ）
A．6cm B．12cm C．2cm D．cm
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
解：因为扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2π，
所以根据弧长公式，得，解得．
故选：A．
【点睛】本题考查扇形的弧长公式．
4．（2018·广西玉林·中考真题）圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（　　）
A．90° B．120° C．150° D．180°
【答案】D
【解析】
【分析】由圆锥的主视图为等边三角形知圆锥的底面圆直径为4、侧面展开图扇形的半径为4，据此利用弧长公式求解可得．21教育名师原创作品
【详解】∵圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，
∴圆锥的母线长为4、底面圆的直径为4，
则圆锥的侧面展开图扇形的半径为4，
设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是n，
根据题意，得：=4π，
解得：n=180°，
故选D．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆_é???????????è?????_．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．熟练掌握这两个关系是解题的关键．
5．（2018·山东滨州·中考真题）已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆．若∠ABC＝25°，则劣弧的长为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：根据圆周角定理和弧长公式解答即可．
详解：如图：连接AO，CO，
∵∠ABC=25°，
∴∠AOC=50°，
∴劣弧的长=，
故选C．
点睛：此题考查三角形的外接圆与外心，关键是根据圆周角定理和弧长公式解答．
6．（2015·江_è?????????·???è??_真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题解析：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3+=，
故选B．
考点：1.切线的性质；3.矩形的性质．
7．（2016·湖北十堰·中_è?????é???????????_，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（　　）
A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到_OE???é????????_利用弧长公式计算出弧CD的长；设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可求出r；接下来根据圆锥的母线长、底面圆的半径以及圆锥的高构成直角三角形，利用勾股定理可计算出圆锥的高.
【详解】
过O作OE⊥AB于E，如图所示.
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE=?OA=30cm，
∴弧CD的长==20π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，
解得r=10，
∴由勾股定理可得圆锥的高为：cm.
故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理_??????????????§é??_公式，圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
8．（2011·安徽中考真题）如_??????è??è??è?????_链条每节长为2.5 cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为0.8 cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为(　 　)
A．150cm B．104.5cm C．102.8cm D．102cm
【答案】C
【解析】
分析：根据已知可得两节链条的_é???????????2._5×2-0.8，3节链条的长度为：2.5×3-0.8×2，以及60节链条的长度为：2.5×60-0.8×59，得出答案即可．
解答：解：∵根据图形可得出：
两节链条的长度为：2.5×2-0.8，
3节链条的长度为：2.5×3-0.8×2，
4节链条的长度为：2.5×4-0.8×3，
∴60节链条的长度为：2.5×60-0.8×59=102.8，
故选C．
二、解答题
9．（2017·江苏扬州_?·???è?????é?????_如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A、B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF=OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
【答案】（1）DE是⊙O的切线；（2）①证明见解析；②4π+12+．
【解析】
【分析】
（1）结论：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；
（2）①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题；
②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．
【详解】
解：（1）结论：DE是⊙O的切线．
理由：∵四边形OABC是平行四边形，又∵OA=OC，∴四边形OABC是菱形，
∴OA=OB=AB=OC=BC，∴△ABO，△BCO都是等边三角形，∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，
∵OB=OF，∴OG⊥BF，
∵AF是直径，CD⊥AD，∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°，∴四边形BDCG是矩形，
∴∠OCD=90°，∴DE是⊙O的切线；
（2）①由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，∴△OCF是等边三角形，∴CF=OC；
②在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，
∴OE=2OC=24，EC=，
∵OF=12，∴EF=12，∴的长= =4π，
∴阴影部分的周长为4π+12+．
10．（2018·_è???·?è??é???·???_考真题）如图，AB为⊙O的直径，且AB=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．
（1）求∠OMP的度数；
（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．
【答案】（1）∠PMO=135°；（2）内心M所经过的路径长为2πcm．
【解析】
【分析】（1）先判断出∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，再用三角形的内角和定理即可得出结论；
（2）分两种情况，当点M在_??????BOC???_扇形AOC内，先求出∠CMO=135°，进而判断出点M的轨迹，再求出∠OO'C=90°，最后用弧长公式即可得出结论．【版权所有：21教育】
【详解】（1）∵△OPE的内心为M，
∴∠MOP=∠MOC，∠MPO=∠MPE，
∴∠PMO=180°﹣∠MPO﹣∠MOP=180°﹣（∠EOP+∠OPE），
∵PE⊥OC，即∠PEO=90°，
∴∠PMO=180°﹣（∠EOP+∠OPE）=180°﹣（180°﹣90°）=135°；
（2）如图，∵OP=OC，OM=OM，
而∠MOP=∠MOC，
∴△OPM≌△OCM，
∴∠CMO=∠PMO=135°，
所以点M在以OC为弦，并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上（和）；
点M在扇形BOC内时，
过C、M、O三点作⊙O′，连O′C，O′O，
在优弧CO取点D，连DA，DO，
∵∠CMO=135°，
∴∠CDO=180°﹣135°=45°，
∴∠CO′O=90°，而OA=4cm，
∴O′O=OC=×4=2，
∴弧OMC的长==π（cm），
同理：点M在扇形AOC内时，同①的方法得，弧ONC的长为πcm，
所以内心M所经过的路径长为2×π=2πcm．
【点睛】本题考_????????§é?????è??_算公式、三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点I的运动轨迹．
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