专题25.2 用列举法求概率-2020-2021数学九上册同步课堂帮帮帮（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
1．用列举法求概率
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率.21·cn·jy·com
事件的概率=．
2．用列表法求概率
当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
3．用树状图法求概率
当一次试验涉及三个或更多因素时，列表法就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法．www.21-cn-jy.com
帮—重点 能够运用列举法（包括列表法、画树状图法）求事件的概率
帮—难点 列表法、画树状图法求事件的概率
帮—易错 考虑问题不全面；不能准确区分放回试验与不放回试验对事件发生概率的影响
一、用列举法求概率
（1）常用的列举法：①直接列举法（枚举法）；②列表法；③树状图法．
（2）用列举法求某事件的概率时，各种结果出现的可能性必须相等．
（3）直接列举法求概率的适用条件是事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少．
有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，4，5，7，9，随机抽取3张，用抽到的三个数字作为边长，恰能构成三角形的概率是【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】抽取_??????è??é????????_的基本事件为：（2，4，5），（2，4，7），（2，4，9），（2，5，7），（2，5，9），（2，7，9），（4，5，7），（4，5，9），（4，7，9），（5，7，9）共10个；
设事件B=“抽取的三张卡片上的数字作为边长能构成三角形“，
则事件B包含的基本事件有：（2，4，5），（4，5，7），（4，7，9），（5，7，9）共4个，
故P（A）==，故选A．
【名师点睛】列举时要注意分类处理，保证结果不重复不遗漏．
二、用列表法求概率
（1）“涉及两个因素”包括两种情况：①同时进行两种相同的操作；②先后进行两次相同的操作，即两步试验．
（2）列表的方法：选一次操作（或一个条件）为横行，另一次操作（或另一个条件）为竖行．
（3）如果第一个因素有a种可能的结果，第二个因素有b种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果数有ab种．
如图所示，分别用两个质地均_??????è?????è?????_一个数，①号转盘表示数字2的扇形对应的圆心角为120°，②号转盘表示数字3的扇形对应的圆心角也是120°，则转得的两个数之积为偶数的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】列表如下
1 2 5
3 3 6 15
4 4 8 20
6 6 12 30
由表知，共有9种等可能结果，其中转得的两个数之积为偶数的有7种结果，
所以转得的两个数之积为偶数的概率为，故选C．
【名师点睛】（1）用列举法列举事件发生的所有可能的结果时，注意各种结果出现的可能性必须相等．
（2）用列举法不适合求三步及三步以上试验的概率．
三、用树状图法求概率
（1）“涉及三个或更多因素”包括两种情况：①同时进行三种或更多种相同的操作；②先后进行三次或更多次相同的操作，即三步或更多步试验．
（2）如果各因素分别有a，b，c…种可能的结果，那么这个试验所有可能的结果有a×b×c×…种．
母亲节时，小南和小开为各自的母亲买一束鲜花，现有三种不同类型的鲜花可供选择：康乃馨、百合和玫瑰，两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将康乃馨、百合和玫瑰分别记为A、B、C，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择到同种类型鲜花的有3种结果，
∴两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为=，故选A．
【名师点睛】本题考_???????????¨???è?¨_法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
一、单选题
1．在a2□4a□4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：先利用树状图展示所有4种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占2种，然后根据概率的概念计算即可．
解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占2种，
所以可以构成完全平方式的概率=．
故选A．
考点：列表法与树状图法；完全平方式．
2．从下列算式：①；②26÷23＝4；③ －12018＝1；④ （－）2＝3；⑤a＋a＝a2中随机抽取一个，运算结果正确的概率是（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式、整数指数幂以及随机事件的概率的定义进行求解即可.
【详解】
①由算术平方根的概念得, =3,故①项错误;
②由“同底数幂相除, 底数不变, 指数相减”得, 26÷23=26-3=23=8,故②项错误;
③由整数指数幂的性质得: －12018=-1, 故③项错误;
④由整数指数幂的性质得, （－）2＝3,故④项正确;
⑤合并同类项得, a+a=2a,故⑤项错误,
综上所述,5个运算结果中正确的共有1个,
故运算结果正确的概率P=,
故本题正确答案为A.
【点睛】本题主要考查二次根式的概念、整数指数幂以及随机事件的概率.
3．将三粒均匀的分别标有，，，，，的正六面体骰子同时掷出，朝上一面上的数字分别为，，，则，，正好是直角三角形三边长的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
三粒均匀的正六面体骰子同时掷出_??±?????°216_种情况,而边长能构成直角三角形的数字为3、4、5,含这三个数字的情况有6种,故由概率公式计算即可.
【详解】
解:因为将三粒均匀的分别标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子同时掷出,按出现数字的不同共=216种情况,其中数字分别为3,4,5,是直角三角形三边长时,有6种情况,所以其概率为,
故选C.
【点睛】本题考查的是概率的求法.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.边长为3,4,5的三角形组成直角三角形.
二、填空题
4．如果在五张完全相_????????????è?????_分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先从平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形找出既是轴对称图形又是中心对称图形的图形，然后根据概率公式求解即可.
【详解】
∵五张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，
∴现从中任意抽取一张，卡片上所写的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质及概率的计算方法，熟练掌握图形的性质及概率公式是解答本题的关键. 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
用列表法与树状图法求解即可.
【详解】
解:用列表法列举出总共4种情况，分别为：正正、正反、反正、反反，
其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况为：正反、反正
所以概率是，
故答案是.
【点睛】本题考查了求随机事件的概率, 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 得到所求的情况数是解决本题的关键.
6．小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了两次，你认为两次都是正面朝上的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果与两次都是正面朝上的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】
用树状图表示，共有4种可能出现的情况，其中两次都是正面朝上的有1种，所以两次都是正面朝上的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查了列_è?¨???????????????_法求概率，注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
7．如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数．
?? （1）同时抛掷两个这样的四面体，它们着地一面的数字相同的概率是多少？
?? （2）现在有一_?????¨??°????????±_会的门票，小敏和小亮用抛掷这两个四面体的方式来决定?谁获得门票，规则是：同时抛掷这两个四面体，如果着地一面的数字之积为奇数小敏胜；如果着地一面的数字之积为偶数小亮胜（胜方获得门票），如果是你，???你愿意充当小敏还是小亮，说明理由．
【答案】（1）；（2）小亮获得门票的机会大，愿意充当小亮．
【解析】
【分析】
(1)先画树状图展示所有16种等可能的结果数,再找着地一面的数字相同的结果数,然后根据概率公式计算;21世纪教育网版权所有
(2)分别计算小敏胜的概率和小亮胜的概率,然后根据他们的概率大小进行判断.
【详解】
解：（1）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中着地一面的数字相同的占4种，
所以着地一面的数字相同的概率==；
（2）充当小亮到．理由如下：
共有16种等可能的结果数，着地一面的数字之积为奇数有4种，着地一面的数字之积为偶数有12种，
所以小敏胜的概率==；小亮胜的概率==，
所以小亮获得门票的机会大，愿意充当小亮．
【点睛】本题复习简单事件的概率计算，事件的出现次数可以用画树状图法求出，也可以用列表法求出，注意要不重不漏.
8．一只不透明的布袋中装有 2 个红球、1 个黄球、1 个蓝球，这些球除了颜色外都相 同．
（1）搅匀后从中任意摸出 1 个球，则摸到黄球的概率为 ．
（2）搅匀后从中任意摸出 2 个球（先摸出 1 个球，且这个球不放回，再摸出 1 个球），求 至少有一个红球的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)直接利用概率公式求解;
(2) 先利用画树状图展示所有12种等可能的结果数, 再找出至少有一个红球的结果数, 然后根据概率公式求解.
【详解】
（1）
（2）第一次 第二次
共12种情况，符合的有10种，所以.
【点睛】本题主要考查概率公式及列表法与树状图法求概率.
9．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线上的概率．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】
(1)画出树状图即可得解;
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上y=上的情况数,然后根据概率
式列式计算即可得解.
【详解】
（1）根据题意画出树状图如下：
（2）当x＝﹣1时，y＝＝﹣2；当x＝1时，y＝＝2；当x＝2时，y＝＝1，∴一共有9种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线y＝上有2种情况：（1，2），（2，1），∴点（x，y）落在双曲线y＝ 上的概率为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、反比例函数图象上点的坐标特征,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
10．“切实减_è????????è?????è??_担”是我市作业改革的一项重要举措．某中学为了解本校学生平均每天的课外作业时间，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A、B、C、D四个等级，A：1小时以内；B：1小时--1.5小时；C：1.5小时--2小时；D：2小时以上．根据调查结果绘制了如图所示的两种不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

（1）该校共调查了多少名学生？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在此次调查问_??·???????????????_两班各有2人平均每天课外作业量都是2小时以上，从这4人中人选2人去参加座谈，用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．
【答案】（1）该校共调查了200名学生；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据B类的人数和所占的百分比即可求出总数．
（2）求出C的人数从而补全统计图．
（3）先设甲班学生为为，乙班学生为，根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．
【详解】
解：（1）共调查的中学生人数是：（人），
答：该校共调查了200名学生；
（2）C类的人数是：（人），补图如下：
（3）设甲班学生为，乙班学生为，树状图如下：
一共有12种等可能结果，其中2人来自不同班级共有8种，
∴P（2人来自不同班级）．
【点睛】（1）由图得到B类学生的人数和百分比是解答本题的关键．
（2）根据题中所给信息求出C班的人数从而将图补全．
（3）掌握树形图的画法及概率公式是解答本题的关键．
一、单选题
1．岐山县各学校开展了第_???è?????????????¨_,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先画树状图（国学诗词组、篮球足球_??????é??è??è??è??_组分别用A、B、C表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】
画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B.?C表示)
共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3，
所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=，
故选B.
【点睛】本题考查_????????¨???è?¨???_或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
2．抽屉中有把外观一模一样的钥匙，其中两把分别是小丁和小冬房门的钥匙．小丁先取一把，再让小冬取一把，正好两人取出的钥匙可以打开自己房门的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先分别用A、B、C表_?¤??°????????°????_以及其他房门的钥匙，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与正好两人取出的钥匙可以打开自己房门的情况，利用概率公式即可求得答案．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：分别用A、B、C表示小丁、小冬以及其他房门的钥匙，画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，正好两人取出的钥匙可以打开自己房门的有1种情况，∴正好两人取出的钥匙可以打开自己房门的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．如图，“石_?¤????????????????_”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P=____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与双方出现相同手势的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况，
∴双方出现相同手势的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法_????????????????±?_概率的知识．比较简单，注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
4．一个口袋中装有_3????????¨??????_的小球，它们分别标有数字1,2,3,从口袋中随机摸出一个小球记下数字后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的数字和为偶数的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出小球的数字和为偶数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出小球的数字和为偶数的有5种情况，∴两次摸出小球的数字和为偶数的概率是：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的2个红球与2个白球，随机摸出两个球，恰好摸到两个红球的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
列举出所有情况，让摸出两个球均为红球的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
画树形图得：
∵从中随机摸出两个球，摸到的两个球颜色的不同组合为12种，恰好摸到两个红球的结果数为2种，∴P（恰好摸到两个红球）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列_è?¨???????????????_法求随机事件的概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．还要注意题目是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
6．为了掌握我市中考模拟数学考_è????·??????é??è?¨_量与难度系数，调研老师在我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）本次调查共随机抽取了该年级___________名学生，考试成绩120分以上（含120分）学生有_________名；
（2）规定：成绩位于前5%的可获得小礼品一份，在被调查的学生中，某位学生成绩为134分，试判断他是否能获奖，说明理由；
（3）如果第一组中只有一名是女生，第五组中只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想…，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）50，18；（2）不能；（3）见详解的树状图，
【解析】
【分析】
（1）用第三组的频数除以它的频率即可得到调查的总人数，然后计算出第五组的频数，再求出符合要求的频数和；
（2）先求出135分以上学生站的分数，再比较，看134分是否在其范围内；
（3）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1），
所以本次调查共随机抽取了该年级50名学生，
第五组的学生数为，
考试成绩120分以上（含120分）学生有：14+4=18
频数分布直方图补充为：
（2）不能获奖，理由是：
∵(135,150)这组人数占8%，8%＞5%
∴获奖成绩应在135分以上
∴成绩为134分的学生不能获奖
（3）画树状图为：
由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的结果数为10，
所以所选两名学生刚好是一名女生和一名男生的概率
【点睛】本题考查了树状图法求概率、频率直方图和扇形统计图．利用树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式求事件的概率；仔细观察频率直方图和扇形统计图来发现题中信息 ，是解题的关键．21*cnjy*com
7．某区为了了解该区常_é??????°????è·????_、篮球、足球、羽毛球、舞蹈等体育项目的喜爱情况，在该区范围内随机抽取了若干名常驻市民，对他们喜爱以上的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将数据进行统计并绘制成了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图（均不完整）
（1）在这次_é????·è°??????????_一共抽查　 　名常驻市民，篮球项目所占圆心角的度数是　 　；估计该区1200万常驻市民中有　 　人喜爱足球运动、有　 　人喜欢跑步；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若这次问卷_è°?????????????è·?_步的人员中有1名男士，喜欢舞蹈的人员中有2名女士，现从喜欢跑步和喜欢舞蹈的人员中随机选取两名作区代表参加重庆市的竞技比赛，用列表法或树状图求所选的两名恰好是一位喜欢跑步的男士和一位喜欢舞蹈的女士的概率．
【答案】（1）50，144°，480万，48万；（2）见解析；（3），见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据喜欢羽_??????????????°???_它所占的百分比可计算出所抽查的人数；用360°乘以篮球项目所占的百分比即可得到篮球项目所占圆心角的度数；用1200万乘以喜爱足球运动
所占的百分比即可估计全市喜爱足球运动的人数；用1200万乘以喜爱跑步所占的百分比即可估计全市喜爱跑步的人数；
（2）补全频数分布直方图；
（3）利用列表法展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好是一位喜欢跑步的男士和一位喜欢舞蹈的女士所占结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】
（1）样本容量＝5÷10%＝50；
篮球项目所占圆心角的度数＝360°×＝144°；
1200×＝480（万）；1200×＝48（万）；
即估计该区1200万常驻市民中有480万人喜爱足球运动、有48万人喜欢跑步；
（2）如图；
（3）用A表示喜欢跑步的男士，用B表示喜欢跑步的女士，用a表示喜欢舞蹈的男士，用b表示喜欢舞蹈的女士，21·世纪*教育网
列表如下：
A B a b b
A
BA aA bA bA
B AB
aB bB bB
a Aa Ba
ba ba
b Ab Bb ab
bb
b Ab Bb ab bb
共有20种等可能的结果数，其中恰好是一位喜欢跑步的男士和一位喜欢舞蹈的女士有4种可能，所以两名恰好是一位喜欢跑步的男士和一位喜欢舞蹈的女士的概率＝
【点睛】本题考查了列表法与树状_?????????é??è?????_表法或树状图法所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．
8．小明和小亮计划暑期结伴参_?????????è???????¨_．小明想参加敬老服务活动，小亮想参加文明礼仪宣传活动．他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是：在三张完全相同的卡片上分别标记4、5、6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】这个游戏不公平.理由见解析.
【解析】
【分析】
首先根据题意列表，然后根据表求得所有等可能的结果与和为奇数、偶数的情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】
不公平，
列表如下：
4 5 6
4 8 9 10
5 9 10 11
6 10 11 12
由表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果，
所以按照小明的想法参加敬老服务活动的概率为，按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动的概率为，
由≠知这个游戏不公平.
【点睛】此题考查了列表法求概率．注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2·1·c·n·j·y
9．一个不透明的口袋中装有个分别标有数字，，，的小球，它们的形状、大小完全相同．小红先从口袋中随机摸出一个小球记下数字为；小颖在剩下的个小球中随机摸出一个小球记下数字为．
（1）请用列表法或画树状图的方法表示出由，确定的点所有可能的结果；
（2）小红摸出标有数字的小球的概率是多少？
（3）若规定：点在第一象限或第三象限小红获胜；点在第二象限或第四象限则小颖获胜．请问这个游戏公平吗？
【答案】（1）共有12种结果；（2）；（3）这个游戏不公平
【解析】
【分析】
(1) 根据列表法可以将所有结果一一列举出来,一共有12种情况.
(2) 口袋中四个小球形状、大小相同, 随机抽取一个小球有四种情况, 只有标有3的小球满足题意,所以小红摸出标有数字3的小球的概率是.
(3) 根据表格可知一共有12种情况, 其中有4种情况小红获胜, 有8种情况小颖获胜,即可分别求得两人获胜的概率,可判断公平性.
【详解】
.解：（1）由题可列出的表格如表所示.
共有12种结果;
（2）小红摸出标有数字的小球的概率P==;
（3）由表可知一共12个点，有4个点落在一、三象限，有8个点落在二、四象限，
故小红获胜的概率 ；
小颖获胜的概率 ；

这个游戏不公平.
答：这个游戏不公平
【点睛】本题主要考查随机事件的概率和求随机事件概率的方法.
10．“新型冠状病毒”的爆发，疫情就是命令，防控就是使命．全国各地驰援武汉的医护工作者，践行医者仁心的使命与担当舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情的钢铁长城．如图是月日当天全国部分省市支援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）．
请解答下列问题：
（1）上述省市月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为______人；请将图①条形统计图补充完整；
（2）①图②扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角度数为_______；
②上述省市支援医护工作者的人数的中位数是_______；
（3）本次山西驰援武汉的医护工作者中，有人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的人中随机安排人，请用树状图法或列表法求同时安排王医生和李医生的概率．
【答案】（1）5000人，见解析；（2）①21.6°，②350；（3）树状图见解析，
【解析】
【分析】
（1）①根据辽宁的人数和所占的百分比求出2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数；
②先求出江苏、浙江和山东_??????????????????_，再用整体1减去各省份所占的百分比，求出山西所占的百分比，再用总人数乘以山西所占的百分比即可补全统计图；
（2）①用山西所占的百分比乘以360°即可得出答案；
②中位数为第五位省份的人数；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和同时安排王医生和李医生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
（1）①月日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为（人），
②江苏所占的百分比是：；
浙江所占的百分比是：；
山东所占的百分比是：；
则山西所占的百分比是：，
山西的人数是（人），
补图如下：
故答案为5000人，见上图；
（2）①“山西”所对应扇形的圆心角的度数是；
②排名第五位的省份是上海市，共有（人）
故答案为 ①21.6°，②350；
（3）这名医护工作者分别用，，，，表示，其中王医生用表示，李医生用表示，根据题意画图如下：
共有种等情况数，其中同时安排王医生和李医生的有种，
则同时安排王医生和李医生的概率是
故答案为：树状图见上图，；
【点睛】本题考查了统计与概率，_???è?¨????????????_图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率，也考查了统计图．21教育名师原创作品
一、单选题
1．（2019·贵州黔东南_?·???è?????é?????_在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系：①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为(　 　)
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据菱形的判定，要证平行四边形ABCD是菱形，可证一组邻边相等或对角线互相垂直即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①AB=BC，四边形ABCD是菱形；
②AC=BD，四边形ABCD是矩形；
③AC⊥BD，四边形ABCD是菱形；
④AB⊥BC，四边形ABCD是矩形．
只有①③可判定，所以可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为＝ ．
故选：B．
【点睛】菱形的_??¤????????????è??_明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．（2018·江苏连云港·中考真题）如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
详解：∵共6个数，大于3的有3个，
∴P（大于3）=.
故选D．
点睛：本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
3．（2018·广西玉林·中考真题）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（　　）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
【答案】D
【解析】
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在0.33左右，进而得出答案．
【详解】A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项错误；
B、掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上为，不符合这一结果，故此选项错误；
C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；
D、从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为：，符合这一结果，故此选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
4．（2018·江_è??????·??·???è??_真题）有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．21教育网
【详解】
根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=.
故其概率为：．
【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．（201_8?·???è????¤???_和浩特·中考真题）已知函数y=（2k﹣1）x+4（k为常数），若从﹣3≤k≤3中任取k值，则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用一次函数增减性结合k的取值范围进而得出答案．
【详解】当2k﹣1＞0时，
解得：k＞，则＜k≤3时，y随x增加而增加，
故﹣3≤k＜时，y随x增加而减小，
则得到的函数是具有性质“y随x增加而增加”的一次函数的概率为：，
故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式以及一次函数的性质，熟练掌握概率的计算方法以及一次函数的性质是解题的关键.
6．（2018·湖南益阳_?·???è?????é?????_2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江A地到资阳B地有两条路线可走，从资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是_____．
【答案】．
【解析】
【分析】
由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，根据概率公式计算即可．
【详解】
解：由题意可知一共有6种可能，经过西流湾大桥的路线有2种可能，
所以恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率=．
故答案为．
【点睛】本题考查的是用列表法或画_?????????????±????_率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
7．（2018·_?±?è??è?????????·_中考真题）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，赢得三局及以上的队获胜．假如甲，乙两队每局获胜的机会相同．
（1）若前四局双方战成2：2，那么甲队最终获胜的概率是__________；
（2）现甲队在前两局比赛中已取得2：0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析：（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲至少胜一局的结果数，然后根据概率公式求．
详解：（1）甲队最终获胜的概率是；
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲至少胜一局的结果数为7，
所以甲队最终获胜的概率=．
点睛：本题考查了列表_??????????????????_：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8．（2018·广西百色·中考_???é???????????é??_有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2，…9．小黄同学是9月份中旬出生，用生日“月份+日期”设置密码：9××
小张同学要破解其密码：
（1）第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是　 　．
（2）请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被3整除的概率；
（3）小张同学是6月份出生，根据（1）（2）的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所有可能个数．
【答案】（1）1或2（2） （3）30种
【解析】
【分析】
（1）根据每个月分为上旬、中旬、下旬，分别是：上旬：1日﹣10日 中旬：11日﹣20日 下旬：21日到月底，由此即可解决问题；2-1-c-n-j-y
（2）利用列举法即可解决问题；
（3）小张同学是6月份_?????????6??????_只有30天，推出第一个转轮设置的数字是6，第三个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第二个转轮设置的数字可能，0，1，2，…9；由此即可解决问题；
【详解】
解：（1）∵小黄同学是9月份中旬出生，∴第一个转轮设置的数字是9，第二个转轮设置的数字可能是1，2．
故答案为1或2；
（2）所有可能的密码是：911，912，913，914，915，916，917，918，919，920；
能被3整除的有912，915，918；
密码数能被3整除的概率．
（3）小张同学是6_???????????????6_月份只有30天，∴第一个转轮设置的数字是6，第二个转轮设置的数字可能是0，1，2，3；第三个转轮设置的数字可能，0，1，2，…9（第二个转轮设置的数字是0时，第三个转轮的数字不能是0；第二个转轮设置的数字是3时，第三个转轮的数字只能是0），∴一共有9+10+10+1=30，∴小张生日设置的密码的所有可能个数为30种．
【点睛】本题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（2018_?·??????é???·??·_中考真题）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：【版权所有：21教育】
血型 A B AB O
人数 　 　 10 5 　 　
（1）这次随机抽取的献血者人数为　 　人，m=　 　；
（2）补全上表中的数据；
（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：
从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？
【答案】（1）50，20；（2）12，23；见图；（3）大约有720人是A型血．
【解析】
【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后用B型的人数除以抽取的总人数即可求得m的值；21*cnjy*com
（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数．
【详解】（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），
所以m=×100=20，
故答案为50，20；
（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），
A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），
补全表格中的数据如下：
血型 A B AB O
人数 12 10 5 23
故答案为12，23；
（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率=，
3000×=720，
估计这3000人中大约有720人是A型血．
【点睛】本题考查了扇形统计_?????????è??è?¨???_概率公式、用样本估计总体等，读懂统计图、统计表，从中找到必要的信息是解题的关键；随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 21cnjy.com
10．（2020_?·??????è??é?¨?·_中考真题）如图是某商场第二季度某品牌运动服装的S号，M号，L号，XL号，XXL号销售情况的扇形统计图和条形统计图．
根据图中信息解答下列问题：
（1）求XL号，XXL号运动服装销量的百分比；
（2）补全条形统计图；
（3）按照M号，XL号运动服装的销量比，从M号、XL号运动服装中分别取出x件、y件，若再取2件XL号运动服装，将它们放在一起，现从这件运动服装中，随机取出1件，取得M号运动服装的概率为，求x，y的值．
【答案】（1）XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%；（2）补全条形图如图所示，见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）先求出抽取的总数，然后分别求出对应的百分比即可；
（2）分别求出S、L、XL的数量，然后补全条形图即可；
（3）由销量比，则，结合概率的意义列出方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】
解：（1）抽取的总数为：（件），
∴XXL的百分比：，
XL的百分比：；
∴XL号，XXL号运动服装销量的百分比分别为15%，10%．
（2）根据题意，
S号的数量：（件），
L号的数量：（件），
XL号数量：（件），
补全条形图如图所示．
（3）由题意，按照M号，XL号运动服装的销量比，则，
根据概率的意义，有，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了概率的_?????????é????°???_布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_