北京市八一学校2021届高三上学期10月月考数学试题 Word版含答案

北京市八一学校2021届高三年级十月月考试卷
一、选择题
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知向量false，false．若false，则实数false的值为（ ）
A．false B．2 C．false D．false
3．在下列函数中，定义域为实数集的偶函数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．设false是公比为false的等比数列，则“false”是“false为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．要得到函数false的图象，只需要将函数false的图象（ ）
A．向左平移false个单位 B．向左平移false个单位
C．向右平移false个单位 D．向右平移false个单位
6．在false中，false，false，false，则false的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
7．已知函数false在区间false上不是单调函数，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知函数false恰有两个零点，则实数false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．在false中，false，false，点false在false边上，且false，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．已知集合false，false满足：（i）false，false；
（ii）false，若false且false，则false；
（iii）false，若false且false，则false．
给出以下命题：
①若集合false中没有最大数，则集合false中有最小数；
②若集合false中没有最大数，则集合false中可能没有最小数；
③若集合false中有最大数，则集合false中没有最小数；
④若集合false中有最大数，则集合false中可能有最小数．
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③
二、填空题
11．已知复数false，则false______．
12．设false是等差数列，且false，false，则false的通项公式为______．
13．已知向量false，false的夹角为false，false，false，则false______．
14．已知函数false（false为常数）．若false，则false______；若函数false存在最大值，则false的取值范围是______．
15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量false随时间false（单位：年）的衰变规律满足false（false表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的______；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的false至false，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间．（参考数据：false，false）
三、解答题
16．已知等差数列false的前false项和为false，false，false．
（I）求数列false的通项公式；
（II）若等比数列false满足false，且公比为false，从①false；②false；③false这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列false的前false项和false．
17．在false中，false，false，false．
（I）求false的大小；
（II）若false是false的中点，求false的长．
18．已知函数false（false）．
（I）求false的最小正周期；
（II）求false的单调递增区间；
（III）对于任意false都有false恒成立，求false的取值范围．
19．设函数false（false）．
（I）若false，求函数false的单调区间；
（II）若函数false在区间false上是减函数，求实数false的取值范围．
（III）过坐标原点false作曲线false的切线，求证：切点的横坐标为false．
20．已知函数false（false）．
（I）求曲线false在点false处的切线方程；
（II）当false时，证明：false；
（III）判断false在定义域内是否为单调函数，并说明理由．
21．已知无究数列false，false，false满足：false，false，false，false．记false（false表示3个实数false，false，false中的最大值）．
（I）若false，false，false，求false，false的可能值；
（II）若false，false=2，求满足false的false的所有值；
（III）设false，false，false是非零整数，且false，false，false互不相等，证明：存在正整数false，使得数列false，false，false中有且只有一个数列自第false项起各项均为0．
答案
1．C 2．D 3．B 4．D 5．D
6．B 7．C 8．B 9．A 10．D
11．false 12．false 13．false 14．false；false 15．false；4011
16．解：（I）设等差数列false的公差为false，
又因为false，且false，
所以false，故false．
所以false．
（II）由（I）可知，false，又false，所以false．
若选择条件①false，可得false，
false
false
false
false，
若选择条件②false，可得false．
false
false
false
false．
若选择条件③false，可得false，
false
false
false
false．
17．解：（I）∵在false中，false，false，false，
∴false，
∵由正弦定理false，可得false，
又false，可得false为锐角，
∴false．
（II）∵在false中，由余弦定理false，可得
false，可得：false，
∴解得false，或false（舍去），
∵false是false的中点，
∴false，两边平方可得：false,
∴false，即false的长为false．
18．（I）因为false
false
false．
所以false的最小正周期false．
（II）由（I）知false．
又函数false的单调递增区间为false（false）．
由false，false，
得false，false．
所以false的单调递增区间为false（false）．
（III）因为false，所以false．
所以false．所以false．
当false，即false时，false的最大值为false，
又因为false对于任意false恒成立，所以false，即false．
所以false的取值范围是false．
19．解：（I）false时，false（false），
∴false，
false，false，false，false，（列表），
false的减区间为false，增区间false．
（II）false，∵false在区间false上是减函数，
∴false对任意false恒成立，
即false对任意false恒成立，
∴false对任意false恒成立，
令false，∴false，易知false在false单调递减，
∴false．∴false．
（III）设切点为false，false，切线的斜率false，
又切线过原点false，false，
即false，
所以false，
存在性：false满足方程false，所以false是方程false的解．
唯一性：令false（false），此时false，即false在false上单增，所以false是方程false的唯一解．即切点的横坐标为1．
20．解：函数false的定义域为false，false．
（I）因为false，false，
所以曲线false在点false处的切线方程为false，
即false．
（II）当false时，false．
欲证false，即证false，
即证false．令false，
则false．
当false变化时，false，false变化情况如下表：
false
false
1
false
false
false
0
false
false
false
极大值
false
所以函数false的最大值为false，故false．
所以false．
（III）函数false在定义域内不是单调函数．理由如下：
令false，
因为false，
所以false在false上单调递减．
注意到false．
且false．
所以存在false，使得false．
当false时，false，从而false，所以函数false在false上单调递增；
当false时，false，从而false，所以函数false在false上单调递减．
故函数false在定义域内不是单调函数．
21．（I）由false，得false，所以false；
由false，得false，所以false，
又false，故false，false，false．
所以false，false的所有可能值为
false，false；
false，false；
false，false；
false，false．
（II）若false，false，记false，
则false，false，false，false，
false，false，false，
当false时，false，false，false，false，由false，得false，不符合；
当false时，false，false，false，false，
由false，得false，符合；
当false时，false，false，false，false，
由false，得false，符合；
综上，false的所有取值是false，false，false，false．
（III）先证明“存在正整数false，使false，false，false中至少有一个为0”．
假设对任意正整数false，false，false，false都不为0，
由false，false，false是非零整数，且false，false，false互不相等，得false，false．
若对任意false，false，false，false都不为0，则false，
即对任意false，false．
当false时，false，
false，false，
所以，false．
所以，false严格单调递减，
由false为有限正整数，
所以，必存在正整数false，使得false，矛盾．
所以，存在正整数false，使false，false，false中至少有一个为0．
不妨设false，且false，false，false，false，
则false，且false，
否则，若false，
因为false，则必有false，矛盾．
于是，false，false，且false，
所以，false，false，false，
依次递推，即有：对false，false，false，false，且false，
此时有且仅有一个数列false自第false项起各项均为0．
综上，结论成立．