人教版七年级上册数学4.3.3余角和补角的定义和性质课件(共52张PPT)

如图∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °∠1与∠2是什么关系？
余角和补角
1
2
2
1
1
2
互为余角
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
60o
80o
50o
40o
3
4
3
4
3
4
互为补角
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角是另一个角的补角。
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
我来试一试：
77°
62°23′
45°
32°
5°
∠α的补角
∠α的余角
∠α
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
x
90° x
180° x
练习
一、填空
1、70°的余角是　 　 ，补角是　 　 。
2、 ∠ ? （ ∠ ? <90 ° ）的余角是 　 　 ，它的补角是 　 。
110 °
20°
90°- ∠ ?
180°- ∠ ?
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角)
锐角∠?的余角是（90 °—∠ ? ）
∠?的补角是（180 °—∠ ? ）
例1 若一个角的补角等于它的余角的
4 倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°)
解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
若∠1 + ∠2 =180 °,
则 .( )
若∠1和∠2互补,
则 .( )
若∠3 + ∠4 =90 °,则 .( )
若∠3和∠4互余,
则 .( )
3
4
1
2
∠1和∠2互补
互补定义
∠1 + ∠2 =180 °
互补定义
∠3和∠4互余
互余定义
∠3 + ∠4 =90 °
互余定义
　　　
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
探究:余角和补角的性质
　　　
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
　　　
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
　　　
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
例3 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
1
2
3
4
解：∠2与∠4相等。
这里，我们用到了“等量减等量，差相等”。
因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补，
所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3，
又因为∠1=∠3，
所以∠2=∠4。
补角性质：
等角的补角相等
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
4
3
探究:余角和补角的性质
　如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
4
3
　如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
4
3
余角性质：
等角的余角相等
如图∠AOB = 90 °
∠COD = 90 °
则∠1与∠2是什么关系？
答： ∠1 = ∠2
因为∠1+ ∠BOD = 90 °
∠2+ ∠BOD = 90 °
所以∠1 = ∠2
A
O
B
C
D
（等角的余角相等)
1
2
1
2
2
1
∠1+∠2=90°
∠1+∠2=180°
等角的余角相等
等角的补角相等．
性
质
对
应
图
形
数量
关系
互 补
互 余
互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与位置无关。
1
互余、互补概念中的角是成对出现的。
2
只有锐角才有余角。
4
注 意
角 的余角是 ，补角是
同一个锐角的补角比余角大
3
5
同角的余角（补角）相等；
等角的余角（补角）相等。
如图，已知AOB是一直线，OC是∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？
A
O
B
E
C
D
1
2
3
4
探索研究
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？
说明它们相等的原因。
（1）图中有哪几对互余的角？
∠A与∠B互余 ∠A与∠2互余
∠1与∠B互余 ∠1与∠2互余
∠B=∠2
∠A=∠1
B
A
D
C
1
2
（同角的余角相等）
（同角的余角相等）
认真观察下面的图形，回答下列问题：
A
B
C
D
E
F
G
如图，E、F是直线DG上两点
∠BEF = ∠BFE
∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
1.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？试着说明理由？
巩固应用
∵∠COD=∠EOD=90°
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°
又∵∠2=∠4
∴∠1=∠3
（等角的余角相等）
解： （1）∠1=∠3
4
3
2
1
E
D
B
A
C
O
解： ∵∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °
∴∠1=∠2
∴∠1+∠DOB=90°
∠2+∠DOB=90°
(同角的余角相等）
巩固练习
O
D
C
B
A
2
1
强化练习，巩固提高
（1）一个角是70?39′，求它的余角和补角.
（2）∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
（3）一个角是钝角，它的一半是什么角？
它的余角是90?－70?39′=19?21′，
它的补角是180?－70?39′=109?21′.
由180?－ ∠α=3 ∠α，
解得∠α=45?.
锐角
A
O
B
E
D
C
∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则∠3= .
2.O为直线AB上的一点，OD平分∠AOB，
∠COE = 90 °
则∠BOC = 　 　，
∠COD = 　 　。
检测
∠DOE
∠AOE
30 °
同角或等角的补角相等
同角或等角的余角相等.
　如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？并试着说明理由？
300m
200m
东
南
西
北
东南
西南
西北
东北
你知道方位角吗？
东
西
北
南
O
（1）正北，正南，正西，正东，
（2）西北方向:_________
西南方向:__________


东南方向:__________
东北方向:__________

射线OD
A
B
C
D
OC
OB
OA
45°
射线OE
射线OF
射线OG
射线OH
E
G
F
H
45°
45°
45°
探究：方位角
直线AB和直线CD互相垂直，所成四个角
均为直角
2.南偏西25°
1.北偏东70°
70°
北
西
东
O
南
25°
A
B
探究：方位角
方位角是以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向
例１　如图，ＯＡ是表示北偏东３００方向的一条射线，仿照
这条射线，画出表示下列方向的角：
（１）南偏东２５０　　　　（２）北偏西６００
A
东
南
西
北
300
25°
60°
例2 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在南偏东60°的方向上。同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D的射线。
60°
O
A
东
南
西
北
B
40°
60°
O
A
东
南
西
北
D
C
2、如图，OA表示北偏东32°方向线， OB表示南偏东43°方向线，则∠AOB等于————。
3、A看B的方向是北偏东30°，那么B看A的方向是（ ）
（A）南偏东60°（B）南偏西60°
（C）南偏东30° （D）南偏西30°
A
东
北
东
北
1
2
B
甲地
乙地
如何表示乙地对甲地的方位角
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
北
观测点
被观测点
归纳
甲地
乙地
乙地对甲地的方位角
2. 把中心点和目的地用线连接起來
北
视线
甲地
乙地
乙地对甲地的方位角
3.度量向北的射线和视线之间的角度
北
●
A
南偏西40°
南
●
东
西
北
B
40°
400
C
D
1.说出B在A的＿＿＿＿，那么A在B的＿＿＿___.
北偏东400
北
东
500
南
西
A是被观测点
B是观测点
拓展应用
4、 小明从点A出发向北偏西50°方向走了3米，到达点B，小林从点A出发向南偏西40°方向走了4米，试画图确定出A、B、C三点的位置（用1厘米表示3米），并从图上求出B点到C点的实际距离。
东
南
西
北
A
500
400
B
C
4.如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它
的北偏东500方向上有一艘船，同时从B地发现这
艘船在它的北偏东300方向，试在图中确定这艘
船的位置。
A
B
北
东
500
300
C
解：
则这艘船在点C处
生活中并不是缺少数学，而是缺少发现数学的眼睛，让我们用数学的眼光发现数学的美，让我们用数学的方法创造生活的美！