人教版八年级上册数学课件：13.3.1等腰三角形的性质（27张PPT）

等腰三角形的性质
学习目标
1、了解等腰三角形的概念， 掌握等腰三角形的性质
2、会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
回忆
三角形的中线、角平分线和高线
如图：中线AD,角平分线AE,高AF
（1）什么是等腰三角形？
（2）等腰三角形的有关概念
（3）三角形中学过哪些重要线段?

如图：把一张长方形纸片按图中的虚线对折,
并剪去红线下方的部分,再把它展 开,得△ABC
A
C
D
B
观察
AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?
AC=AB, △ABC是等腰三角形
心灵手巧
相信你：
　　 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
找一找
等腰三角形是轴对称图形吗？
思考
是
重合的线段
重合的角

　
A
C
B
D
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
等腰三角形除了两腰相等以外,
你还能发现它的其他性质吗?
大胆猜想
猜想与论证
等腰三角形的两个底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B=?C
分析：1.如何证明两个角相等？
　　2.如何构造两个全等的 三角形？
猜想
A
B
C
D
A
B
C
则有∠1＝ ∠2
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明: 作顶角的平分线AD，
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SAS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
方法一
A
B
C
则有 BD＝ CD
D
在△ABD和△ACD中
证明: 作△ABC 的中线AD
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SSS）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
方法二
A
B
C
则有 ∠ADB＝∠ADC ＝90?
D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
证明: 作△ABC 的高线AD
AB＝AC
AD＝AD
（公共边）
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD
（HL）
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
方法三
归纳结论
等腰三角形的两个底角相等。
性质1
(等边对等角)
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AC=AB（已知）
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
A
B
C
看谁算得快
如图，在下列等腰三角形中，分别求
出它们的底角的度数。
A
B
C
120°
A
B
C
36°
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个
角为_____ __；
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角
为___________________；
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角
为______ __。
75°, 30°
70°,40°或55°,55°
35°,35°
巩固练习(1)
想一想:
刚才的证明除了能得到∠B＝∠C 你还能发现什么?
重合的线段
重合的角

　
A
B
D
C
AB＝AC
BD＝CD
AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝∠ADC
=90°
猜想：等腰三角形的顶角平分线,
底边上的中线，底边上的高互相重合
A
B
C
则有∠1＝ ∠2
D
1
2
在△ABD和△ACD中
证明: 作顶角的平分线AD，
AB＝AC
∠1＝∠2
AD＝AD
（公共边）
∴ △ABD≌ △ACD
（SAS）
∴ BD＝CD
∠ADB ＝∠ADC=
90°
论证猜想
(等腰三角形三线合一)
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合
性质2:
归纳结论
用符号语言表示为：
在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ = ∠ ， = 。
2、∵AD是中线，
∴ ⊥ ，∠ =∠ 。
3、∵AD是角平分线，
∴ ⊥ ， = 。
A
B
C
D
⌒
⌒
1
2
1
2
1
2
BD
CD
AD
BC
1
2
AD
BC
BD
CD
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
不重合！
三线合一
“三线合一”应该对应等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高
为什么不一样?
深入分析
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
在△ABC中， ∠A=36°，∠ABC=∠C=72°
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
1、等腰三角形的顶角一定是锐角。
2、等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以。
3、等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边。
4、等腰三角形的角平分线、中线和高互相重
合。
5、等腰三角形底边上的中线一定平分顶角
（X）
（X）
（√）
（X）
（√）
一、明辨是非
二 ：△ ABC是等腰直角三角形 （AB=AC， ∠ BAC=90°），AD是底 边BC上的高，标出∠ B， ∠ C， ∠ BAD， ∠ DAC的度数？
三：在△ ABC中，AB=AD=DC， ∠BAD=16°，求∠ B和∠ C的度数
B
A
C
D
B
D
C
A
巩固练习
答： ∠ B= ∠ C= ∠ BAD= ∠ DAC=45°
答：∠ B= 82° ，∠ C =41°
A
C
B
D
如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:
①工人师傅在测量了∠B为37°以后，并没有测量∠C ，就说∠C 的度数也是37°. 　
②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D，然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的.
请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由.
如图，已知AB=AC，∠BAC=1100，AD是△ABC的中线。
（1）求∠1和∠2的度数；
（2）AD⊥BC吗？为什么？
A
B
C
D
1
2
（1）解：在△ABC ∵AB=AC（已知）
又∵AD是△ABC的中线（已知）
∴ ∠1=∠2= ∠BAC（等腰三角形底边上的中线平分顶角）
∵ ∠BAC=1100（已知）
∴ ∠1=∠2=550（等式性质）。
（2）在△ABC ∵AB=AC（已知）
又∵AD是△ABC的中线（已知）
∴ AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线垂直底边）。
我思,我进步
1
一题多解
如图，点D、E在△ABC的边BC上，
且AB=AC，AD=AE，此时BD与CE有
何关系？请说明理由。
谈谈你的收获！
轴对称图形
性质一：两个底角相等（等边对角）
性质二：顶角平分线、底边上的中线、
和底边上的高互相重合（三线合 一）
等腰三角形
小 结
下课了!
谢谢指导
再 见
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
等腰三角形的有关概念
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