人教版九年级上册数学22.2二次函数与一元二次方程课件（35张ppt）

二次函数与一元二次方程
抛物线
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值
a>0
a<0
增减性
a>0
a<0
二次函数的图象及性质
当a>0时开口向上，当a<0时开口向下
(0,0)
(0,k)
(h,0)
(h,k)
直线
y轴
直线
直线
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大
在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
x
y
x
y
y轴
知识回顾
认一认
（1）你能说出上列的函数的图象对应是下面哪个的函数的解析式？
① y=ax2+k ② y=ax2 ③y=a（x-h）2+k
④ y=a（x-h）2 ⑤y=ax2+bx
A B C D
（2）①抛物线顶点在 x 轴上
② 顶点在 y 轴上（对称轴是 y 轴）
③图象经过原点 ④ 图象的顶点在原点
?=0
C=0
直线x=0
y=ax2+k
y=a（x-h）2
y=ax2+bx
y=ax2
y=a（x-h）2
y=ax2+k
y=ax2+bx
y=ax2
回顾旧知
二次函数的一般式：
（a≠0）
______是自变量，____是____的函数。
x
y
x
当 y = 0 时，
ax? + bx + c = 0
ax? + bx + c = 0
这是什么方程？
九年级上册中我们学习了“一元二次方程”
一元二次方程与二次函数有什么关系？
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t – 5 t 2
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间?
（2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间?
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间?
实际问题
解：（1）当 h = 15 时，
20 t – 5 t 2 = 15
t 2 － 4 t ＋3 = 0
t 1 = 1，t 2 = 3
当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .
1s
3s
15 m
（2）当 h = 20 时，
20 t – 5 t 2 = 20
t 2 － 4 t ＋4 = 0
t 1 = t 2 = 2
当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .
2s
20 m
（3）当 h = 20.5 时，
20 t – 5 t 2 = 20.5
t 2 － 4 t ＋4.1 = 0
因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实根。
球的飞行高度达不到 20.5 m.
20.5 m
（4）当 h = 0 时，
20 t – 5 t 2 = 0
t 2 － 4 t = 0
t 1 = 0，t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
0s
4s
0 m
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
二次函数与一元二次方程的关系（1）
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1） y = 2x2＋x－3
（2） y = 4x2 －4x +1
（3） y = x2 – x+ 1
探究
x
y
o
令 y= 0，解一元二次方程的根
（1） y = 2x2＋x－3
解：当 y = 0 时，
2x2＋x－3 = 0
（2x＋3）（x－1） = 0
x 1 = ，x 2 = 1
－
3
2
所以与 x 轴有交点，有两个交点。
x
y
o
y =a（x－x1）（x－ x 1）
二次函数的两点式
（2） y = 4x2 －4x +1
解：当 y = 0 时，
4x2 －4x +1 = 0
（2x－1）2 = 0
x 1 = x 2 =
所以与 x 轴有一个交点。
1
2
x
y
o
（3） y = x2 – x+ 1
解：当 y = 0 时，
x2 – x+ 1 = 0
所以与 x 轴没有交点。
x
y
o
因为（-1）2－4×1×1 = －3 < 0
确定二次函数图象与 x 轴的位置关系
解一元二次方程的根
二次函数与一元二次方程的关系（2）
有两个根
有一个根（两个相同的根）
没有根
有两个交点
有一个交点
没有交点
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系
ax2+bx+c = 0 的根
y=ax2+bx+c 的图象与x轴
若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点，则________________ 。
b2 – 4ac ≥ 0
△＞0
△=0
△＜0
o
x
y
△ = b2 – 4ac
结论：
抛物线y=ax2+bx+c
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由
一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：
1、 b2-4ac ＞0 一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
与x轴有两个交点——相交。
抛物线y=ax2+bx+c
2、 b2-4ac =0 一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个相等的实数根
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
抛物线y=ax2+bx+c
3、 b2-4ac ＜0 一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
与x轴没有公共点——相离。
例、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8
（3）y=x2-4x+4
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ ）
A. y = 2x2 – 3 B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图象与x轴交点情况是（ ）
A. 无交点 B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
D
C
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有＿＿个交点.
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =＿＿.
1
1
16
5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
b2－4ac < 0
6.抛物线 y=2x2－3x－5 与y轴交于点＿＿＿＿，与x轴交于点　　　　　　　　　　　　.
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿.
(0，－5)
(5/2，0) (－1，0)
(-2，0) (5/3，0)
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 没有实数根
x
A
o
y
x=－1
3
-1
1.3
.
9.根据下列表格的对应值:

判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
-0.06
-0.02
0.03
0.09
C
二、基础训练
1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的范围是 ；
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。
4、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在轴下方的条件是（ ）
（A）a＜0 b2-4ac≤0
（B）a＜0 b2-4ac＞0
（C）a＞0 b2-4ac＞0
（D）a＜0 b2-4ac＜0
D
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系。体现了数形结合的思想。
3、A、B两点间的距离AB= 。
4、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系如何?
小结 拓展
三、例题推荐
1、已知二次函数y=x2-kx-2+k.
(1)求证:不论k取何值时，这个二次函数
y=x2-kx-2+k与x轴有两个不同的交点。
(2)如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为A、B，设此抛物线与y轴的交点为C，当k为6时,求S△ABC .
2、已知抛物线y=x2+2x+m+1。
（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。
（2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。
3、已知是x1、x2方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与x轴的两个交点，P是y轴上异于原点的点，设∠PAB=α，∠PBA=β，问α、β能否相等？并说明理由.
A
O
B
P
X
Y
α
β
4、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.
求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不同的交点,
5. 已知抛物线 和直线
相交于点P(3，4m)。
（1）求这两个函数的关系式；
（2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。
解：（1）因为点P（3，4m）在直线 上，所以 ，解得m＝1
所以 ，P（3，4）。因为点P（3，4）在抛物线 上，所以有4＝18－24＋k＋8 解得 k＝2
所以
（2）依题意，得
解这个方程组，得
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）。