九年级数学上册 《垂直于弦的直径》课件 人教新课标版

(共28张PPT)
问题 ：你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.
问题情境
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
垂直于弦的直径
———（垂径定理）
1、举例什么是轴对称图形。
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
2、举例什么是中心对称图形。
把一个图形绕着某一个点旋转180 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
3、圆是不是轴对称图形？
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴。
　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
一、 实践探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
·
O
A
B
C
D
E
二、
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合．
因此 AE=BE　
即 直径CD平分弦ＡＢ，并且平分AB及ACB
⌒
⌒
AC=BC
⌒
⌒
AD=BD
⌒
⌒
⌒
O
B
C
D
·
A
E
⌒
⌒
⌒
⌒
C
A
E
B
O
.
D
想一想：
垂径定理：
CD为⊙O的直径
CD⊥AB
条件
结论
⌒
⌒
⌒
⌒
AE=BE
AC=BC
AD=BD
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦对的两条弧。
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
条件
CD为直径
CD⊥AB
CD平分弧ADB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
结论
E
O
A
B
D
C
E
A
B
C
D
E
O
A
B
D
C
E
O
A
B
C
E
O
C
D
A
B
练习1
O
B
A
E
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等
的线段或相等的圆弧.
O
8cm
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 。
2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的
距离为3cm，则弦AB的长是 。
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
垂直于这条半径的弦长是 。
练习 2
A
B
O
E
A
B
O
E
O
A
B
E
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连结半径；过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
E
.
A
C
D
B
O
.
A
B
O
E
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
讲解
A
B
.
O
垂径定理的应用
解：连结OA。过O作OE⊥AB，
垂足为E，则OE＝3厘米，AE＝BE.
∵AB＝8厘米
∴AE＝4厘米
在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
再逛赵州石拱桥
如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设知
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
R
D
37.4
7.2
R-7.2
18.7
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
三、
·
O
A
B
C
D
E
如果一条直径平分一条不是直径的弦，那么这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
归纳
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｂ
Ｅ
Ｏ
几何语言表述
CD⊥AB,
由 CD是直径
AE=BE
可推得
AC=BC
⌒
AD=BD
⌒
⌒
⌒
·
如图，AB是⊙O的一条弦， CD是直径，且AE=BE
OE=5，AB=24，求⊙O的半径
·
O
A
B
C
D
E
练一练：
驶向胜利的彼岸
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
.
(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）


√
驶向胜利的彼岸
挑战自我画一画
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
F
E
O
M
N
A
B
C
D
1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又　∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
提高练习
2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．
4:在圆O中，直径CE⊥AB于
D，OD=4 ㎝，弦AC= ㎝ ，
求圆O的半径。
　　
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、
圆心到弦的距离d、弦长a中，
任意知道两个量，可根据　　　　定理求出第三个量：
C
D
B
A
O
3、如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
垂径
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
5:如图，CD为圆O的直径，弦
　　AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
　　DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
6 已知：⊙O中弦AB∥CD。
求证：AC＝BD
⌒
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.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB。
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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总结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
课后小结
1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.
2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.
3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
⑵
课后小结
1. 垂径定理
2. 垂径定理的推论
3. 垂径定理的应用