3.2 函数的性质——奇偶性 同步练习（含解析）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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人教A版（2019）
必修一
3.2
函数的性质——奇偶性
一、单选题
1.函数
的图象大致为（???
）
A.???????????????????B.?
C.???????????????????D.?
2.定义在R上的偶函数
满足对任意的
，有
．则满足
的
取值范围是（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
3.已知
是定义在R上的偶函数，并满足
，当
时，
，则
(???
)
A.?4.5???????????????????????????????????????B.?-4.5???????????????????????????????????????C.?0.5???????????????????????????????????????D.?-0.5
4.下列函数中，既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的是（??
）
A.???????????????????????????????????B.?y=x﹣1??????????????????????????????????C.?y=x3??????????????????????????????????D.?y=2x
5.已知函数
，则（??
）
A.?
是偶函数，且在
上是增函数????????B.?
是偶函数，且在
上是减函数
C.?
是奇函数，且在
上是增函数????????D.?
是奇函数，且在
上是减函数
6.已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
．若
，则
的解集是（???
）
A.????????B.????????C.????????D.?
7.奇函数
在
上单调递减，且
，则不等式
的解集是（??
）．
A.????????B.????????C.????????D.?
8.已知定义域为R的函数
在
单调递增，且
为偶函数，若
，则不等式
的解集为（??
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
9.关于函数
的下列判断，其中正确的是（???
）
A.?函数的图像是轴对称图形????????????????????????????????????B.?函数的图像是中心对称图形
C.?函数有最大值?????????????????????????????????????????????????????D.?当
时，
是减函数
10.已知定义在
上的函数
满足
，且在
上是增函数，不等式
对于
恒成立，则
的取值范围是（
??）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
11.已知函数
为定义城为
的偶函数，且满足
，当
时，
，则函数
在区间
上零点的个数为（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
12.下列函数
是
上的偶函数，且在
上单调递减，则下列各式成立的是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????D.?
二、填空题
13.已知
是定义在
上的偶函数，且当
时，
，则当
时，
________．
14.已知
是R上的奇函数，当
时，
，则
的值为________．
15.已知函数
在R上是奇函数，且当
时，
，则
时，
的解析式为________.
16.已知f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，则f（x﹣1）＞f（x）的解集为________．
三、解答题
17.已知函数
是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数
在区间
上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）求不等式
的解集.
18.已知
（1）判断函数
的奇偶性，并说明理由.
（2）判断函数
在
单调性，并证明你的判断.
19.已知定义在R上的函数
满足：①
对任意
，
，有
.②当
时，
且
.
（1）求证：
是奇函数；
（2）解不等式
.
20.已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
.
（1）求函数
在
上的解析式；
（2）若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围.
21.已知函数
，且
是奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数
的单调性，并用定义证明；
（3）解关于t的不等式
．
22.已知函数
的定义域为R，对任意的x，
有
，当
时，
，且
．
（1）证明：
；
（2）探讨函数
的奇偶性；
（3）当
时，求函数
的最小值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】由函数的解析式可得：
，则函数
为奇函数，其图象关于坐标原点对称，CD不符合题意；
当
时，
，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
2.【答案】
C
【解析】因为对任意的
，有
．
即当
时，有
，所以
在
上单调递增，
因为
是偶函数，
，所以
，解得
.
故答案为：C.
【分析】由条件可得出
在
上单调递增，然后结合
是偶函数可将
转化为
，然后解出即可.
3.【答案】
D
【解析】
故答案为：D
【分析】由题意得出
，结合偶函数的性质，即可得出
的值.
4.【答案】
C
【解析】
定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不具有奇偶性；y=x﹣1为（0，+∞）上减函数；对于y=2x
，
是指数函数，不具有奇偶性；y=x3是幂函数，指数大于零为增函数，
又f（﹣x）=f（x）所以是奇函数。
故答案为：C
【分析】利用奇函数的判断方法和增函数的判断方法，从而推出既是奇函数又是区间（0，+∞）上的增函数的函数。
5.【答案】
D
【解析】
，则
为奇函数
又
在
上单调递增，则
在
上单调递减
故答案为：D
【分析】根据奇偶性定义判断出奇偶性，在结合幂函数单调性求得单调性.
6.【答案】
B
【解析】
为定义在
上的奇函数，
.
当
时，
，
，
为奇函数，
，
由
得：
或
；
综上所述：若
，则
的解集为
.
故选：
.
【分析】利用函数奇偶性可求得
在
时的解析式和
，进而构造出不等式求得结果.
7.【答案】
A
【解析】因为函数式奇函数，在
上单调递减，
根据奇函数的性质得到在
上函数仍是减函数，
再根据
可画出函数在
上的图像，
根据对称性画出在
上的图像．
根据图像得到
的解集是：
．
故选A．
【分析】由已知利用奇函数的性质，得到函数
在
上函数是减函数，画出函数图象，利用图象即可求出
的解集.
8.【答案】
A
【解析】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，且在[1，+∞）上单调递增，
所以不等式f（2x+1）＜1=f（3）?
|2x+1﹣1|）＜|3﹣1|，
即|2x|＜2?|x|＜1，解得-1
所以所求不等式的解集为：
.
故答案为：A．
【分析】由函数y＝f（x+1）是定义域为R的偶函数，可知f（x）的对称轴x＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集．
9.【答案】
A
【解析】
定义域为：
，
函数为偶函数，故A正确，B错误
当
且
时，
，C错误
?，不满足
是减函数，D错误
故选：A
【分析】判断函数为偶函数得到A正确，B错误
，取特殊值，排除C和D得到答案.
10.【答案】
A
【解析】
???
为定义在
上的偶函数，图象关于
轴对称
又
在
上是增函数???
在
上是减函数
???
，即
对于
恒成立???
在
上恒成立
，即
的取值范围为：
本题正确选项：
【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在
上是减函数，由此可将不等式化为
；利用分离变量法可得
，求得
的最大值和
的最小值即可得到结果.
11.【答案】
A
【解析】
是偶函数，
，
所以
的周期为
，
作出
的函数图象如图所示：
由图象可知
的图象关于点
，
对称．
令
可得
，
令
，显然
的函数图象关于点
，
对称．
作出
在
，
上的函数图象如图所示：
由图象可知
与
在
，
上有5个交点，根据对称性可知在
，
上也有5个交点，
在
，
上的所有零点个数为10.
故选：A
【分析】作出
与
的函数图象，根据图象的对称性得出结论．
12.【答案】
A
【解析】因为
是
上的偶函数，所以
，而
在
上单调递减，所以
．
故答案为：A．
【分析】根据函数
在
上单调递减，将各函数值转化到定义在
上的函数值，由偶函数的定义可得
，即可由单调性比较得出．
二、填空题
13.【答案】
【解析】解：根据题意，设
，则
，有
，
又由
为偶函数，则
，
即
，
故答案为：
．
【分析】根据题意，设
，则
，由函数的解析式可得
，结合函数的奇偶性分析可得答案．
14.【答案】
2
【解析】由题意，函数
是R上的奇函数，当
时，
，
可得
，
即
的值为
.
故答案为：2.
【分析】结合函数的奇偶性，得到
，代入即可求解.
15.【答案】
【解析】因为函数
在R上是奇函数,
所以
,
因为
时，
,
所以
时,
,
,所以
所以
时，
的解析式为
.
故答案为:
【分析】当
时,
,利用已知可求得
,再根据奇函数的性质,可求得
.
16.【答案】
【解析】当
时，
，所以
，
又f（x）是R上的奇函数，所以
，所以
，
所以
，即
，
做出
和
的图像如下图所示，
不等式
的解集可以理解为将
的图象向右平移一个单位长度后所得函数
的图象在函数
的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，
由
得
所以
，
由
得
，所以
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【分析】根据函数f（x）是R上的奇函数和已知条件得出函数
和
的解析式，在同一坐标系中做出
和
的图像，求出交点的坐标，根据不等式
的解集可以理解为将
的图象向右平移一个单位长度后所得函数
的图象在函数
的图象上方部分的点对应的横坐标取值的集合，由图示可得出解集.
三、解答题
17.【答案】
（1）解：设
，则
，所以
因为
是奇函数，所以
所以
（2）解：
的图像为
因为函数
在区间
上单调递增
所以
所以
（3）解：由
可得
，即
当
时
，由图像可得
当
时
，由图像可得
综上：
【分析】（1）利用
即可求出
；（2）画出图像，观察图像即可建立不等式求解；（3）由
可得
，然后分
和
两种情况讨论，每种情况结合图像即可得到答案.
18.【答案】
（1）解：
为奇函数.
理由：因为
的定义域为
又
，所以
为奇函数.
（2）解：
在
为单调递减，在
单调递增.
证明：任取
，所以
，所以
，
所以
在
为单调递减
当
，所以
，所以
，
所以
在
为单调递增
综上：
在
为单调递减，在
单调递增.
【分析】（1）由
，结合函数的定义域可得
为奇函数；（2）任取
，所以
，得
，可得
在
为单调递减，同理可得
在
为单调递增.
19.【答案】
（1）证明：令
，
，
，
令
，
.
函数
是奇函数.
（2）解：设
，则
，
为
上减函数.
，
.
即
.
不等式
的解集为
.
【分析】（1）赋值法，令x＝y＝0可证得f（0）＝0；令y＝﹣x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；（2）设x1＜x2
，
由条件构造f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）由x＜0时f（x）＞0可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．
20.【答案】
（1）解：
是定义在
上的奇函数???
且
当
时，
又
满足
???
（2）解：由（1）可得
图象如下图所示：
在区间
上单调递增???
，解得：
的取值范围为：
【分析】（1）根据函数奇偶性可得
且
；当
时，
，根据
可求得
，又
满足
，可得分段函数解析式；（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围.
21.【答案】
（1）解：
；
因为
是奇函数，
所以
，解得
．
经检验：当
时，
显然为奇函数，
故
（2）解：
在
上是增函数，证明如下：
任取
，
，且
，
则
即
由
，得
，
，
所以
，即
，
所以函数
在
上是增函数
（3）解：
等价于
，
等价于
，
得
．
而
是定义在
上的奇函数，
所以
．
显然
与
的定义域和单调性都相同，
所以
，
得
，则
．
故不等式的解集是
【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得
，可得结果.（2）通过做差变形，可得
，然后判断符号，可得结果.（3）利用函数
的单调性以及奇偶性，可得
，然后计算可得结果.
22.【答案】
（1）解：由题可知
，
∴当
，
时，
，
∴
（2）解：函数
定义域为
，当
时，
有
．
由（1）知，
，
∴
，即
．
∴函数
为奇函数
（3）解：设
，
，且
，则
．
又∵当
时，
，
∴
．
又对任意的
，
有
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴函数
为定义域是
的减函数．
∴当
时，
．
又
，
∴
．
即当
时，
的最小值为
【分析】（1）对
进行取值，可得结果.（2）令
，根据（1）的结论，可得结果.（3）利用定义法证明函数的单调性，通过在定义域中，假设
，然后根据条件计算，可得
，可得单调性，最后可得结果.
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