3.2 函数基本性质——单调性与最值 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
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人教A版（2019）
必修一
3.2
函数基本性质
——单调性与最值
一、单选题
1.函数
的单调递减区间为（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
2.函数y=
+b在(0,+∞)上是减函数,则(
????).
A.?k>
?????????????????????????????????B.?k<
?????????????????????????????????C.?k>
-
?????????????????????????????????D.?k<
-
3.在区间
上，下列函数与函数
的单调性相同的是（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
4.已知函数
的图象关于
对称，且对
，当
时，
成立，若
对任意的
恒成立，则
的范围（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?????????????????????????????D.?
5.
，若
，则
的取值范围（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
6.函数
的单调递增区间为（???
）
A.?（－∞，－3），（1，＋∞）?????????????????????????????B.?（－∞，－2），（2，＋∞）
C.?（－3，0），（3，＋∞）??????????????????????????????????D.?（－2，0），（0，2）
7.已知函数
，则
的最大值是(??
)
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
8.若函数
在区间
上的最大值是
，最小值是
，则
(??
)
A.?与
无关，但与
有关??????????????????????????????????????B.?与
无关，且与
无关
C.?与
有关，但与
无关??????????????????????????????????????D.?与
有关，且与
有关
9.已知函数
，其定义域是
，则下列说法正确的是（
??）
A.?
有最大值
，无最小值?????????????????????????????B.?
有最大值
，最小值
C.?
有最大值
，无最小值?????????????????????????????D.?
无最大值，最小值
10.下列函数中，在
上为单调递增函数的是(???
)
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
二、填空题
11.已知函数
是定义在
上的单调递增函数，且
.则m的取值范围是________.
12.函数
是
上的单调递增函数，则实数
的取值范围是________.
13.已知函数
在
上是增函数，若
，则
的取值范围是________.
14.设函数
，则
________，使得
的实数
的取值范围是________．
15.已知
为定义在区间
上的增函数，
，
,
，则
取值范围为________
三、解答题
16.已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.
17.已知函数
的定义域是
，且满足
，
，如果对于
，都有
．
（1）求
的值；
（2）解不等式
.
18.定义在非零实数集上的函数
对任意非零实数x，y都满足
.
（1）求
的值；
（2）求
的解析式；
（3）设函数
，求
在区间
上的最大值
.
19.已知函数
满足
（
为常数），且
＝3．
（1）求实数
的值，并求出函数
的解析式；
（2）当
时，讨论函数
的单调性，并用定义证明你的结论．
20.已知函数
，
.
（1）求
、
的单调区间；
（2）求
、
的最小值.
21.已知函数
.
（1）求函数
的解析式；
（2）根据函数单调性的定义证明
在
上单调递减.
22.已知二次函数
对一切实数
，都有
成立，且
，
，
.
（1）求
的解析式；
（2）记函数
在
上的最大值为
，最小值为
，若
，当
时，求
的最大值.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】由
，解得
或
，所以函数的定义域为
可看作是由
，
复合而成的，
的单调递增区间为
，
在
上单调递减，
由复合函数的单调性的判定知，
函数
的单调递减区间为
?故答案为：A
【分析】
可看作是由
，
复合而成的，因为
单调递增，由复合函数的单调性的判定知识只需在定义域内求出
的增区间即可。
2.【答案】
A
【解析】因为函数y=
+b在(0,+∞)上是减函数
所以
，
所以
.
故答案为：A
【分析】解不等式
即得解.
3.【答案】
D
【解析】
在区间
上为减函数，函数
在区间
上为增函数，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
函数
在区间
上为增函数，函数
在区间
上为减函数.
故答案为：D.
【分析】分析函数
在区间
上的单调性，然后再分析各选项中函数在区间
上的单调性，可得出正确选项.
4.【答案】
A
【解析】
函数
的图象关于
对称，
向左平移1个单位，得到
的图象关于
轴对称，
即
是偶函数，
，
成立，
在
上递减，
在
上递增，
?
对任意的
恒成立，
等价于
对任意的
恒成立，
时不等式成立；
当
时，有
恒成立，
，
，
故答案为：A.
【分析】根据对称性以及函数图象的平移变换判断函数
是偶函数，根据
时，
成立判断函数的单调性，从而转化原不等式为
对任意的
恒成立，分离参数后利用基本不等式求解即可.
5.【答案】
D
【解析】当
时，
，当
时，
，则
，画出函数图像，如图：
函数为增函数，
，
，
，故函数为奇函数，
，
即
，因为函数在
上单调递增，所以
故答案为：D
【分析】先去绝对值，求出函数
分段函数，再根据函数的增减性解不等式即可.
6.【答案】
A
【解析】
，当且仅当
时，即
时，在对应位置函数增减性发生变化，如图：
故函数对应的单调增区间为：（－∞，－3），（1，＋∞）
故答案为：A
【分析】可借鉴对勾函数性质辅助解题，将函数拼凑为
，再根据对勾函数增减性特征解题即可
7.【答案】
B
【解析】（1）当
时，
，任取
，
则
，
当
时，
，即
，函数
单调递增；
当
时，
，即
，函数
单调递减；
所以
；
⑵当
时，
单调递减，所以
；
而
，所以
，
故答案为：B
【分析】根据函数单调性，分别求出
和
时的最大值，比较大小，即可得出结果.
8.【答案】
A
【解析】因为
，
，
令
，由题意
的最大值是
，最小值是
，
而
是影响图象的上下平移，此时最大和最小值同步变大或变小，故
与
无关，而
是影响图象的左右平移，故
与
有关.
故答案为：A
【分析】先将函数化为
，令
，根据题意，得到
的最大值是
，最小值是
，根据二次函数各系数的意义，即可得出结果.
9.【答案】
A
【解析】因为函数
，所以
在
上单调递减，则
在
处取得最大值，最大值为
，
取不到函数值，即最小值取不到.
故答案为：A.
【分析】先化简函数
，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法
10.【答案】
D
【解析】对于A选项:函数
的斜率
,故此函数在
上为单调递减函数,A排除；
对于B选项:函数
的图象是开口向上的抛物线,其对称轴为
，故此函数在
上为单调递增函数,在
为单调递减函数，B排除;
对于C选项:函数
为反比例函数,其图象是双曲线,在
和
上均是单调递减函数,C排除;
对于D选项：函数
为幂函数,其图象在
上是一条上升的曲线,故此函数在
上为单调递增函数,
故答案为：D.
【分析】结合函数的图象及性质和单调递增函数的定义进行逐项排除即可.
二、填空题
11.【答案】
m＜-4
【解析】根据题意，函数
是定义在
上的单调递增函数，对于任意
，若
，则
，又因为
，所以
，
解得
故答案为：
【分析】由题意可知，
是定义在
上的单调递增函数，则对于任意
，若
，则
。
12.【答案】
[-1,4]
【解析】由于二次函数
的图象开口向上，对称轴为直线
.
由题意可知，函数
在区间
上为增函数，则
，得
.
且有
，解得
，所以，
，
因此，实数
的取值范围是[-1,4]，故答案为：[-1,4].
【分析】由题意得出函数
在区间
上为增函数，且有
在
处的取值大于等于函数
在
处的取值，由此列出不等式组解出实数
的取值范围.
13.【答案】
【解析】
在R上是增函数，
，根据增函数性质，可得
，解得
答案为：
【分析】根据增函数性质去“
”即可.
14.【答案】
4；
【解析】因为
，所以
，因此
；
当
时，
可化为
，即
显然恒成立，所以
；
当
时，
，解得
；
综上，
.
故答案为：4；
【分析】根据函数解析式，由内而外，逐步代入，即可求出
；分
和
两种情况，结合函数解析式，即可求出实数
的取值范围.
15.【答案】
【解析】由题知,
,
令
,
则有
,
所以有
，
因为
在
上单调递增,
，
所以
满足的不等式为
?,
解得
,
所以所求
的取值范围为
.
故答案为:
【分析】由题知,利用
可得,
,
;由
在
上单调性，列出不等式求解即可.
三、解答题
16.【答案】
（1）解：图象如图所示：
?
（2）解：由函数
的图象可知，该函数的定义域为
，
增区间为
，减区间为
、
、
，值域为
【分析】（1）根据函数
的解析式作出该函数的图象；（2）根据函数
的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域.
17.【答案】
（1）解：令
，则
，
.
（2）解：由
，都有
知
为
上的减函数，且
，即
.
∵
，
且
，
∴
可化为
，即
＝
，
则
，解得
.
∴不等式
的解集为
．
【分析】（1）根据
，令
，即可得出
的值；（2）由
，都有
知
为
上的减函数，根据
的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出
的范围即可.
18.【答案】
（1）解：令
，
，得
；
令
，
，得
.
由
，解得
（2）解：令
，则
，所以
，
由以上两式，解得
，
即
，所以
（3）解：
.
当
，即
时，此时，函数
在区间
上单调递增，
；
当
，即
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，则
.
综上，
【分析】（1）分别令
，
和
，
，可得出关于
和
的方程组，即可解出
的值；（2）令
，则
，再用
替换
可得出
，利用加减消元法可解出
，即可得出函数
的解析式；（3）由题意得出
，然后分
和
，分析二次函数
在区间
上的单调性，即可得出函数
在区间
上的最大值
的表达式.
19.【答案】
（1）解：∵
＝3，∴
，
∴
，
∴
易得：
∴
；
（2）解：
函数在（0，
）上递减，在（
，+∞）上递增；
设0＜x1＜x2
，
f（x1）﹣f（x2）＝（2x1
）﹣（2x2
）
，
又由0＜x1＜x2
，
则2x1x2﹣1＜0，x1﹣x2＜0，
则有f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，
）为减函数，
设
x1＜x2
，
f（x1）﹣f（x2）＝（2x1
）﹣（2x2
）
，
又由
x1＜x2
，
则2x1x2﹣1＞0，x1﹣x2＜0，
则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（
，+∞）上递增．
【分析】（1）由
＝3得到
，利用方程组思想得到函数
的解析式；（2）利用定义法证明函数的单调性.
20.【答案】
（1）解：
函数
的图象开口向上，对称轴为直线
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，函数
的增区间为
；
（2）解：由（1）知，函数
在
处取得最小值
，
由于函数
在定义域
上单调递增，则函数
在
处取得最小值
.
【分析】（1）分析二次函数
图象的开口方向和对称轴，可得出函数
的减区间和增区间，以及函数
的增区间；（2）由函数
和函数
的单调性可得出这两个函数的最小值.
21.【答案】
（1）解：
，
；
（2）解：证明：
，
，且
，则：
，
，
，
，
，
又由
，得
，
于是
，
即
，
，
函数
在
上单调递减．
【分析】（1）可得出
，从而得出
；（2）根据单调性的定义，设任意的
，
，并且
，然后作差，通分，提取公因式，从而得出
，然后说明
即可．
22.【答案】
（1）解：对一切实数
，都有
成立，则二次函数
的对称轴为直线
，又
，则二次函数
图象的顶点坐标为
，
设
，则
，因此，
（2）解：
，对称轴为直线
，
，则
.
当
时，即当
时，函数
在区间
上单调递增，
则
，
，则
，得
，此时
；
当
时，即当
时，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，所以，
，
，
，且
，
，
则
，整理得
，解得
，此时，
.
因此，
，则实数
的最大值为
【分析】（1）由题意可得出二次函数
的对称轴为直线
，结合
可得出该二次函数的顶点坐标为
，可设
，再由
求出实数
的值，由此可得出函数
的解析式；（2）求出函数
的解析式
，分析该二次函数图象的对称轴与区间
的位置关系，分析函数
在区间
上的单调性，求出
和
，然后解不等式
，求出实数
的取值范围，即可得出实数
的最大值
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