3.3 幂函数 同步练习（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版（2019）
必修一
3.3
幂函数
一、单选题
1.已知幂函数
在
上为增函数，则
值为（???
）
A.?4?????????????????????????????????????????B.?3?????????????????????????????????????????C.?-1?????????????????????????????????????????D.?-1或4
2.已知幂函数
在第一象限内的图象如图所示．若
则与曲线
，
，
，
对应的n的值依次为（???
）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
3.已知幂函数
的图象关于原点对称，且在
上是减函数，若
，则实数
的取值范围是（???
）
A.????????????????????????B.????????????????????????C.????????????????????????D.?
4.已知幂函数f（x）=xa过点（4，2），则f（x）的解析式是（??
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
5.有四个幂函数：①
；②
；③
；④
.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是
，且
；（3）在
上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（???
）
A.?①?????????????????????????????????????????B.?②?????????????????????????????????????????C.?③?????????????????????????????????????????D.?④
6.函数
的图象经过点
，则
的值为（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?3??????????????????????????????????????????C.?9??????????????????????????????????????????D.?81
7.已知幂函数
的图象过
，则下列求解正确的是（???
）
A.??????????????????????????B.??????????????????????????C.??????????????????????????D.?
8.幂函数
过点
，则
的单调递减区间是(　　)
A.??????????????????B.??????????????????C.??????????????????D.?
9.下图给出4个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是（）
A.?①②③④???????????????????B.?①②③④
C.?①②③④???????????????????D.?①②③④
10.已知
，
且为幂函数，则ab的最大值为（??
）
A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?
11.设
，
则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为(?????
)
A.?1,3?????????????????????????????????????B.?-1,1?????????????????????????????????????C.?-1,3?????????????????????????????????????D.?-1,1,3
二、多选题
12.已知幂函数
的图象过点（2，8），下列说法正确的是（???
）
A.?函数
的图象过原点??????????????????????????????????B.?函数
是偶函数
C.?函数
是单调减函数??????????????????????????????????D.?函数
的值域为R
三、填空题
13.已知幂函数
的图象过点
，则这个函数的解析式是________．
14.函数
是幂函数，且为奇函数，则实数
的值是________．
15.已知
，若幂函数
为奇函数，且在
上递减，则α=________
16.幂函数
的单调增区间为________.
17.设
，若
为偶函数，则
________．
18.已知函数f（x）既是二次函数又是幂函数，函数g（x）是R上的奇函数，函数
=
+1，则h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=________
四、解答题
19.已知幂函数
的图象经过点
.
（1）求
解析式
（2）根据单调性定义，证明
在区间
上单调递增.
20.已知幂函数
的图象经过点（-3，-27）
（1）求
的解析式；
（2）判断
的单调性并用定义证明你的结论.
21.已知幂函数
在
上单调递增.
（1）求实数
的值；
（2）若
，求实数
的取值范围.
22.已知幂函数
（1）求
的解析式；
（2）①若
图像不经过坐标原点，直接写出函数
的单调区间.
②若
图像经过坐标原点，解不等式
.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【解析】∵
，
，解得
或-1.
当
时，
在区间
上是减函数，不合题意；
当
时，
，满足题意，
所以
.
故答案为：A.
【分析】由已知得
，可求得
或-1.当
时，
在区间
上是减函数，不合题意；当
时，
，满足题意，故得选项.
2.【答案】
C
【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在
的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线
，
，
，
对应的
的值依次为：
?
故答案为：C.
【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.
3.【答案】
B
【解析】
幂函数
的图象关于原点对称，且在
上是减函数，
所以
，解得
，
因为
，所以
或
，
当
时，
，图象关于
轴对称，不满足题意；
当
时，
，图象关于原点对称，满足题意，
不等式
化为，
，
因为函数
在
上递减，
所以
，
解这个不等式，得
，
即实数
的取值范围是
，
故答案为：B
.
【分析】根据幂函数的图象与性质，求出
的值，根据
的定义域与单调性，再把不等式
化为等价的不等式组，求出它的解集即可.
4.【答案】
B
【解析】设f（x）=xα
，
∵幂函数y=f（x）的图象过点
（4，2），
∴4α=2
∴α=
．
这个函数解析式为f（x）=
故答案为：B．
【分析】根据幂函数的概念设f（x）=xα
，
将点的坐标代入即可求得α值，从而求得函数解析式．
5.【答案】
B
【解析】①
只满足值域是
，且
；③
只满足在
上是增函数；④
只满足在
上是增函数；②
是偶函数，在
上是增函数，但其值域是
.
故答案为：B.
【分析】根据幂函数的单调性、值域和奇偶性，结合三个性质两个正确一个错误，对四个幂函数逐一分析，由此确定正确选项.
6.【答案】
B
【解析】因为
，所以
，所以
，
所以
.
故答案为：B.
【分析】先根据幂函数所过的点计算出
的值，然后即可计算出
的值.
7.【答案】
A
【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，
），
∴
2α
，
解得α
，
故f（x）
，即
，
故答案为：A
【分析】利用幂函数过的点求出幂函数的解析式即可逐项判断正误.
8.【答案】
D
【解析】设幂函数
，则
，即
，
，故
函数
的单调递减区间是
．
故答案为：D.
【分析】设幂函数
，将点
代入解出
的值,从而得出单调区间.
9.【答案】
B
【解析】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D,①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A,故选B
【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数．
10.【答案】
A
【解析】由于已知中给定是幂函数，则说明a+2b=1,同时因此那么由均值不等式，
那么可知当且仅当时取得等号，故选A.
【分析】根据已知的幂函数得到a,b的关系式，进而利用函数的单调性的性质或者均值不等式来求解得到最大值。这是求最值的一般思路，先化简为一个元的函数，或者构造定值，求解最值。属于中档题。
11.【答案】
A
【解析】根据函数定义域及幂指数的“奇偶性”，=－1，时，函数定义域均非R，所以使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为1,3，选A。
【分析】简单题，涉及幂函数题目不太多，往往比较注重基础，本题和函数奇偶性一块考查，扩大了知识覆盖面。
二、多选题
12.【答案】
A,D
【解析】由于幂函数
过点
，所以
，解得
，所以
.
，满足
，A选项正确.
是奇函数，所以B选项错误.
在
上递增，所以C选项错误.
值域为
，所以D选项正确.
故答案为：AD
【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.
三、填空题
13.【答案】
【解析】因为幂函数
的图象过点
，所以
，解得
，所以幂函数解析式是
。
【分析】利用幂函数
的图象过点
，
从而求出a的值，进而求出幂函数的解析式。
?
14.【答案】
【解析】∵
是幂函数，∴
，∴
，
解得
或
，当
时，
，
是奇函数，符合题意；
当
时，
，
是偶函数，不符合题意，
∴
．
故答案为：
.
【分析】根据函数
为幂函数列式，求得
的可能取值，再根据函数
为奇函数，确定
的值.
15.【答案】
-1
【解析】a=-2时，
=x-2为偶函数，错误
a=-1时，
=x-1为奇函数，在
上递减，正确
a=-
时，
=
非奇非偶函数，错误
a=
时，
=
非奇非偶函数，错误
a=1时，
=x在
上递增，错误
a=2时，
=x2在
上递增，错误
a=3时，
=x3在
上递增，错误
【分析】关于幂函数性质的考查，在第一项限a>0时，
，a<0时，
，若a>0为偶数，则
为偶，若a为奇数，
为奇。
16.【答案】
【解析】因为幂函数
在
是减函数，又因为函数
是偶函数，所以函数在
是增函数.
故答案为：
【分析】由幂函数的性质可知函数在在
是减函数，并且根据偶函数的性质可知单调递减区间.
17.【答案】
【解析】由题可知，
时，
，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；
时，不满足f(-x)=f(x),
．
故答案为：
．
【分析】将不同的值代入，逐一验证即可.
18.【答案】
4037
【解析】函数f（x）既是二次函数又是幂函数，所以f（x）=x2
，
所以f（x）+1为偶函数；
函数g（x）是R上的奇函数，m（x）=
为定义域R上的奇函数；
函数
=
+1，
所以h（x）+h（﹣x）=[
+1]+[
+1]=[
+
]+2=2，
所以h（2018）+h（2017）+h（2016）+…+h（1）+h（0）+h（﹣1）+…h（﹣2016）+h（﹣2017）+h（﹣2018）=[h（2018）+h（﹣2018）]+[h（2017）+h（﹣2017）]+…+[h（1）+h（﹣1）]+h（0）=2+2+…+2+1=2×2018+1=4037．
故答案为：4037．
【分析】首先根据函数f（x）既是二次函数又是幂函数得出f（x）+1为偶函数，进而得知函数
为奇函数，由此得出h（x）+h（﹣x）=2，h(0)=1，进而得出结果。
四、解答题
19.【答案】
（1）解：由题意可得,
设
,
因为
的图象过点
，
所以
,
解得
.
故答案为:
（2）证明：由
知
,
任取
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
,
即
.
所以
在区间
上单调递增
【分析】
由题意可得,设
,把点
代入解析式，求出
即可.
由
知
,根据单调性的定义,任取
,作差变形得到
，定号下结论即可
20.【答案】
（1）解：设
,因为幂函数
的图象经过点（-3，-27）,所以有：
,所以
的解析式是
；
（2）解：函数
是实数集上的单调递增函数,证明如下：
设
且
.
,
因为
,所以
,
不同时为零,故
,所以有
,因此函数
是实数集上的单调递增函数.
【分析】(1)设出幂函数的解析式,把点（-3，-27）的坐标代入即可求出
的解析式；(2)运用函数的单调性的定义进行证明即可.
21.【答案】
（1）解：因为
是幂函数，所以
，解得
或
，
又因为
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
.
（2）解：由于
在区间
都是减函数，且
分三种情况讨论：
①当
，即
时，原不等式成立；
②当
且
时，有
，即
，解集为空集；
③当
且
时，有
，即
，
∴
综上所述：
的取值范围是
.
【分析】（1）由幂函数的定义可得
，再利用
在
上单调递增，即可得出
范围；（2）由于
在区间
，
上都是减函数，且
，分三种情况讨论，即可得出．
22.【答案】
（1）解：因为幂函数
，
所以
，解得
或
，
所以函数为
或
.
（2）解：①因为
图像不经过坐标原点，
所以
，
函数的单调递减区间为
，无单调递增区间.
②因为
图像经过坐标原点，
所以
，
因为
为偶函数，且在
上为增函数，
所以
，
又
在
上为增函数，
所以
，
解得
，
所以不等式的解为
.
【分析】（1）根据幂函数可得
，求出m即可（2）①根据图象不过原点确定函数解析式，写出单调区间即可②根据图象过原点确定函数解析式，利用函数单调性解不等式.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)