高中数学人教版A版必修一配套课件：2.1.2指数函数及其性质(二)（共34页PPT）

(共34张PPT)
2.1.2　指数函数及其性质(二)
第二章　
2.1
指数函数
1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断；
2.能借助指数函数性质比较大小；
3.会解简单的指数方程，不等式；
4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
　　　　新知探究
点点落实
知识点一　不同底指数函数图象的相对位置
思考　y＝2x与y＝3x都是增函数，都过点(0,1)，在同一坐标系内如何确定它们两个的相对位置？
答案
答案　经描点观察，在y轴右侧，2x＜3x，即y＝3x图象在y＝2x上方，经(0,1)点交叉，位置在y轴左侧反转，y＝2x在y＝3x图象上方.
一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，
图象的相对位置与底数大小有如下关系：
(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即
无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x＝1时，y＝a去理解，如图.
知识点二　比较幂的大小
思考　若x1＜x2，则
与
(a＞0且a≠1)大小关系如何？
答案
答案　a＞1时，y＝ax在R上为增函数，所以
＜
，
0＜a＜1时，y＝ax在R上为减函数，所以
＞
.
答案
一般地，比较幂大小的方法有：
(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的
性来判断；
(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的
的变化规律来判断；
(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过
来判断.
单调
图象
中间值
知识点三　解指数方程、不等式
思考　若
＜
，则x1，x2大小关系如何？
答案
答案　当f(x)在区间[m，n]上单调递增(减)时，若x1，x2∈[m，n]，
则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2).
此原理可用于解指数方程、指数不等式.
答案
简单指数不等式的解法：
(1)形如af(x)＞ag(x)的不等式，可借助y＝ax的
求解；
(2)形如af(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的
求解；
(3)形如ax＞bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解.
单调性
单调性
知识点四　与指数函数复合的函数单调性
答案
返回
答案
一般地，有：形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有
的定义域.
(2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有
的单调性；当0.
相同
相同
相反
题型探究
　　　　重点难点
个个击破
类型一　比较大小
例1　比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.7－2.5
,1.7－3；
解析答案
解　∵1.7＞1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数.
∵－2.5＞－3，
∴1.7－2.5＞1.7－3.
解析答案
(2)1.70.3
,1.50.3；
解　方法一　∵1.7＞1.5，
∴在(0，＋∞)上，y＝1.7x的图象位于y＝1.5x的图象的上方.
而0.3＞0，∴1.70.3＞1.50.3.
∴1.70.3＞1.50.3.
反思与感悟
解析答案
(3)1.70.3
,0.83.1.
解　∵1.70.3＞1.70＝1,0.83.1＜0.80＝1，
∴1.70.3＞0.83.1.
反思与感悟
当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和±1.
解析答案
跟踪训练1　比较下列各题中的两个值的大小.
(1)0.8－0.1
,1.250.2；
解　∵0＜0.8＜1，
∴y＝0.8x在R上是减函数.
∵－0.2＜－0.1，
∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
即0.8－0.1＜1.250.2.
解析答案
类型二　解指数方程
例2　解下列关于x的方程：
解析答案
∴32x＋4＝3－2(x＋2)，
∴2x＋4＝－2(x＋2)，
∴x＝－2.
解析答案
(2)22x＋2＋3×2x－1＝0.
解　∵22x＋2＋3×2x－1＝0，
∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0.
令t＝2x(t＞0)，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，
反思与感悟
反思与感悟
1.af(x)＝b型通常化为同底来解.
2.解指数方程时常用换元法，用换元法时要特别注意“元”的范围.转化为解二次方程，用二次方程求解时，要注意二次方程根的取舍.
解析答案
跟踪训练2　已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)，若f
[g(1)]＝1，则a等于(　　)
A.1
B.2
C.3
D.－1
解析　∵g(x)＝ax2－x，
∴g(1)＝a－1.
∵f(x)＝5|x|，
∴f
[g(1)]＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，
∴|a－1|＝0，
∴a＝1.
A
类型三　解指数不等式
例3　解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1).
解析答案
解　(1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，∵a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，当0当a>1时，不等式的解集为{x|x≤－6}.
反思与感悟
反思与感悟
解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.
解析答案
跟踪训练3　已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________.
类型四　与指数函数复合的单调性问题
解析答案
反思与感悟
证明　设x1，x2∈R，且x1反思与感悟
则
由于指数函数y＝2x在R上是增函数，
且x1即
又由2x>0得
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数.
反思与感悟
此类型题目单调性证明过程中，在对差式正负判断时，利用指数函数的值域及单调性.
解析答案
跟踪训练4　已知函数f(x)＝2ax＋2(a为常数).
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若a>0，试证明函数f(x)在R上是增函数；
解　函数f(x)＝2ax＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R.
解　任取x1，x2∈R，且x1由a>0得ax1＋2因为y＝2x在R上是增函数，
所以有
即f(x1)所以函数f(x)在R上是增函数.
解析答案
返回
(3)当a＝1时，求函数y＝f(x)，x∈(－1,3]的值域.
解　由(2)知当a＝1时，f(x)＝2x＋2在(－1,3]上是增函数.
所以f(－1)所以函数f(x)的值域为(2,32].
1
2
3
达标检测
　　　　
4
5
1.若
则a、b、c的大小关系是(　　)
A.a＞b＞c
B.a＜b＜c
C.a＜c＜b
D.b＜c＜a
解析答案
B
1
2
3
4
5
解析答案
B
1
2
3
4
5
3.设0＜a＜1，则关于x的不等式
的解集为________.
解析答案
解析　∵0＜a＜1，∴y＝ax在R上是减函数，
又∵
∴2x2－3x+2
＜
2x2+2x－3解得x＞1.
(1，＋∞)
1
2
3
4
5
4.若指数函数y＝ax
在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a＝________.
解析　若0若a>1，则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0，
解析答案
1
2
3
4
5
5.用函数单调性定义证明a＞1时，y＝ax是增函数.
解析答案
证明　设x1，x2∈R且x1＜x2，并令x2＝x1＋h(h＞0)，
则有
∵a＞1，h＞0，
即
故y＝ax(a＞1)为R上的增函数.
规律与方法
1.比较两个指数式值的大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2.解简单指数不等式问题的注意点
(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解.如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解.
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