江苏省南通市2021届高三上学期期中模拟考试数学试卷 Word版含答案

江苏省南通市2021届期中模拟考试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合
A．
B．
C．
D．
2．在复平面内,复数6－5i,－2＋3i对应的点分别为A、B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(
)
A.4＋8i
B.8＋2i
C.2－i
D.4＋i
3．已知函数false
(P为自然对数的底数)，若false
false，则
A．false
B．false
C．false
D．false
4．在false中，false，false，若false，则（
）
A．false
B．false
C．false
D．false
5．函数false的图象大致是
false
false
false
false
false
7．考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为false，false，false所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：false，false，false若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数false，则false的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为false　　false
A．false
B．false
C．false
D．false
8．已知false，则
A．M的最小值为false
B．M的最小值为false
C．M的最小值为false
D．M的最小值为false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．设false是等差数列，false是其公差，false是其前false项和.若false则下列结论正确的是(
)
false
false
false
false
10．关于函数false有下列命题，其中正确的是
A．false是以false为最小正周期的周期函数
B．false的表达式可改写为false
C．false的图象关于直线false对称
D．false的图象关于点false对称
11．设false，false是抛物线false上的两点，false是坐标原点，下列结论成立的是false　　false
A．若false，则false
B．若false，直线false过定点false
C．若false，false到直线false的距离不大于1
D．若直线false过抛物线的焦点false，且false，则false
12．已知函数false是定义在false上的奇函数，当false时，false，则下列命题正确的是false　　false
A．当false时，false
B．函数false有3个零点
C．false的解集为false，false，false
D．false，false，都有false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．已知的展开式中的系数为40，则实数a的值为________.
14．二项式false的展开式中的常数项是　　．（用数字作答）
15．若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为　　．
16．函数y＝f(x)图象上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线的斜率分别是kA,kB,规定φ(A,B)＝叫做曲线y＝f(x)在点A、B之间的“平方弯曲度”.设曲线y＝ex＋x上不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1－x2＝1,则φ(A,B)的取值范围是__
__.
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知等比数列false满足false，false，false成等差数列，且false；等差数列false的前false项和false．求：
（1）false，false；
（2）数列false的前项和false．
18．(本小题满分12分)
已知在false中，false、false、false分别为角false、false、false的对边，且false．
（1）求角false的值；
（2）若false，设角false，false周长为false，求false的最大值．
19．(本小题满分12分)
某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为false，继续排气4分钟后又测得浓度为false.由检验知该地下车库一氧化碳浓度false与排气时间t(分钟)之间存在函数关系false
(false为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于false为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?
20．(本小题满分12分)
某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在false之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：
将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．
（1）求false的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在false，false，false，false内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量false，求false的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列false列联表，并判断是否有false的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
属于“高消费群”
不属于“高消费群”
合计
男
女
合计
（参考公式：false，其中false
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．(本小题满分12分)
已知false，false分别为椭圆false的左、右焦点，false为false上的动点，其中false到false的最短距离为1，且当△false的面积最大时，△false恰好为等边三角形．
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆false的外切圆为false．
false求圆false的方程；
false在平面内是否存在定点false，使得以false为直径的圆与false相切，若存在求出定点false的坐标；若不存在，请说明理由
22．(本小题满分12分)
已知函数false．
（1）当false时，设函数false的最小值为false（a），证明：false（a）false；
（2）若函数false有两个极值点false，false，证明：false．
江苏省南通市2021届期中模拟考试
数学参考答案
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
B
2.
C
3．B
4．D
5.
A
6.D
8.
D
7.C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.
ABD
10.BD
11.false
12.
false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13.
3
14.
60
15.
false
16.
false
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.
解：（1）设false的公比为false．
因为false，false，false成等差数列，
所以false，即false．
因为false，所以false．
因为false，所以false．
因此false．
由题意，false．
所以false，false，从而false．
所以false的公差false．
所以false．
（2）令false，则false．
因此false．
又false
两式相减得false．
所以false．
18.
解：（1）由已知false可得false，
结合正弦定理可得false，
false，
又false，false．
（2）由false，false．及正弦定理得false，
false，false，
故false，false
false
由false，得false，
false当false，即false时，false．
19.解（1）由题意可列方程组false两式相除，解昨false
（2）由题意可列不等式false，
所以false，解得false.
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态
20.
解：（1）由题意知false，解得false，
样本平均数为false元．
（2）由题意，从false，false中抽取7人，从false，false中抽取3人，
随机变量false的所有可能取值有0，1，2，3．
false，1，2，false所以随机变量false的分布列为：
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
随机变量false的数学期望false．
（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下false列联表：
属于“高消费群”
不属于“高消费群”
合计
男生
15
25
40
女生
10
50
60
合计
25
75
100
false，
所以有false的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．
21.
解：（1）由题意可得：false，面积最大时false为短轴的顶点，再由△false恰好为等边三角形，可得false，false，
解得：false，false，
所以椭圆的标准方程为：false；
（2）false由（1）得圆false的圆心坐标为false，半径为false，
所以圆false的方程为：false；
false解法一：假设存在满足条件的定点false，
由题意可知定点false必在false轴上，设false，false，false，则false，
由false可知，圆false的圆心为坐标原点false，半径为2，
设以false为直径的圆的圆心为false，半径为false，则false为线段false的中点，
false，即false，false，false，
因为圆false与圆false相切，则false，
所以false，其中false，
两边平方并整理得：false，化简得false，
上式对任意false，false恒成立，
故false，解得false，
所以，当定点false恰好为椭圆的焦点时，符合题意．
解法二：存在满足条件的定点false，
由题意可知，当false为长轴的端点时，false即为切点，因此，定点false必在false轴上，设false，false，false，则false，
由false可知，圆false的圆心为坐标原点false，半径为2，
设以false为直径的圆的圆心为false，半径为false，则false为线段false的中点，则false，
即false，false，false，
因为圆false与圆false相切，则false，
所以false，
整理得false，
设false，则false，
又因为false在椭圆false上，设false，false分别为椭圆的左右焦点，
false，
故false，false分别与false，false重合，
所以当定点false恰好为椭圆的false的焦点时，符合题意．
解法三：假设存在满足条件的定点false，由题意可知定点false必在false轴上，
由false可知，圆false的圆心为坐标原点false，半径为2，
设以false为直径的圆的圆心为false，半径为false，则false为线段false的中点，则false，
因为圆false与圆false相切，则false，即false，
所以false，
设false为false关于原点对称点，则false恰好为△false的中位线，
所以false，
所以false，下同解法二；
解法四：假设存在满足条件的定点false，设false，false，false，则false
由false可知，圆false的圆心为坐标原点false，半径为2，
设以false为直径的圆的圆心为false，半径为false，则false为线段false的中点，则false，即false，false，false，
因为圆false与圆false相切，则false，
所以false，
整理得false，
设false，因此false，下同解法一．
22.
证明：（1）false，
令false，解得false，
当false时，false，
当false时，false，
false，
false（a）false，
令false，false，
令false，解得false，
false当false时，false，
当false时，false，
false（1）false，
false，
false当false时，false（a）false；
（2）false，false，
令false，false，
令false，解得false，
当false时，false，
当false时，false，
false，
又函数false有两个极值点，
false，
false，且false，
当false时，false单调递增，
当false，false时，false单调递减，
false当false时，false
又false，
false，
falsefalse，
令false，false
令false，false，
false在false，false上单调递增，
false，
false在false，false上单调递增，
false，
false，
falsefalse即false，
false．
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日期：2020/10/28
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