人教版八年级数学上册13.3.1 等腰三角形课件(2课时，共41张PPT)

(共41张PPT)
13.3
等腰三角形
学习目标：
1．探索并证明等腰三角形的性质及判定．
　2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．
　3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴
对称在研究几何问题中的作用．
学习重点：
探索并证明等腰三角形性质与判定．
　　如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并
剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC
有什么特点？
探索并证明等腰三角形的性质
A
B
C
D
探索并证明等腰三角形的性质
　　仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这
个等腰三角形有什么特征吗？
　　
等腰三角形的特征:
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
　
　　
边上的高互相重合．
探索并证明等腰三角形的性质
　　同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各
异，是否都具有上述所概括的特征？
探索并证明等腰三角形的性质
　　在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，
折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出
等腰三角形的性质吗？
探索并证明等腰三角形的性质
探索并证明等腰三角形的性质
　　
等腰三角形的性质:
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合．
　　利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角
形的性质1和性质2．对于性质1，你能通过严格的逻辑
推理证明这个结论吗？
（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？
（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思
路是什么？
（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形
呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？
探索并证明等腰三角形的性质
　　已知：如图，△ABC
中，AB
=AC．求证：∠B
=
∠C．
探索并证明等腰三角形的性质
A
Ｂ
C
D
　　证明：作底边的中线AD．
　　∵　AB
=AC，
　　
BD
=CD，
　　　
AD
=AD，
　　∴　△ABD
≌△ACD（SSS）．
　　∴　∠B
=∠C．
　　你还有其他方法证明性质1吗？
探索并证明等腰三角形的性质
　　可以作底边的高线或顶角的角平分线.
A
Ｂ
C
D
　　性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三
角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．
探索并证明等腰三角形的性质
　　已知：如图，△ABC
中，AB
=AC，AD
是底边BC
的中线．求证：∠BAD
=∠CAD，AD⊥BC．
探索并证明等腰三角形的性质
A
Ｂ
C
D
　　证明：∵　AD
是底边BC
的中线，
　　∴　BD
=CD．
∵　AB
=AC，
　　
BD
=CD，
　　　
AD
=AD，
　　∴　△ABD
≌△ACD（SSS）．
探索并证明等腰三角形的性质
　　已知：如图，△ABC
中，AB
=AC，AD
是底边BC
的中线．求证：∠BAD
=∠CAD，AD⊥BC．
A
Ｂ
C
D
　　证明：∴　∠BAD
=∠CAD，
∠ADB
=∠ADC．
∵　∠ADB
+∠ADC
=180°，
∴　∠ADB
=90°．
∴　AD⊥BC．
探索并证明等腰三角形的性质
　　在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折
痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发
现等腰三角形具有什么特征？
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．
课堂练习
　　练习1　填空：
（1）如图，△ABC
中,
AB
=AC,
∠A
=36°,
则∠B
=
°；
A
B
C
课堂练习
　　练习1　填空：
（2）如图，△ABC
中,
AB
=AC,
∠B
=36°,
则∠A
=
°；
A
B
C
课堂练习
　　练习1　填空：
（3）已知等腰三角形的一个内角为70°,则它的另外两
个内角的度数分别是
.
课堂练习
　　练习2　如图，△ABC
是等腰直角三角形（AB
=
AC，∠BAC
=90°），AD
是底边BC
上的高，标出∠B，
∠C，∠BAD，∠DAC
的度数，并写出图中所有相等的
线段.
A
B
C
D
课堂练习
　　练习3　如图，△ABC
中，AB
=AC，点D
在AC
上，
且BD
=BC
=AD．求△ABC
各角的度数．
A
B
C
D
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？
（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的
方法？
课堂小结
　　问题　等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命
题的题设和结论分别是什么？
　　性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等．
　　结论：这两条边所对的角相等．
探索等腰三角形的判定定理
　　作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一
个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等．
探索等腰三角形的判定定理
　　思考　性质定理证明方法是什么？
探索等腰三角形的判定定理
　　问题　一个三角形满足什么条件是等腰三角形？
这两个角所对的边相等．　　
探索等腰三角形的判定定理
　　思考1　如果一个三角形有两个角相等，那么这两
个角所对的边有什么关系？
　　题设：一个三角形有两个角相等．
　　结论：这两个角所对的边相等．
探索等腰三角形的判定定理
　　思考2　这个命题的题设和结论又分别是什么呢？
如何证明这个命题？
探索等腰三角形的判定定理
　　问题　类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能
选择一种来证明这个命题吗？
　　证明：过A
点作AE⊥BC，垂足为E.
　　在△ABE
和△ACE
中，
A
B
C
E
探索等腰三角形的判定定理
∠B
=∠C，
∠AEB
=
∠AEC
=
90°，
AE
=
AE，
∴
△ABE
≌△ACE
．
∴
AB
=
AC
．
　　追问　你还有其他证明方法吗？
　
已知：如图，在△ABC
中，∠B
=∠C.
求证：AB
=AC．
不能．　　
探索等腰三角形的判定定理
　　思考　能作底边BC
上的中线吗？
　　思考　与等腰三角形性质进
行比较看有什么区别？
探索等腰三角形的判定定理
　　等腰三角形的判定方法：
　　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等（简写成“等角对等边”）．
A
B
C
符号语言：
∵　在△ABC
中，∠B
=∠C，
∴　AB
=AC．
A
B
C
D
共有3个等腰三角形．
（证明略）　　
课堂练习
　　练习1　如图，∠A
=36°，∠DBC
=36°，∠C
=
72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个
等腰三角形给予证明．
巩固等腰三角形的判定定理
　　例1　求证：如果三角形一个外角的平分线平行于
三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
巩固等腰三角形的判定定理
　　已知：∠CAE
是△ABC
的外角，∠1
=∠2，AD∥
BC．
　　求证：AB
=AC.
A
B
C
D
E
1
2
巩固等腰三角形的判定定理
（1）AB、AC
在同一个三角形中，
应选择“等角对等边”；
（2）建立三角形的外角和与之不相
邻的内角关系；
（3）利用平行转移已知角；最终使
得相等的角转化到同一个三角
形中.
　　追问　要证明AB
=AC，应如何选择证明方法？
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵　AD∥BC
，
∴　∠1
=∠B
（
　　
），
∠2
=∠C
（
　　）．
巩固等腰三角形的判定定理
　　已知：∠CAE
是△ABC
的外角，∠1
=∠2，AD∥
BC．
　　求证：AB
=AC.
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
A
B
C
D
E
1
2
等边对等角
巩固等腰三角形的判定定理
　　已知：∠CAE
是△ABC
的外角，∠1
=∠2，AD∥
BC．
　　求证：AB
=AC.
证明：∵　∠1
=∠2，
∴　∠B
=∠C．
∴　AB
=AC
（
　）．
A
B
C
D
E
1
2
D
C
巩固等腰三角形的判定定理
　　例2　已知等腰三角形底边长为a
，底边上的高的
长为h
，求作这个等腰三角形.
　　作法：
（1）作线段AB
=a；
（2）作线段AB
的垂直平分线MN，与
AB
相交于点D；
（3）在MN上取一点C，使DC
=h；
（4）连接AC，BC，则△ABC
就是所
求作的等腰三角形.
A
B
M
N
课堂练习
　
练习2　如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，
重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
课堂练习
　
练习3　求证：如果三角形一条边上的中线等于这
条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
课堂练习
　
练习4　如图，AC
和BD
相交于点O，且AB∥DC，
OA
=OB．求证：OC
=OD．
A
B
C
D
O
（1）本节课学习了哪些内容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？
（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判
定的区别和联系．
课堂小结