15.3 分式方程-2020-2021数学八上同步课堂帮帮帮（含解析）
文档属性
| 名称 | 15.3 分式方程-2020-2021数学八上同步课堂帮帮帮（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-30 18:55:07 | ||
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文档简介
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15.3 分式方程
目标梳理
学习目标 重点难点
1．了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法
3．理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法
4．理解实际问题中的数量关系
5．在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题 1．重点：分式方程的解法，分式方程的应用
2．难点：分式方程的应用
知识梳理
一、分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做__________．
【归纳】1．分式方程的重要特征：（1）含有分母；（2）分母中含有未知数；（3）是方程．
2．方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．
3．分母中含有字母的方程未必是分式方程．
二、分式方程的解法
1．解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
2．解分式方程的一般方法和步骤：
（1）去分母：方程两边同乘__________，把分式方程化为整式方程；
（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．21cnjy.com
简称为一化，二解，三检验．
3．解分式方程产生不适合原方程解的原因：
在将分式方程化为_??????????¨???????_未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．21·cn·jy·com
三、分式方程的应用
分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．2·1·c·n·j·y
一、分式方程 二、最简公分母
重点梳理
【重点01】分式方程的解法
检验的方法
（1）直接检验法：是将解的值分别_??????????????????_程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．
（2）公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．公分母检验法比较简单，因此被广泛运用．
【重点02】分式方程的应用
（1）在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）在一些实际问题_??????????????????_设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数．
【重点03】含有字母系数的分式方程的解法
解含有字母系数的分式方程的方法：
解含有字母系数的分式方程和解含有实数系数的分式方程一样，均是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后检验．www.21-cn-jy.com
但要注意：（1）去分母时方程两边乘最简公分母，需验证最简公分母是否等于0；
（2）在将系数化为1时，要注意分类讨论系数是不是0．
例1 解方程时，去分母得
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】观察可得最简公分_?????????x-1_）（x-3），方程两边都乘最简公分母，即可把分式方程转换为整式方程．方程两边同乘（x-1）（x-3）得（x-1）（x-3）+2（x-3）=（x-5）（x-1），故选C．21世纪教育网版权所有
例2 方程的解是
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【解析】去分母得：2（x+2）=x，
去括号，移项合并得：x=–4，
经检验x=–4是分式方程的解．
原方程的解是x=–4，
故选D．
例3 为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设甲型机器人每台万元，根据题意，可得，
故选A．
例4 甲、_?????¤??§?????????_中心火车站A，B两站相距360 km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
【解析】设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得：，
解得：x=90，
经检验得：x=90是这个分式方程的解．
x+54=144．
答：特快列车的平均速度为90 km/h，动车的速度为144 km/h．
例5 若关于x的方程有正数解，则
A．m>0且m≠3 B．m<6且m≠3 C．m<0 D．m>6
【答案】B
【解析】将方程的两边同时乘以（x-3）可得：x-2（x-3）=m，解得：x=6-m，根据解为正数可得：且，则：且，解得：且．www-2-1-cnjy-com
1．下面是分式方程的是
A． B．
C． D．
2．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是
A．x+2=3 B．x-2=3
C．x-2=3（2x-1） D．x+2=3（2x-1）
3．分式方程的解为
A． B． C． D．
4．若x=4是分式方程的根，则a的值为
A．6 B．-6 C．4 D．-4
5．小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为21·世纪*教育网
A． B．
C． D．
6．方程的解是
A．无解 B． C． D．
7．关于的分式方程的解为
A． B． C．2 D．3
8．解分式方程时，去分母变形正确的是
A． B．
C． D．
9．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为
A． B．且
C． D．且
10．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．分式方程去分母时，两边都乘以__________．
12．解分式方程的解是__________．
13．关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为__________．
14． 分式方程：的解为__________．
15． 定义：，则方程的解为__________．
16． 若关于的分式方程有增根，则的值为__________．
17． 甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早分钟到达地，则甲车的速度为__________km/h．21教育网
1．【答案】D
【解析】A、不是方程，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
C、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确．故选D．
2．【答案】C
【解析】方程两边都乘以（2x-1），得x-2=3（2x-1），故选C．
3．【答案】A
【解析】根据分式方程的解法去分母得x（x–5）+2（x–1）=x（x–1），
化简得2x=–2，解得x=–1，故选A．
4．【答案】A
【解析】由题意得：=，解得：a=6，故选A．
5．【答案】A
【解析】找到等量关系为两人买的笔记本数量，，故选A．
6．【答案】C
【解析】方程两边同时乘以（x+1），得1=x+1，解得：，
检验：当时，x+1≠0，
∴方程的根是，故选C．
7．【答案】B
【解析】去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，故选B．
8．【答案】D
【解析】去分母得：，故选D．
9．【答案】B
【解析】∵，∴，∴，
∵该分式方程有解，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴且，故选B．
10．【答案】A
【解析】，
方程两边同乘以，得，
移项及合并同类项，得，
∵分式方程的解是非正数，，
∴，解得，故选A．
11．【答案】（x+2）（x?2）
【解析】方程两边都乘最简公分母（x+2）（x?2）．故答案为：（x+2）（x?2）．
12．【答案】x=-1
【解析】两边同_??????????????????_母（x+2）（x+4）整理成整式方程为：x+4=3x+6，解得x=-1，经检验x=-1是方程的解，故答案为：x=-1．2-1-c-n-j-y
13．【答案】且
【解析】，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项及合并同类项，得，
∵关于的分式方程的解为非负数，，
∴，解得且，
故答案为：且．
14．【答案】
【解析】去分母得：4–x=x2–4x，即x2–3x–4=0，解得：x=4或x=–1，
经检验x=4是增根，分式方程的解为x=–1，故答案为：x=–1．
15．【答案】
【解析】∵，∴，∴，∴，
经检验：是原方程的解，故答案为：．
16．【答案】3
【解析】去分母得3x–（x–2）=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3，
∴m=3．故答案为：3．
17．【答案】80
【解析】设甲车的速度为x km/h，则乙车的速度为 km/h，
依题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，故答案为：80．
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15.3 分式方程
目标梳理
学习目标 重点难点
1．了解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本思路 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法
3．理解分式方程无解的原因，掌握分式方程验根的方法
4．理解实际问题中的数量关系
5．在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题 1．重点：分式方程的解法，分式方程的应用
2．难点：分式方程的应用
知识梳理
一、分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做__________．
【归纳】1．分式方程的重要特征：（1）含有分母；（2）分母中含有未知数；（3）是方程．
2．方程的分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别．
3．分母中含有字母的方程未必是分式方程．
二、分式方程的解法
1．解分式方程的基本思想：
把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解．
2．解分式方程的一般方法和步骤：
（1）去分母：方程两边同乘__________，把分式方程化为整式方程；
（2）解整式方程：去括号、移项、合并同类项等等；
（3）检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．21cnjy.com
简称为一化，二解，三检验．
3．解分式方程产生不适合原方程解的原因：
在将分式方程化为_??????????¨???????_未知数的取值范围被增大了，对于整式方程来说，求出的解成立，而对于原分式方程来说，当分母为零时，分式无意义，所以这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解．21·cn·jy·com
三、分式方程的应用
分式方程的应用基本思路和方法：
一审：审清题意，弄清已知量和未知量；
二找：找出等量关系；
三设：设未知数；
四列：列出分式方程；
五解：解这个方程；
六验：检验，既要检验所求得的解是不是所列分式方程的解，又要检验所求得的解是否符合实际问题的要求；
七答：写出答案．
在上述过程中，关键步骤是根据题意寻找“等量关系”，进而列出分式方程，求解时注意必须检验求出的值是不是所列分式方程的解，且是否符合实际意义．2·1·c·n·j·y
一、分式方程 二、最简公分母
重点梳理
【重点01】分式方程的解法
检验的方法
（1）直接检验法：是将解的值分别_??????????????????_程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．
（2）公分母检验法：是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解．公分母检验法比较简单，因此被广泛运用．
【重点02】分式方程的应用
（1）在实际问题中，有时题目中包含多个等量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部（或大部分）题意的等量关系列方程．【来源：21·世纪·教育·网】
（2）在一些实际问题_??????????????????_设出题中所求的未知数可能比较麻烦，可以间接地设末知数；有时设一个未知数不容易表示等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数．
【重点03】含有字母系数的分式方程的解法
解含有字母系数的分式方程的方法：
解含有字母系数的分式方程和解含有实数系数的分式方程一样，均是先通过去分母将分式方程转化为整式方程，然后解这个整式方程，最后检验．www.21-cn-jy.com
但要注意：（1）去分母时方程两边乘最简公分母，需验证最简公分母是否等于0；
（2）在将系数化为1时，要注意分类讨论系数是不是0．
例1 解方程时，去分母得
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】观察可得最简公分_?????????x-1_）（x-3），方程两边都乘最简公分母，即可把分式方程转换为整式方程．方程两边同乘（x-1）（x-3）得（x-1）（x-3）+2（x-3）=（x-5）（x-1），故选C．21世纪教育网版权所有
例2 方程的解是
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【解析】去分母得：2（x+2）=x，
去括号，移项合并得：x=–4，
经检验x=–4是分式方程的解．
原方程的解是x=–4，
故选D．
例3 为推进垃圾分类，推动绿色发展．某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用万元购买甲型机器人和用万元购买乙型机器人的台数相同，两型号机器人的单价和为万元．若设甲型机器人每台万元，根据题意，所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设甲型机器人每台万元，根据题意，可得，
故选A．
例4 甲、_?????¤??§?????????_中心火车站A，B两站相距360 km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？
【解析】设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的速度为（x+54）km/h，
由题意，得：，
解得：x=90，
经检验得：x=90是这个分式方程的解．
x+54=144．
答：特快列车的平均速度为90 km/h，动车的速度为144 km/h．
例5 若关于x的方程有正数解，则
A．m>0且m≠3 B．m<6且m≠3 C．m<0 D．m>6
【答案】B
【解析】将方程的两边同时乘以（x-3）可得：x-2（x-3）=m，解得：x=6-m，根据解为正数可得：且，则：且，解得：且．www-2-1-cnjy-com
1．下面是分式方程的是
A． B．
C． D．
2．解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是
A．x+2=3 B．x-2=3
C．x-2=3（2x-1） D．x+2=3（2x-1）
3．分式方程的解为
A． B． C． D．
4．若x=4是分式方程的根，则a的值为
A．6 B．-6 C．4 D．-4
5．小明15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为21·世纪*教育网
A． B．
C． D．
6．方程的解是
A．无解 B． C． D．
7．关于的分式方程的解为
A． B． C．2 D．3
8．解分式方程时，去分母变形正确的是
A． B．
C． D．
9．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为
A． B．且
C． D．且
10．已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是
A． B． C． D．
11．分式方程去分母时，两边都乘以__________．
12．解分式方程的解是__________．
13．关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为__________．
14． 分式方程：的解为__________．
15． 定义：，则方程的解为__________．
16． 若关于的分式方程有增根，则的值为__________．
17． 甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早分钟到达地，则甲车的速度为__________km/h．21教育网
1．【答案】D
【解析】A、不是方程，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
C、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确．故选D．
2．【答案】C
【解析】方程两边都乘以（2x-1），得x-2=3（2x-1），故选C．
3．【答案】A
【解析】根据分式方程的解法去分母得x（x–5）+2（x–1）=x（x–1），
化简得2x=–2，解得x=–1，故选A．
4．【答案】A
【解析】由题意得：=，解得：a=6，故选A．
5．【答案】A
【解析】找到等量关系为两人买的笔记本数量，，故选A．
6．【答案】C
【解析】方程两边同时乘以（x+1），得1=x+1，解得：，
检验：当时，x+1≠0，
∴方程的根是，故选C．
7．【答案】B
【解析】去分母得：，解得：，
经检验是分式方程的解，故选B．
8．【答案】D
【解析】去分母得：，故选D．
9．【答案】B
【解析】∵，∴，∴，
∵该分式方程有解，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴且，故选B．
10．【答案】A
【解析】，
方程两边同乘以，得，
移项及合并同类项，得，
∵分式方程的解是非正数，，
∴，解得，故选A．
11．【答案】（x+2）（x?2）
【解析】方程两边都乘最简公分母（x+2）（x?2）．故答案为：（x+2）（x?2）．
12．【答案】x=-1
【解析】两边同_??????????????????_母（x+2）（x+4）整理成整式方程为：x+4=3x+6，解得x=-1，经检验x=-1是方程的解，故答案为：x=-1．2-1-c-n-j-y
13．【答案】且
【解析】，
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项及合并同类项，得，
∵关于的分式方程的解为非负数，，
∴，解得且，
故答案为：且．
14．【答案】
【解析】去分母得：4–x=x2–4x，即x2–3x–4=0，解得：x=4或x=–1，
经检验x=4是增根，分式方程的解为x=–1，故答案为：x=–1．
15．【答案】
【解析】∵，∴，∴，∴，
经检验：是原方程的解，故答案为：．
16．【答案】3
【解析】去分母得3x–（x–2）=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3，
∴m=3．故答案为：3．
17．【答案】80
【解析】设甲车的速度为x km/h，则乙车的速度为 km/h，
依题意，得，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，故答案为：80．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_