11.1 与三角形有关的线段-2020-2021数学八上同步课堂帮帮帮（人教版）
文档属性
| 名称 | 11.1 与三角形有关的线段-2020-2021数学八上同步课堂帮帮帮（人教版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-30 18:02:50 | ||
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文档简介
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11.1 与三角形有关的线段
目标梳理
学习目标 重点难点
1．认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类. 2．掌握三角形的高，中线及角平分线的概念。
3．掌握三角形的高，中线及角平分线的画法。
4．了解三角形的稳定性。
5．了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用。 1．重点：三角形的高、中线与角平分线；三角形的分类
2．难点：三角形的三边关系；三角形的高的位置
知识梳理
一、三角形有关概念
1．三角形的定义：由不在同一_??????????????????_条线段___________组成的图形叫做三角形．
2．三角形的基本元素：
（1）三角形的三条边：即组成三角形的___________．
（2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的___________；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的___________．
（3）三角形的顶点：即相邻两边的___________．
3．三角形的特征：
（1）三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个___________的图形．
4．三角形的符号：
三角形用符号“__________”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“__________”，读作“__________”．
【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；
②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示．21·cn·jy·com
③平时所说的三角形的角是指三角形的内角．
④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等．
二、三角形的分类
1．按___________分类：
2．按___________分类：
【注意】三角形的两种分类方法是_???è??????????????_同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．
三、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和___________第三边．
推论：三角形任意两边之差___________第三边．
四、三角形的高、中线、角平分线
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
定义 如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高．
如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．
如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线．
推理语言 ∵是的高，
∴，
（或）． ∵是的中线，
∴． ∵是的角平分线，
∴．
用途举例 （1）得到线段垂直；
（2）得到角相等． （1）得到线段相等；
（2）得到面积相等． 得到角相等．
线段在图中的位置 锐角三角形 三条高全在三角形内． 三条中线全在三角形内． 三条角平分线全在三角形内．
直角三角形 三角形内一条，另外两条与两直角边重合．
钝角三角形 三角形内一条，三角形外两条．
线段（或其所在直线）的交点位置 锐角三角形 交点在三角形内． 三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）． 交点在三角形内．
直角三角形 交点在直角顶点处．
钝角三角形 交点在三角形外．
共同点 每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段．
五、三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的___________．21世纪教育网版权所有
一、1．首尾顺次相接 2．线段，内角，外角，公共端点 3．封闭 4．△，△ABC，三角形ABCwww.21-cn-jy.com
二、1．边2．角 三、大于，小于 五、稳定性
重点梳理
【重点01】三角形及其相关概念
1．三角形
（1）概念：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形用符号“△”表示．
（2）图形：顶点是，，的三角形，记作，读作“三角形”．
2．三角形的顶点、边和角
组成三角形的线段叫做三角形的边，（线段AB，线段BC，线段CA）
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，（顶点A，顶点B，顶点C）
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（，，）
的三边有时也用，，表示，如上图中，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示．2·1·c·n·j·y
【重点02】三角形的分类
（1）一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角．
（2）从角的方面判断一个三角形的形状的方法：
①若最大内角为锐角，则该三角形是锐角三角形；
②若最大内角为直角，则该三角形是直角三角形；
③若最大内角为钝角，则该三角形是纯角三角形．
【重点03】三角形的三边关系
（1）在中，，，为三边长，则有，，．
（2）在中，，，为三边长，则有，，．
（3）应用：①判断三条线段能否组成三角形；
②已知三角形的两边，求第三边的取值范围．
【重点04】三角形的高、中线与角平分线
（1）三角形的高：从三角形的一_???é??????????????_对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
（2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
（3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．【来源：21·世纪·教育·网】
例1 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.
例2 如图所_?¤??????¨???AB_C中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为_____．www-2-1-cnjy-com
当BP垂直AC时,BP有最小值
由面积公式 AD·BC＝ BP·AC
所以BP＝ ＝4×(3×2) × ＝
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)，求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
例3 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
例4 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(1) 如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2) 能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？
解 ：(1) 设各边的长为x厘米，则腰长为2x厘米，
由题意得：x+2x+2x=18
解得x=3.6 ，
所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.
(2) 因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论。
(a) 如果4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4+2x=18，解得x=7.
(b) 如果4厘米长为腰，设底边长为x厘米，则24+x=18， 解得x=10.
因为4+4＜10，_?????°??¤è??????°?_于第三边的情况，所以不能围成腰长为4厘米的等腰三角形. 由以上结论可知，可以围成底边长是4厘米的等腰三角形.2-1-c-n-j-y
1．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．2 cm，3 cm，4 cm B．3 cm，6 cm，7 cm
C．2 cm，2 cm，6 cm D．5 cm，6 cm，7 cm
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，10
C．5，5，11 D．5，6，11
3．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
5．已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
6. 在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
7. 如图, AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
8．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．21·世纪*教育网
9．如图，已知CD是△ABC的高，CM是△ABC的中线．
（1）若△ABC的面积为40，求△AMC的面积；
（2）若△AMC的面积为12，且AM边上的高为4，求AB的长度．
10. 等腰三角形的周长为20厘米.
(1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长；
(2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.
1．【答案】C
【解析】A、2+3>4，能组成三角形；B、3+6>7，能组成三角形；
C、2+2<6，不能组成三角形；D、5+6>7，能够组成三角形．故选C．
2．【答案】B
【解析】A选项，3+4=7<8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形；
B选项，5+6=11>10，10-5<6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形；
C选项，5+5=10<11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形；
D选项，5+6=11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形，故选B．
3．【答案】C
【解析】设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C．
4．【答案】C
【解析】由三角形三边关系定理得：5-35．【答案】D
【解析】①若n+2∴正整数n有6个：4，5，6，7，8，9；
②若n+2<3n≤n+8，则，解得，即2∴正整数n有2个：3和4，
综上所述，满足条件的n的值有7个，故选D．
6. 解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
7. 解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
8．【解析】设△ABC是等腰三角形，BC为底边，D是AC的中点，AB=x cm，BC=y cm．
（1）当AB＋AD=9 cm时，
有，解得，
6+6=12，不符合三角形三边关系，舍去．
（2）当AB＋AD=15 cm时，
有，解得，
4+10<10，符合三角形三边关系，符合题意．21教育网
综上可得，所求等腰三角形的腰长为10 cm，底边的长为4 cm．
9．【解析】（1）因为CM是△ABC的边AB上的中线，
所以S△AMC=S△ABC=×40=20．
（2）因为S△AMC=S△ABC，S△AMC=12，CD=4，
所以S△ABC=24=AB·CD=2AB，所以AB=12．
10. 解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米.
x + 2x + 2x = 20， 解得 x = 4.21cnjy.com
所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.
(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7；
如果6厘米长的边为腰，设底边长为x 厘米，则2×6 + x = 20，解得x = 8.
由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.
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11.1 与三角形有关的线段
目标梳理
学习目标 重点难点
1．认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类. 2．掌握三角形的高，中线及角平分线的概念。
3．掌握三角形的高，中线及角平分线的画法。
4．了解三角形的稳定性。
5．了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的应用。 1．重点：三角形的高、中线与角平分线；三角形的分类
2．难点：三角形的三边关系；三角形的高的位置
知识梳理
一、三角形有关概念
1．三角形的定义：由不在同一_??????????????????_条线段___________组成的图形叫做三角形．
2．三角形的基本元素：
（1）三角形的三条边：即组成三角形的___________．
（2）三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的___________；三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的___________．
（3）三角形的顶点：即相邻两边的___________．
3．三角形的特征：
（1）三条线段不在同一直线上，且首尾顺次相接；
（2）三角形是一个___________的图形．
4．三角形的符号：
三角形用符号“__________”表示．顶点是A、B、C的三角形，记作“__________”，读作“__________”．
【注意】①△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义；
②三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示．21·cn·jy·com
③平时所说的三角形的角是指三角形的内角．
④三角形三个顶点的字母的次序可以任意调换．△ABC也可以写成“△BAC”“△BCA”“ACB”等．
二、三角形的分类
1．按___________分类：
2．按___________分类：
【注意】三角形的两种分类方法是_???è??????????????_同一个三角形可能同时属于两个不同的类别．如等腰直角三角形按边分类属于等腰三角形，而按角分类则属于直角三角形．
三、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和___________第三边．
推论：三角形任意两边之差___________第三边．
四、三角形的高、中线、角平分线
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
定义 如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高．
如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．
如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线．
推理语言 ∵是的高，
∴，
（或）． ∵是的中线，
∴． ∵是的角平分线，
∴．
用途举例 （1）得到线段垂直；
（2）得到角相等． （1）得到线段相等；
（2）得到面积相等． 得到角相等．
线段在图中的位置 锐角三角形 三条高全在三角形内． 三条中线全在三角形内． 三条角平分线全在三角形内．
直角三角形 三角形内一条，另外两条与两直角边重合．
钝角三角形 三角形内一条，三角形外两条．
线段（或其所在直线）的交点位置 锐角三角形 交点在三角形内． 三条中线交于三角形内一点（这一点称为三角形的重心）． 交点在三角形内．
直角三角形 交点在直角顶点处．
钝角三角形 交点在三角形外．
共同点 每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们（或所在的直线）都分别交于一个点，它们都是线段．
五、三角形的稳定性
如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的___________．21世纪教育网版权所有
一、1．首尾顺次相接 2．线段，内角，外角，公共端点 3．封闭 4．△，△ABC，三角形ABCwww.21-cn-jy.com
二、1．边2．角 三、大于，小于 五、稳定性
重点梳理
【重点01】三角形及其相关概念
1．三角形
（1）概念：
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形用符号“△”表示．
（2）图形：顶点是，，的三角形，记作，读作“三角形”．
2．三角形的顶点、边和角
组成三角形的线段叫做三角形的边，（线段AB，线段BC，线段CA）
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，（顶点A，顶点B，顶点C）
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（，，）
的三边有时也用，，表示，如上图中，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示，顶点所对的边用表示．2·1·c·n·j·y
【重点02】三角形的分类
（1）一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角．
（2）从角的方面判断一个三角形的形状的方法：
①若最大内角为锐角，则该三角形是锐角三角形；
②若最大内角为直角，则该三角形是直角三角形；
③若最大内角为钝角，则该三角形是纯角三角形．
【重点03】三角形的三边关系
（1）在中，，，为三边长，则有，，．
（2）在中，，，为三边长，则有，，．
（3）应用：①判断三条线段能否组成三角形；
②已知三角形的两边，求第三边的取值范围．
【重点04】三角形的高、中线与角平分线
（1）三角形的高：从三角形的一_???é??????????????_对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
（2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
（3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．【来源：21·世纪·教育·网】
例1 一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是( )
A．3＜x＜11 B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11 D．x＞3
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.
例2 如图所_?¤??????¨???AB_C中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为_____．www-2-1-cnjy-com
当BP垂直AC时,BP有最小值
由面积公式 AD·BC＝ BP·AC
所以BP＝ ＝4×(3×2) × ＝
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)，求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
例3 如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－36°－34°＝110°.
例4 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形.
(1) 如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2) 能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？
解 ：(1) 设各边的长为x厘米，则腰长为2x厘米，
由题意得：x+2x+2x=18
解得x=3.6 ，
所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米.
(2) 因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论。
(a) 如果4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4+2x=18，解得x=7.
(b) 如果4厘米长为腰，设底边长为x厘米，则24+x=18， 解得x=10.
因为4+4＜10，_?????°??¤è??????°?_于第三边的情况，所以不能围成腰长为4厘米的等腰三角形. 由以上结论可知，可以围成底边长是4厘米的等腰三角形.2-1-c-n-j-y
1．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（ ）
A．2 cm，3 cm，4 cm B．3 cm，6 cm，7 cm
C．2 cm，2 cm，6 cm D．5 cm，6 cm，7 cm
2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．3，4，8 B．5，6，10
C．5，5，11 D．5，6，11
3．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．8
5．已知n是正整数，若一个三角形的3边长分别是n+2、n+8、3n，则满足条件的n的值有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
6. 在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
7. 如图, AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
8．已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9 cm和15 cm两部分，求这个三角形的腰长和底边的长．21·世纪*教育网
9．如图，已知CD是△ABC的高，CM是△ABC的中线．
（1）若△ABC的面积为40，求△AMC的面积；
（2）若△AMC的面积为12，且AM边上的高为4，求AB的长度．
10. 等腰三角形的周长为20厘米.
(1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长；
(2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.
1．【答案】C
【解析】A、2+3>4，能组成三角形；B、3+6>7，能组成三角形；
C、2+2<6，不能组成三角形；D、5+6>7，能够组成三角形．故选C．
2．【答案】B
【解析】A选项，3+4=7<8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形；
B选项，5+6=11>10，10-5<6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形；
C选项，5+5=10<11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形；
D选项，5+6=11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形，故选B．
3．【答案】C
【解析】设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4-1
4．【答案】C
【解析】由三角形三边关系定理得：5-3
【解析】①若n+2
②若n+2<3n≤n+8，则，解得，即2
综上所述，满足条件的n的值有7个，故选D．
6. 解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
7. 解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
8．【解析】设△ABC是等腰三角形，BC为底边，D是AC的中点，AB=x cm，BC=y cm．
（1）当AB＋AD=9 cm时，
有，解得，
6+6=12，不符合三角形三边关系，舍去．
（2）当AB＋AD=15 cm时，
有，解得，
4+10<10，符合三角形三边关系，符合题意．21教育网
综上可得，所求等腰三角形的腰长为10 cm，底边的长为4 cm．
9．【解析】（1）因为CM是△ABC的边AB上的中线，
所以S△AMC=S△ABC=×40=20．
（2）因为S△AMC=S△ABC，S△AMC=12，CD=4，
所以S△ABC=24=AB·CD=2AB，所以AB=12．
10. 解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米.
x + 2x + 2x = 20， 解得 x = 4.21cnjy.com
所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.
(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7；
如果6厘米长的边为腰，设底边长为x 厘米，则2×6 + x = 20，解得x = 8.
由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.
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