11.2 与三角形有关的角-2020-2021数学八上同步课堂帮帮帮（含解析）
文档属性
| 名称 | 11.2 与三角形有关的角-2020-2021数学八上同步课堂帮帮帮（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-30 18:57:52 | ||
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文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
11.2 与三角形有关的角
目标梳理
学习目标 重点难点
1．会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2．会运用三角形内角和定理进行计算
3．了解直角三角形两个锐角的关系
4．掌握直角三角形的判定
5．理解并掌握三角形的外角的概念
6．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和． 1．重点： 三角形内角和定理；三角形外角及其性质
2．难点： 三角形外角及其性质；会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算
知识梳理
一、三角形的内角
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于___________．
2．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有___________个锐角，最多有一个___________．21cnjy.com
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
二、直角三角形的性质与判定
1．直角三角形的两个锐角___________．
2．有两个角互余的三角形是___________．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
三、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的___________组成的角，叫做三角形的外角．
2．三角形的外角等于___________的和．
3．三角形的一个外角___________与它不相邻的任意一个内角．
【拓展】
（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
（2）三角形的外角和定理：_??¨???è§??????????_个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．21·cn·jy·com
一、1．180° 2．两，钝角或直角 二、1．互余 2．直角三角形
三、1．延长线 2．与它不相邻的两个内角 3．大于
重点梳理
【重点01】三角形内角和定理
1．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决．www-2-1-cnjy-com
2．应用
（1）在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数．
（2）在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数．
（3）在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数．
【重点02】直角三角形的性质与判定
1．性质：直角三角形的两个锐角互余．
在中，，则．
2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
在中，，则为直角三角形，且．
3．符号表示：直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形可以写成．
【重点03】三角形的外角及其性质
1．三角形的外角
三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
2．三角形外角的性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.21世纪教育网版权所有
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例3 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
例4 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
例5 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
例6 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
1． 在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
2． 如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为（ ）21教育网
A．35° B．40° C．45° D．50°
3． 将一副直角三_è§????????????????_示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．45° B．60° C．75° D．85°
4． 如图，已知a∥b，∠1=120°，∠2=90°，则∠3的度数是
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__________．2·1·c·n·j·y
6．已知：如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________．
7．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．
8. 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
9. 在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．21·世纪*教育网
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．2-1-c-n-j-y
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
1．【答案】D
【解析】如图，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，
故选D．
2．【答案】C
【解析】∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=17.5°，∠AFB=∠EFB=90°，∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，
∴AB=BE，∴AF=EF，∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CDE=95°-50°=45°，故选C．
3．【答案】C
【解析】如图，
∵∠ACD=90°，∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．
4．【答案】D
【解析】如图，延长的边与直线相交，
∵，∴，
由三角形的外角性质可得，，故选D．
5．【答案】66.5°
【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF．又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），【来源：21·世纪·教育·网】
∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=．21*cnjy*com
∴∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°．故答案为：66.5°．
6．【答案】360
【解析】如图，
根据三角形中内角和为180°，
∠HGT=180°-（∠1+∠2），∠GHT=180°-（∠5+∠6），∠GTH=180°-（∠3+∠4），
∴∠HGT+∠GHT+∠GTH=540°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6），
∵∠HGT+∠GHT+∠GTH=180°，∴180°=540°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6），
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，故答案为：360．
7．【答案】50°
【解析】∵∠1+∠2=100°，∴∠ADF+∠AEF=360°?100°=260°，∴∠ADE+∠AED=130°，∴∠A=180°?【来源：21cnj*y.co*m】
130°=50°．
8. 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°.
9. 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.
10. 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_
11.2 与三角形有关的角
目标梳理
学习目标 重点难点
1．会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2．会运用三角形内角和定理进行计算
3．了解直角三角形两个锐角的关系
4．掌握直角三角形的判定
5．理解并掌握三角形的外角的概念
6．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和及三角形的内角和． 1．重点： 三角形内角和定理；三角形外角及其性质
2．难点： 三角形外角及其性质；会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算
知识梳理
一、三角形的内角
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于___________．
2．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有___________个锐角，最多有一个___________．21cnjy.com
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
二、直角三角形的性质与判定
1．直角三角形的两个锐角___________．
2．有两个角互余的三角形是___________．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
三、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的___________组成的角，叫做三角形的外角．
2．三角形的外角等于___________的和．
3．三角形的一个外角___________与它不相邻的任意一个内角．
【拓展】
（1）三角形内角和定理的另一个推论：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．
（2）三角形的外角和定理：_??¨???è§??????????_个顶点处取一个外角，三个不同顶点处的外角的和叫做三角形的外角和．它的度数为360°，即三角形的外角和为360°．21·cn·jy·com
一、1．180° 2．两，钝角或直角 二、1．互余 2．直角三角形
三、1．延长线 2．与它不相邻的两个内角 3．大于
重点梳理
【重点01】三角形内角和定理
1．当三角形中已知角之间存在数量关系，求某角的大小时，一般要用一个角表示其他角并根据三角形内角和为180°，列方程来解决．www-2-1-cnjy-com
2．应用
（1）在三角形中，已知两个内角的度数，可以求出第三个内角的度数．
（2）在三角形中，已知三个内角的比例关系，可以求出三个内角的度数．
（3）在直角三角形中，已知一个锐角的度数，可以求出另一个锐角的度数．
【重点02】直角三角形的性质与判定
1．性质：直角三角形的两个锐角互余．
在中，，则．
2．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
在中，，则为直角三角形，且．
3．符号表示：直角三角形可以用符号“”表示，直角三角形可以写成．
【重点03】三角形的外角及其性质
1．三角形的外角
三角形内角的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．
2．三角形外角的性质
（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.21世纪教育网版权所有
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
例3 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
例4 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
例5 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
例6 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
1． 在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（ ）
A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°
2． 如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为（ ）21教育网
A．35° B．40° C．45° D．50°
3． 将一副直角三_è§????????????????_示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．45° B．60° C．75° D．85°
4． 如图，已知a∥b，∠1=120°，∠2=90°，则∠3的度数是
A．120° B．130° C．140° D．150°
5．如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=__________．2·1·c·n·j·y
6．已知：如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________．
7．如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=___________．
8. 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
9. 在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．21·世纪*教育网
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．2-1-c-n-j-y
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
1．【答案】D
【解析】如图，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，
故选D．
2．【答案】C
【解析】∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=∠ABC=17.5°，∠AFB=∠EFB=90°，∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，
∴AB=BE，∴AF=EF，∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，∴∠BED=∠BAD=95°，∴∠CDE=95°-50°=45°，故选C．
3．【答案】C
【解析】如图，
∵∠ACD=90°，∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．
4．【答案】D
【解析】如图，延长的边与直线相交，
∵，∴，
由三角形的外角性质可得，，故选D．
5．【答案】66.5°
【解析】∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF．又∵∠B=47°，∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），【来源：21·世纪·教育·网】
∴∠DAC+ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=．21*cnjy*com
∴∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°．故答案为：66.5°．
6．【答案】360
【解析】如图，
根据三角形中内角和为180°，
∠HGT=180°-（∠1+∠2），∠GHT=180°-（∠5+∠6），∠GTH=180°-（∠3+∠4），
∴∠HGT+∠GHT+∠GTH=540°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6），
∵∠HGT+∠GHT+∠GTH=180°，∴180°=540°-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6），
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，故答案为：360．
7．【答案】50°
【解析】∵∠1+∠2=100°，∴∠ADF+∠AEF=360°?100°=260°，∴∠ADE+∠AED=130°，∴∠A=180°?【来源：21cnj*y.co*m】
130°=50°．
8. 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°.
9. 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.
10. 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_