12.1 全等三角形-2020-2021数学八上同步课堂帮帮帮（含解析）
文档属性
| 名称 | 12.1 全等三角形-2020-2021数学八上同步课堂帮帮帮（含解析） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-10-30 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
12.1 全等三角形
目标梳理
学习目标 重点难点
1．了解全等形、全等三角形的概念，能正确识别全等三角形的对应元素 2．掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质
3．初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系
4．能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题
5．能够利用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题 1．重点：全等三角形的性质
2．难点：找全等三角形的对应边、对应角
知识梳理
一、全等形的概念
定义：能够完全__________的两个图形叫做全等形．
【提示】1．全等形的形状相同，大小相等．
2．两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
3．判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
二、全等三角形的概念和表示方法
1．全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做__________．
2．全等三角形的对应元素：
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的__________；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角．21教育网
3．全等三角形的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在__________的位置上．www.21-cn-jy.com
三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边__________，全等三角形的对应角__________．
数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．21·世纪*教育网
【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，
对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．
但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：
1．图形特征法：
最长边对最长边，最短边对最短边；
最大角对最大角，最小角对最小角．
2．位置关系法：
①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．
②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．
3．字母顺序法：
根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．
一、1．重合 二、1．全等三角形2．顶点3．对应 三、相等，相等
重点梳理
【重点01】全等形的概念
（1）形状相同的两个图形不一定是全等形，大小相等的两个图形也不一定是全等形，只有形状和大小都相同的图形才是全等形．21·cn·jy·com
（2）方法技巧：
判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．www-2-1-cnjy-com
【重点02】全等三角形的概念和表示方法
1．全等三角形是特殊的全等形，全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否完全重台，与它们的位置没有关系．21*cnjy*com
2．表示全等三角形时，表示对应顶点的字母必须写在对应位置上．
【重点03】全等三角形的性质
（1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等．
（2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题．【来源：21cnj*y.co*m】
例1 如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.【出处：21教育名师】
解：△BOD与△COE的对应边为：
BO与CO，OD与OE，BD与CE；
△ADO与△AEO的对应角为：
∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，
∠AOD与∠AOE.
例2 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．21*cnjy*com
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，
∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.
例3 如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.
（1）试写出两三角形的对应边、对应角；
（2）求线段NM及HG的长度；
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.
解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；
对应角有∠E和∠N， ∠F和∠M， ∠EGF和∠NHM.
（2）∵ △EFG≌△NMH，
∴NM=EF=2.1cm，
EG=NH=3.3cm.
∴HG=EG –EH=3.3 – 1.1=2.2（cm）.
（3）结论：EF∥NM
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
例4 如图，△ABC__??????AED_，AB是△ABC 的最大边，AE是△AED的最大边， ∠BAC 与∠ EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B= 35°，AB =3cm，BC =1cm，求出∠E， ∠ ADE 的度数和线段DE，AE 的长度.2-1-c-n-j-y
解:∵ △ABC ≌△AED，(已知)
∴∠E= ∠B = 35°，(全等三角形对应角相等)
∠ADE =∠ACB =180°–25°–35°=120 °， (全等三角形对应角相等)
DE = BC =1cm，
AE = AB =3cm.
(全等三角形对应边相等)
1．下列说法_???????????¨??????_角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④周长相等的两个三角形全等；⑤全等三角形的面积相等；⑥面积相等的两个三角形全等，正确的（ ）【版权所有：21教育】
A．①②③④⑤ B．③④⑤⑥ C．①②③⑤ D．①②③④⑤⑥
2．如图，ΔABC≌ΔCDA，∠BAC=∠DCA，则BC的对应边是（ ）
A．CD B．CA C．DA D．AB
3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，则∠ACA′的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠EAD=（ ）
A．30° B．70° C．40° D．110°
5．如图，已知△ABC≌△CDE，下列结论中不正确的是（ ）
A．AC=CE B．∠BAC=∠ECD
C．∠ACB=∠ECD D．∠B=∠D
6．如图，△ABE≌△_ACD???AE_=5 cm，∠A=60°，∠B=30°，则∠ADC=__________°，AD=__________cm．
7．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15 cm，HN=6 cm，EF=4 cm，FH=1 cm，则HG=__________．21世纪教育网版权所有
8．已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=6，AC=8，则△DEF的周长是__________．
9．如图，已知△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，∠ACD=24°，那么∠D=__________°．
10．如图所示，将△_ABC??????C_按顺时针方向旋转至△A'B'C，使点A'落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB'为_______度.?
11．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
12．如图，ΔABC≌ΔDEF，∠A=25°，∠B=65°，BF=3 cm，求∠DFE的度数和EC的长．
1．【答案】C
【解析】根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等，因此①②③⑤是正确的；21cnjy.com
但是周长相等的两个三角_?????????????????¨_等，比如边长分别为3、4、5的直角三角形和边长为4的等边三角形虽然周长相等，但是却不全等．同样，底为4高为3的三角形，与底为3高为4的三角形，它们面积虽然相等，但是却不全等．因此④⑥是错误的，21教育名师原创作品
故选C．
2．【答案】C
【解析】∵ΔABC≌ΔCDA，∠BAC=∠DCA，∴BC的对应边为DA，故选C．
3．【答案】D
【解析】∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB，
即∠ACA′=∠BCB′，
∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，
∴∠ACA′=（110°-30°）=40°．
?故选D．
4．【答案】D
【解析】∵△ABC≌△AED，∴∠C=40°，∠B=30°，∴∠EAD=∠BAC=180°-∠B-∠C=110°，故选D．2·1·c·n·j·y
5．【答案】C
【解析】由全等三角形的性质可知A、B、D均正确，而∠ACB=∠CED，故C错误．
故选C．
6．【答案】90；5
【解析】在三角形ABE中，∠A=60°，∠B=30°，所以，∠AEB=180-∠A-∠B=90°．
因为，△ABE≌△ACD，
所以AD=AE=5 cm，∠ADC=∠AEB=90°．
故答案为：90；5．
7．【答案】4 cm
【解析】∵△EFG≌△NMH，
∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15 cm，
∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1 cm，
∵△EFG的周长为15 cm，
∴HM=15-6-4=5 cm，
∴HG=5-1=4 cm．故答案为：4 cm．
8．【答案】19
【解析】∵AB=5，BC=6，AC=8，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+6+8=19．
∵△ABC≌△DEF，
∴△DEF的周长等于△ABC的周长，∴△DEF的周长是19．故答案为：19．
9．【答案】96
【解析】由△ABC≌△ADC可知∠DAC=∠BAC=60°，则∠D=180°-∠DAC-∠ACD=180°-60°-24°=96°，【来源：21·世纪·教育·网】
故答案为：96°．
10. 【答案】46
【解析】先根据三角形外角的性质求出
∠ ACA'=∠A+∠B=27°+40°=67°.
再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，得到
△ABC≌△A'B'C，∴∠ACB=∠A'CB'，
∴∠ACB–∠B'CA=∠A'CB'–∠B'CA，
即∠BCB'=∠ACA'. ∴∠BCB'=67°.
∴∠ACB'=180°–∠ACA'–∠BCB'=180°–67°–67°=46°.
11．【解析】∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，
∴∠BAE与∠CAD是对应角，AB与AC，BE与CD，AD与AE是对应边．
12．【解析】△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，
∴∠BCA=180°-∠A-∠B=180°-25°-65°=90°，
∵△ABC≌△DEF，∴∠BCA=∠DFE，BC=EF，
∴EC=BF=3 cm，∴∠DFE=90°，EC=3 cm．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_
12.1 全等三角形
目标梳理
学习目标 重点难点
1．了解全等形、全等三角形的概念，能正确识别全等三角形的对应元素 2．掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质
3．初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系
4．能灵活运用全等三角形的性质解决相应的几何问题
5．能够利用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题 1．重点：全等三角形的性质
2．难点：找全等三角形的对应边、对应角
知识梳理
一、全等形的概念
定义：能够完全__________的两个图形叫做全等形．
【提示】1．全等形的形状相同，大小相等．
2．两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关．
3．判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合．
二、全等三角形的概念和表示方法
1．全等三角形的概念：
能够完全重合的两个三角形叫做__________．
2．全等三角形的对应元素：
①对应顶点：全等三角形中，能够重合的__________；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角．21教育网
3．全等三角形的表示方法：
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在__________的位置上．www.21-cn-jy.com
三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边__________，全等三角形的对应角__________．
数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．21·世纪*教育网
【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，
对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．
但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法：
1．图形特征法：
最长边对最长边，最短边对最短边；
最大角对最大角，最小角对最小角．
2．位置关系法：
①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边．
②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角．
3．字母顺序法：
根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角．
一、1．重合 二、1．全等三角形2．顶点3．对应 三、相等，相等
重点梳理
【重点01】全等形的概念
（1）形状相同的两个图形不一定是全等形，大小相等的两个图形也不一定是全等形，只有形状和大小都相同的图形才是全等形．21·cn·jy·com
（2）方法技巧：
判断两个图形是不是全等形的方法：可以通过平移、翻折、旋转等方法，将两个图形叠合在一起观察是否完全重台，有时还可以借助于网格背景来观察比较．www-2-1-cnjy-com
【重点02】全等三角形的概念和表示方法
1．全等三角形是特殊的全等形，全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样，叠合在一起是否完全重台，与它们的位置没有关系．21*cnjy*com
2．表示全等三角形时，表示对应顶点的字母必须写在对应位置上．
【重点03】全等三角形的性质
（1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等．
（2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题．【来源：21cnj*y.co*m】
例1 如图，若△BOD≌△COE，∠B＝∠C，指出这两个全等三角形的对应边；若△ADO≌△AEO，指出这两个三角形的对应角.【出处：21教育名师】
解：△BOD与△COE的对应边为：
BO与CO，OD与OE，BD与CE；
△ADO与△AEO的对应角为：
∠DAO与∠EAO，∠ADO与∠AEO，
∠AOD与∠AOE.
例2 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．21*cnjy*com
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，
∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.
例3 如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.
（1）试写出两三角形的对应边、对应角；
（2）求线段NM及HG的长度；
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.
解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；
对应角有∠E和∠N， ∠F和∠M， ∠EGF和∠NHM.
（2）∵ △EFG≌△NMH，
∴NM=EF=2.1cm，
EG=NH=3.3cm.
∴HG=EG –EH=3.3 – 1.1=2.2（cm）.
（3）结论：EF∥NM
证明： ∵ △EFG≌△NMH，
∴ ∠E=∠N. ∴ EF∥NM.
例4 如图，△ABC__??????AED_，AB是△ABC 的最大边，AE是△AED的最大边， ∠BAC 与∠ EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B= 35°，AB =3cm，BC =1cm，求出∠E， ∠ ADE 的度数和线段DE，AE 的长度.2-1-c-n-j-y
解:∵ △ABC ≌△AED，(已知)
∴∠E= ∠B = 35°，(全等三角形对应角相等)
∠ADE =∠ACB =180°–25°–35°=120 °， (全等三角形对应角相等)
DE = BC =1cm，
AE = AB =3cm.
(全等三角形对应边相等)
1．下列说法_???????????¨??????_角形的对应边相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的周长相等；④周长相等的两个三角形全等；⑤全等三角形的面积相等；⑥面积相等的两个三角形全等，正确的（ ）【版权所有：21教育】
A．①②③④⑤ B．③④⑤⑥ C．①②③⑤ D．①②③④⑤⑥
2．如图，ΔABC≌ΔCDA，∠BAC=∠DCA，则BC的对应边是（ ）
A．CD B．CA C．DA D．AB
3．如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，则∠ACA′的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC≌△AED，∠C=40°，∠EAC=30°，∠B=30°，则∠EAD=（ ）
A．30° B．70° C．40° D．110°
5．如图，已知△ABC≌△CDE，下列结论中不正确的是（ ）
A．AC=CE B．∠BAC=∠ECD
C．∠ACB=∠ECD D．∠B=∠D
6．如图，△ABE≌△_ACD???AE_=5 cm，∠A=60°，∠B=30°，则∠ADC=__________°，AD=__________cm．
7．如图，△EFG≌△NMH，△EFG的周长为15 cm，HN=6 cm，EF=4 cm，FH=1 cm，则HG=__________．21世纪教育网版权所有
8．已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=6，AC=8，则△DEF的周长是__________．
9．如图，已知△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，∠ACD=24°，那么∠D=__________°．
10．如图所示，将△_ABC??????C_按顺时针方向旋转至△A'B'C，使点A'落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB'为_______度.?
11．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
12．如图，ΔABC≌ΔDEF，∠A=25°，∠B=65°，BF=3 cm，求∠DFE的度数和EC的长．
1．【答案】C
【解析】根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等，因此①②③⑤是正确的；21cnjy.com
但是周长相等的两个三角_?????????????????¨_等，比如边长分别为3、4、5的直角三角形和边长为4的等边三角形虽然周长相等，但是却不全等．同样，底为4高为3的三角形，与底为3高为4的三角形，它们面积虽然相等，但是却不全等．因此④⑥是错误的，21教育名师原创作品
故选C．
2．【答案】C
【解析】∵ΔABC≌ΔCDA，∠BAC=∠DCA，∴BC的对应边为DA，故选C．
3．【答案】D
【解析】∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB，
即∠ACA′=∠BCB′，
∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，
∴∠ACA′=（110°-30°）=40°．
?故选D．
4．【答案】D
【解析】∵△ABC≌△AED，∴∠C=40°，∠B=30°，∴∠EAD=∠BAC=180°-∠B-∠C=110°，故选D．2·1·c·n·j·y
5．【答案】C
【解析】由全等三角形的性质可知A、B、D均正确，而∠ACB=∠CED，故C错误．
故选C．
6．【答案】90；5
【解析】在三角形ABE中，∠A=60°，∠B=30°，所以，∠AEB=180-∠A-∠B=90°．
因为，△ABE≌△ACD，
所以AD=AE=5 cm，∠ADC=∠AEB=90°．
故答案为：90；5．
7．【答案】4 cm
【解析】∵△EFG≌△NMH，
∴MN=EF=4cm，FG=MH，△HMN的周长=△EFG的周长=15 cm，
∴FG-HG=MH-HG，即FH=GM=1 cm，
∵△EFG的周长为15 cm，
∴HM=15-6-4=5 cm，
∴HG=5-1=4 cm．故答案为：4 cm．
8．【答案】19
【解析】∵AB=5，BC=6，AC=8，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+6+8=19．
∵△ABC≌△DEF，
∴△DEF的周长等于△ABC的周长，∴△DEF的周长是19．故答案为：19．
9．【答案】96
【解析】由△ABC≌△ADC可知∠DAC=∠BAC=60°，则∠D=180°-∠DAC-∠ACD=180°-60°-24°=96°，【来源：21·世纪·教育·网】
故答案为：96°．
10. 【答案】46
【解析】先根据三角形外角的性质求出
∠ ACA'=∠A+∠B=27°+40°=67°.
再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，得到
△ABC≌△A'B'C，∴∠ACB=∠A'CB'，
∴∠ACB–∠B'CA=∠A'CB'–∠B'CA，
即∠BCB'=∠ACA'. ∴∠BCB'=67°.
∴∠ACB'=180°–∠ACA'–∠BCB'=180°–67°–67°=46°.
11．【解析】∵△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，
∴点A的对应点是A，点B的对应点是C，点E的对应点是D，
∴∠BAE与∠CAD是对应角，AB与AC，BE与CD，AD与AE是对应边．
12．【解析】△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，
∴∠BCA=180°-∠A-∠B=180°-25°-65°=90°，
∵△ABC≌△DEF，∴∠BCA=∠DFE，BC=EF，
∴EC=BF=3 cm，∴∠DFE=90°，EC=3 cm．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_