12.3 角的平分线的性质-2020-2021数学八上同步课堂帮帮帮（含解析）

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12.3 角的平分线的性质
目标梳理
学习目标 重点难点
1．通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理 2．能运用角的平分线性质解决简单的几何问题
3．进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤
4．进一步理解角平分线的判定及运用
5．掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题
6．学会判断一个点是否在一个角的平分线上 1．重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线
2．难点：角平分线定理的应用
知识梳理
一、作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
2．分别以点M，N为圆心，大于__________的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
3．画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
二、角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离__________．
【提示】1．这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
2．该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
3．使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
4．运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．21·cn·jy·com
三、证明几何命题的一般步骤
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：
1．明确命题中的已知和求证；
2．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
四、角的平分线的判定
1．内容：角的内部到角的两边的距离__________的点在角的平分线上．
2．角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．www-2-1-cnjy-com
一、2． MN 二、相等 三、相等
重点梳理
【重点01】角的平分线的性质
遇到已知一个点在某个_è§????????????????_时，一般过该点向角的两边作垂线，运用角的平分线上的点到角两边的距离相等寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．2-1-c-n-j-y
【重点02】角的平分线的判定
1．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等．
2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，即点在角平分线上的一点到角两边的距离相等．
【重点03】角的平分线的性质的应用
证明角平分线_???????????????é??_从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想．
例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.21教育名师原创作品
求证：EB=FC.
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例2 如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF.21*cnjy*com
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
例3 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.21教育网
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，
垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
例4 如图所示，已知△AB_C??????PE???_AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
例5 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， 　　
FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，则AC的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（ ）2·1·c·n·j·y
A．mn B．mn C．2mn D．mn
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD∶DC=3∶2，点D到AB的距离为6，则BC等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．10 B．20 C．15 D．25
4．如图，BE⊥AC_???E???CF???_AB于F，AE=AF，BE与CF交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（ ）【出处：21教育名师】
A．① B．② C．①② D．①②③
5．如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．OA=OC B．点O到AB、CD的距离相等
C．∠BDA=∠BDC D．点O到CB、CD的距离相等
6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为（ ）21·世纪*教育网
A．AD>DE B．AD=DE C．AD7．如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
8．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．
9．通过学习我们已经_???é?????è§???????_三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为__________．
10．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45 cm2，AB=
16 cm，AC=14 cm，则DE=__________．
11．如图，_?·?????°????OC_上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，点D、E、F分别为边OC、OA、OB上，如果要想证得OE=OF，只需要添加以下四个条件中的某一个即可，请写出所有可能的条件的序号__________．
①∠ODE=∠ODF； ②∠OED=∠OFD； ③ED=FD； ④EF⊥OC．
12．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．
13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，求证：PE=PF．21cnjy.com
14．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD=CD．
（1）求证：D在∠BAC的平分线上；
（2）若将条件：BD=CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗？试说明理由．
15. 如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
16. 如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF，CE交于点D，求证：AD平分∠BAC.21*cnjy*com
1．【答案】A
【解析】∵DE=3，AB=6，∴△ABD的面积为×3×6=9，
∵S△ABC=15，∴△ADC的面积=15-9=6，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴AC边上的高DE=3，
∴AC=6×2÷3=4，故选A．
2．【答案】B
【解析】如图，作DE⊥AB交AB于点E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴CD=DE=n，
∴S△ABD=AB·DE=mn．故选B．
3．【答案】C
【解析】∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点D到AB的距离为6，∴CD=6．
∵BD∶DC=3∶2，∴BD=CD=×6=9，∴BC=6+9=15．故选C．
4．【答案】D
【解析】∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BEA=∠CFA=90°，
在△ABE与△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（AAS），①正确；
∴∠B=∠C，AB=AC（全等三角形对应角和对应边相等），
∴BF=CE，
在△BDF与△CDE中，，
∴△BDF≌△CDE（AAS），②正确；
∴DF=DE（全等三角形对应边相等），
∴点D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上），③正确；
故①②③都正确．故选D．
5．【答案】D
【解析】∵在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC，
∴∠DCA=∠BCA，∴点O到CB、CD的距离相等．故选D．
6．【答案】D
【解析】∵BD平分∠ABC，∴点D到AB、BC的距离相等，
∵AD不是点D到AB的距离，点E是BC上一点，∴AD、DE的大小不确定．故选D．
7．【答案】B
【解析】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形的面积，
故选B．
8．【答案】150°
【解析】∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°．
故答案为：150°．
9．【答案】5
【解析】∵P是△A_BC??????è§????_分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，∴点P到AC、BC的距离也为1．∴S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=AB×1+AC×1+BC×1=×（AB+AC+BC）＝×10=5．故答案为：5．21世纪教育网版权所有
10．【答案】3 cm
【解析】∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF．
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=ABDE+ACDF=（AB+AC）·DE，
∴DE（AB+AC）=45，即：，解得DE=3（cm）．故答案为：3 cm．
11．【答案】①②④
【解析】如图，
∵射线OC上的任意一点到∠AOB的两边的距离都相等，∴OC平分∠AOB．
①若①∠ODE=∠ODF，根据ASA定理可求出△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确；www.21-cn-jy.com
②若∠OED=∠OFD，根据AAS定理可得△ODE≌△ODF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确；【来源：21cnj*y.co*m】
③若ED=FD条件不能得出．错误；
④若EF⊥OC，根据ASA定理可求出△OGE≌△OGF，由三角形全等的性质可知OE=OF．正确．故答案为：①②④．【版权所有：21教育】
12．【解析】∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB．
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
13．【解析】在三角形ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴∠BAD=∠CAD，即∠EAP=∠FAP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE=PF．
14．【解析】（1）∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），
∴DE=DF，
∴D在∠BAC的平分线上．
（2）成立．理由如下：
∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），
∴BD=DC．
15.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
16. 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
又∵∠BDE＝∠CDF， BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS)
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC.
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