模块综合测评(A)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线－＝1的倾斜角的大小为( )
A．30°
B．60° C．120° D．150°
2．在空间直角坐标系中，点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于( )
A.
B.
C．2
D.
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )
A．(－a－1，－b－1)
B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b)
D．(－b，－a)
4．已知M，N分别是正方体AC1的棱A1B1，A1D1的中点，如图是过M，N，A和D，N，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )
5．若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝?，则a等于( )
A.
B．2
C．－1
D．2或－1
6．已知m是平面α的一条斜线，点A?α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )
A．l∥m，l⊥α
B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α
D．l∥m，l∥α
7．已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC( )
A．垂直
B．平行
C．相交
D．位置关系不确定
8．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为( )
A．4
B.
C.
D．2
9．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A．(0°，30°]
B．(0°，60°]
C．[0°，30°]
D．[0°，60°]
10．若M(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
11．过点P(－3,4)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．3x＋4y－7＝0
B．3x－4y＋25＝0
C．3x－4y＋4＝0
D．3x－4y＝0
12.若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D．[0,1]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
14．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC＝BD＝2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为______．
15．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．
16．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．
①CC1与B1E是异面直线；
②AC⊥平面ABB1A1；
③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；
④A1C1∥平面AB1E.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
18．(本小题满分12分)已知直线l过两直线3x－y－10＝0和x＋y－2＝0的交点，且直线l与点A(1,3)和点B(5,2)的距离相等，求直线l的方程．
19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P?ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，且PA⊥AC，PA＝3，BC＝4，DF＝.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
20．(本小题满分12分)已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
22．(本小题满分12分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
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-模块综合测评(A)
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线－＝1的倾斜角的大小为( )
A．30°
B．60° C．120° D．150°
A [由－＝1，得该直线的斜率k＝，故倾斜角为30°.]
2．在空间直角坐标系中，点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于( )
A.
B.
C．2
D.
B [点A(1,2,3)在yOz坐标平面内的投影为B(0,2,3)，
∴|OB|＝＝.]
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )
A．(－a－1，－b－1)
B．(－b－1，－a－1)
C．(－a，－b)
D．(－b，－a)
B [设对称点为(x′，y′)，
则
解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.]
4．已知M，N分别是正方体AC1的棱A1B1，A1D1的中点，如图是过M，N，A和D，N，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )
B [由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.]
5．若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝?，则a等于( )
A.
B．2
C．－1
D．2或－1
B [依题意，两直线平行．由a(a－1)－2×1＝0，得a2－a－2＝0，a＝2或－1.又当a＝－1时，两直线重合，故选B.]
6．已知m是平面α的一条斜线，点A?α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )
A．l∥m，l⊥α
B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α
D．l∥m，l∥α
C [如图，l可以垂直m，且l平行α.]
7．已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC( )
A．垂直
B．平行
C．相交
D．位置关系不确定
A [过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接BO，CO并延长分别交CD，BD于F，E两点，连接DO.
因为AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，
同理DO⊥BC，
所以O为△BCD的垂心，所以CO⊥BD，
所以BD⊥AC.故选A.]
8．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为( )
A．4
B.
C.
D．2
A [由正六棱锥可知，底面是由六个正三角形组成的，
∴底面积S＝6××2×＝6，∴体积V＝Sh＝12，
∴h＝＝＝2，
在直角三角形SOB中，
侧棱长为SB＝＝＝4.
故选A.]
9．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A．(0°，30°]
B．(0°，60°]
C．[0°，30°]
D．[0°，60°]
D [如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.
由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，
则sin
α＝，
所以α＝30°，∠BPA＝60°.
故直线l的倾斜角的取值范围是[0°，60°]．选D.]
10．若M(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
A [设圆心为C，其坐标为(1,0)．则AB⊥CM，kCM＝－1，
∴kAB＝1，∴直线AB的方程为y－(－1)＝1×(x－2)，
即x－y－3＝0，故选A.]
11．过点P(－3,4)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A．3x＋4y－7＝0
B．3x－4y＋25＝0
C．3x－4y＋4＝0
D．3x－4y＝0
C [先求出以PO(O为原点)为直径的圆C的方程为2＋(y－2)2＝2，即x2＋y2＋3x－4y＝0，再将两圆方程相减得3x－4y＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点即切点A，B，所以3x－4y＋4＝0就是直线AB的方程，故选C.]
12.若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D．[0,1]
D [曲线y＝－可化为(x－2)2＋y2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x轴下方的半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k≤1.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
[设正方体的棱长为x，其外接球的半径为R，则由球的体积为，得πR3＝，解得R＝.由2R＝x，得x＝＝.]
14．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC＝BD＝2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为______．
1 [如图，由条件，易判断EH綊FG綊BD，
所以EH＝FG＝1，同样有EF綊GH綊AC，EF＝GH＝1，又BD⊥AC，所以EF⊥EH，所以四边形EFGH是边长为1的正方形，其面积S＝12＝1.]
15．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．
[由题意知，点A在圆上，切线斜率为＝＝－，用点斜式可直接求出切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0，
从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以所求面积为××5＝.]
16．如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．
①CC1与B1E是异面直线；
②AC⊥平面ABB1A1；
③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；
④A1C1∥平面AB1E.
③ [①中，直线CC1与B1E都在平面BCC1B1中，不是异面直线；
②中，平面ABC⊥平面ABB1A1，而AC与AB不垂直，则AC与平面ABB1A1不垂直；
③中，AE与B1C1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC⊥平面BCC1B1，由△ABC为正三角形，且E为BC的中点知AE⊥BC，所以AE⊥平面BCC1B1，则AE⊥B1C1；
④中，A1C1与平面AB1E相交，故错误．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
[解] 设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的半径为r，则
πl2＝3π，l＝3；×3＝2πr，r＝1；
S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，
V＝Sh＝×π×12×2＝π.
18．(本小题满分12分)已知直线l过两直线3x－y－10＝0和x＋y－2＝0的交点，且直线l与点A(1,3)和点B(5,2)的距离相等，求直线l的方程．
[解] 由得交点为(3，－1)，
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，
则＝，
解得k＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－3)，
即x＋4y＋1＝0；
又当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，也满足题意．
故x＋4y＋1＝0或x＝3为所求方程．
19．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P?ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，且PA⊥AC，PA＝3，BC＝4，DF＝.
求证：(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
[证明] (1)∵在三棱锥P?ABC中，D，E分别为棱PC，AC的中点，∴DE∥PA.
∵DE平面DEF，PA平面DEF，∴直线PA∥平面DEF.
(2)∵DE∥PA，PA⊥AC，PA＝3，∴DE⊥AC，且DE＝PA＝.
∵E，F分别为AC，AB的中点，BC＝4，∴EF＝BC＝2.
∵DF＝，∴DE2＋EF2＝DF2，∴DE⊥EF.
又EF∩AC＝E，EF，AC平面ABC，∴DE⊥平面ABC.
∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC.
20．(本小题满分12分)已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
[解] (1)设圆A的半径为r，因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，所以r＝＝2，所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)设Q是MN的中点，所以AQ⊥MN，所以|AQ|2＋2＝r2，又因为|MN|＝2，r＝2，所以|AQ|＝＝1.当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，此时有|AQ|＝|－2－(－1)|＝1，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，所以|AQ|＝＝1，得k＝，所以此时直线l的方程为y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所得，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
21．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
[证明] (1)因为ABC?A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
22．(本小题满分12分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
[解] (1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，
此即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝.
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
∴|QM|最小＝4.
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