1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
一．设计思路
如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.
本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.
二、教学目标
1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.
2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.
3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.
重点难点
教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.
教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.
三、教学过程
导入新课
(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
提出问题
①观察交流电电流随时间变化的图象,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？
②分别在y=sinx，
y=sin(x+)和y=sin(x-)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图象,看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？
③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.
④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).
⑤类似地,你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=.此时,可以对A任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象,观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.
⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？
活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响,然后再整合.
图1
问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.
如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.
问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:
y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.
问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从
具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B观察.发现规律:
图2
如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图象.
当取ω为其他值时,观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:
函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
图3
问题⑤,教师点拨学生,探索A对图象的影响的过程,与探索ω、φ对图象的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:
函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.
由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.
讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.
②略.
③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.
④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形状.
⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形状.
⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.
y=sinx的图象
得y=Asinx的图象
得y=Asin(ωx)的图象
得y=Asin(ωx+φ)的图象
规律总结:
先平移后伸缩的步骤程序如下:
y=sinx的图象
得y=sin(x+φ)的图象
得y=sin(ωx+φ)的图象
得y=Asin(ωx+φ)的图象.
先伸缩后平移的步骤程序(见上).
应用示例
例1:如何由y=sinx
的图象变换得y=3sin(2x+)的图象？
活动:本例巩固本节所学知识方法.
(1)引导学生从图象变换的角度来探究
(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图象的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图象变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.
(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=3sin(2x+),简图的方法,教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=3sin(2x+)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.
解:方法一:先平移再伸缩
方法二:
先伸缩再平移
方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象)
令X=2x+,则x=
(X-).列表，描点即可。
点评:三角函数图象变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.
例2:试用“五点法”画出函数y=2sin(x-)的简图。
点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x”而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X取0,,π,,2π来确定对应的x值.
课堂达标
1.
要得到函数
y=
2
sin
x
的图象，只需将
y=
sinx
图象（
）
A.横坐标扩大原来的两倍
B.
纵坐标扩大原来的两倍
C.横坐标扩大到原来的两倍
D.
纵坐标扩大到原来的两倍
2.
要得到函数
y=sin3x
的图象，只需将
y=sinx
图象（
）
A.
横坐标扩大原来的3倍
B.横坐标扩大到原来的3倍
C.
横坐标缩小原来的倍
D.横坐标缩小到原来的倍
3.
要得到函数
y=sin（x
+
）的图象，只需将
y=sinx
图象（
）
A.
向左平移个单位
B.
向右平移个单位
C.
向左平移个单位
D.
向右平移个单位
4.
要得到函数
y=sin（2x－）的图象,只需将y=sin2x图象（
）
A.
向左平移个单位
B.
向右平移个单位
C.
向左平移个单位
D.
向右平移个单位
5.
要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将函数y=sinx的图象(
)
A.向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.向右平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变[]
C.向左平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D.向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
6
.
要得到函数y=2sin(3x)的图象,只需将函数y＝2sin3x的图象(
)
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
7.如何由函数y=3sin(2x+)的图象得到函数y=sinx的图象？
课堂小结
1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.
2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响,同时通过具体函数的图象的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.
作业
1.用图象变换的方法在同一坐标系内由y=sinx的图象画出函数y=sin(-2x)的图象.
2.要得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将函数y=sin2x的图象通过怎样的变换得到?
3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系.
设计感想
1.本节图象较多,学生活动量大,因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象整体变化的影响.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.
2.对于函数y=sinx的图象与函数y=Asin(ωx+φ)的图象间的变换,由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图象平移量产生影响,这点也是学习三角函数图象变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.
3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.(共37张PPT)
1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象
本节课学习A，ω，φ对函数图象的影响，利用变换作图法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是“对角”，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生.
1．理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响．
2．掌握y＝sin
x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．
y
x
O
1
1
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ)
的函数（其中A,
ω,
φ都是常数）.
x
o
0.01
0.02
0.03
0.04
2
4
6
-6
-4
-2
y
x
o
2
4
6
8
2
4
6
-6
-4
-2
y
交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?
下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象
交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?
物理中简谐振动的相关物理量
y=sin(x+?)与y=sinx的图象关系:
试研究
与
的图象关系.
y
1
-1
O
x
探究1：
对函数图象的影响
所有的点向左(?
>0)
或向右(?
<0)平移
|
?
|
个单位
一、函数y=sin(x+?)图象:
函数
y=sin(x+?)(??0)
的图象可以看作是把y=sinx
的图象上所有的点向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.
y=sinx
y=sin(x+?)
?的变化引起图象位置发生变化(左加右减)
平移变换
y=sin?x与y=sinx的图象关系:
作函数
及
的图象.
p
2p
2
p
2
3
p
0
4
p
2
p
4
3
p
p
0
x
2
1
sin
x
x
1
0
0
-1
0
p
2p
2
p
2
3
p
0
x
2
1
1
0
0
-1
0
p
2p
3p
4p
0
y
O
x
-1
1
探究2：?
对函数图象的影响
函数
、
与
的图象间的变化关系.
-1
y
O
x
1
所有的点横坐标缩短(?>1)或伸长(0<
?<1)
1/?倍
二、函数y=sin?x(?>0)图象:
函数
y=sin?x
(?>0且??0)
的图象可以看作是把
y=sinx
的图象上所有点的横坐标缩短(当?>1时)或伸长(当0<
?<1时)到原来的1/?倍(纵坐标不变)而得到的.
周期变换
y=sinx
y=sin?x
纵坐标不变
?决定函数的周期:
y=Asinx与y=sinx的图象关系:
2sinx
sinx
x
作下列函数图象:
x
O
1
-1
y
2
-2
探究3：
A
对函数图象的影响
函数
、
与
的图象间的变化关系.
x
O
1
-1
y
2
-2
振幅变换
y=sinx
y=Asinx
所有的点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<
A<1)
A倍
横坐标不变
三、函数y=Asinx(A>0)图象:
函数
y=Asinx(A>0且A?1)
的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<
A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.
A的大小决定这个函数的最大(小)值
y=Asinx，x?R的值域是[－A,
A]，
最大值是A，最小值是－A.
例1:如何由
变换得
的图象？
1
-1
2
-2
o
x
3
-3
y
方法1:(按
先平移后变周期的顺序变换)
1
-1
2
-2
o
x
3
-3
y
方法2:(按先变周期后平移顺序变换)
y=sinx
y=sin(x+?)
横坐标缩短?>1
(伸长0y=sin(?x+?)
纵坐标伸长A>1
(缩短0y=Asin(?x+?)
y=sinx
y=Asin(?x+?)
总结:
向左?>0
(向右?<0)
方法1:按先平移后变周期的顺序变换
平移|?|个单位
纵坐标不变
横坐标不变
y=sinx
横坐标缩短?>1
(伸长0y=sin?x
纵坐标伸长A>1
(缩短0y=Asin(?x+?)
y=sinx
y=Asin(?x+?)
总结:
纵坐标不变
横坐标不变
方法2:按先变周期后平移顺序变换
向左?>0
(向右?<0)
平移|?|/?个单位
1、若先平移再伸缩，则平移的单位：
2、若先伸缩再平移，则平移的单位：
易错点
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
步骤5
沿x轴
平行移动
横坐标
伸长或缩短
纵坐标
伸长或缩短
沿x轴
扩展
例题2
1
-１
2
-2
x
o
y
3
-3
2?
y=sinx
y=sin(x-
)①
②
③
x
y
O
2
-2
图象向左平移
个单位
例2.
如何由
y=sin
x
的图象得到
的图象?
的图象
(纵坐标不变)
各点的横坐标缩短到原来的
倍
的图象
各点的纵坐标伸长到原来的
倍
(横坐标不变)
的图象
函数
y=sinx
横坐标不变
纵坐标伸长到原来的
倍
向左平移
纵坐标不变
横坐标缩短到原来的
倍
变换二:
例2.如何由
y=sin
x
的图象得到
的图象?
的图象
的图象
的图象
思考：上述步骤2和步骤3可以换顺序吗？
答：不行!
因为代数上的代换，是一种“整体代换”.
1.
要得到函数
y=
2
sin
x
的图象，只需将
y=
sinx
图象（
）
A.横坐标扩大原来的两倍
B.
纵坐标扩大原来的两倍
C.横坐标扩大到原来的两倍
D.
纵坐标扩大到原来的两倍
2.
要得到函数
y=sin3x
的图象，只需将
y=sinx
图象（
）
A.
横坐标扩大原来的3倍
B.横坐标扩大到原来的3倍
C.
横坐标缩小原来的1/3倍
D.横坐标缩小到原来的1/3倍
3.
要得到函数
y=sin（x
+
π/3）的图象，只需将
y=sinx
图象（
）
A.
向左平移π/6个单位
B.
向右平移π/6个单位
C.
向左平移π/3个单位
D.
向右平移π/3个单位
4.
要得到函数
y=sin（2x－π/3）的图象,只需将y=sin2x图象（
）
A.
向左平移π/3
个单位
B.
向右平移π/3个单位
C.
向左平移π/
6个单位
D.
向右平移π/6
个单位
D
D
C
D
C
B
C
D
C
步骤1
步骤2
步骤3
步骤4
步骤5
沿x轴
平行移动
横坐标
伸长或缩短
纵坐标
伸长或缩短
沿x轴
扩展
x
y
O
2
-2
敬请指导
.1.
要得到函数
y=
2
sin
x
的图象，只需将
y=
sinx
图象（
）
A.横坐标扩大原来的两倍
B.
纵坐标扩大原来的两倍
C.横坐标扩大到原来的两倍
D.
纵坐标扩大到原来的两倍
2.
要得到函数
y=sin3x
的图象，只需将
y=sinx
图象（
）
A.
横坐标扩大原来的3倍
B.横坐标扩大到原来的3倍
C.
横坐标缩小原来的倍
D.横坐标缩小到原来的倍
3.
要得到函数
y=sin（x
+
）的图象，只需将
y=sinx
图象（
）
A.
向左平移个单位
B.
向右平移个单位
C.
向左平移个单位
D.
向右平移个单位
4.
要得到函数
y=sin（2x－）的图象,只需将y=sin2x图象（
）
A.
向左平移个单位
B.
向右平移个单位
C.
向左平移个单位
D.
向右平移个单位
5.
要得到函数y=sin(2x+)的图象,只需将函数y=sinx的图象(
)
A.向左平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.向右平移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变[]
C.向左平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D.向右平移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
6
.
要得到函数y=2sin(3x)的图象,只需将函数y＝2sin3x的图象(
)
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
7.如何由函数y=3sin(2x+)的图象得到函数y=sinx的图象？