(共13张PPT)
(
2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹是椭圆.
等于常数2a
和
平面内与两定点F1、F2的距离的
的点的轨迹是什么？
等于常数
差
平面内与两定点F1、F2的距离的
（1）0<2a<
|F1F2|
；
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
思考：
（3）若“常数2a=
|
F1F2
|”,则动点M轨迹是？
（4）若“常数2a>
|
F1F2
|”,则动点M轨迹是？
注意:
（2）若“常数2a=0”,则动点M的轨迹是？
(3)两条射线
(4)
不表示任何轨迹
(2)线段F1F2的垂直平分线
双曲线定义：
（1）若“去掉绝对值”，则动点M的轨迹是？
(1)双曲线的一支
1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足
|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为( )
A．双曲线和一直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线
练习
10min
F
2
F
1
M
x
O
y
双曲线的方程
1.
建系设点：
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系
2.找几何关系：
设M（x
,
y），点M与F1,F2的距离的差的绝对值为常数2a,曲线的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0),a3.列式：
|MF1|
-
|MF2|=±2a
4.化简：
5.检验：
x
O
y
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
F
2
F
1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
若建系时,焦点在y轴上呢?
20min
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
__________
(a>0，b>0)
________
(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝_______
a2＋b2
观察、对比两标准方程，发现双曲线的标准方程有哪些特点？
例1.写出以下曲线的焦点坐标及a,b：
练习
25min
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
定位
定量
因为2a=8,2c=10,所以a=4,c=5,所以
变式
(见“学案方面例1”）
例3.双曲线过点（3，2）和（-2，-1），求双曲线的标准方程。
(见“检测反馈3”）
双
曲
线
定
义
及
标
准
方
程
双曲线与椭圆之间的区别与联系
双曲线标准方程
双曲线定义
定位
定量§2.3.1双曲线及其标准方程
一、学习目标:
1、能借助生活中的拉链自己动手画出双曲线，从而得出双曲线的定义；
2、类比椭圆,能自己推导出双曲线的标准方程；(渗透数形结合及等价转化的思想方法，提高运用代数法解决几何问题的能力)
3、通过探究过程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的观察能力和学习兴趣等。
二、教学重难点、关键
1、教学重点：双曲线的定义及其标准方程
2、教学难点：双曲线标准方程的推导
三、学法指导：研讨式教学
四、教学设想：
（一）、创设问题，引入新课：
（1）提出问题：
平面内，与两定点距离之和等于常数2a（）的点的轨迹叫做椭圆。
？平面内，与两定点距离之差等于常数的点的轨迹是什么？
（2）动画演示：只有右支，只有左支→差的绝对值等于常数时，点的轨迹？
（二）、新课探究：
问题1:
双曲线的定义
探究：取一条拉链，拉开一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在F1,
F2上，笔尖放在M处（且使），随着拉链逐渐拉开或闭拢，笔尖经过的点就画出一条曲线。在形成曲线的过程中思考：
1.这条曲线上的M点所满足的几何条件是
；
2.平面内两点不动,固定拉链的两点交换后继续画线(此时)，这条曲线上的M点所满足的几何条件是
.
上面画出的两条曲线合起来叫双曲线,每一条叫做双曲线的一支.
提问：类比椭圆的定义，你能尝试给出双曲线的定义吗？（学生回答，其他学生修改补充，师生共同合作板演出“双曲线的定义”
平面内与两定点距离之差的绝对值等于常数2a（）的点的轨迹叫做双曲线。这两定点叫做双曲线的焦点，它们之间的距离叫做焦距。
思考:上述常数2a的范围
（1）若没有绝对值，动点M的轨迹是什么？
（2）该常数2a等于零时,
动点M的轨迹是什么?
（3）该常数2a等于时,
动点M点的轨迹是什么?
（4）该常数2a大于时,
动点M的轨迹是什么?
练习：（口答）
1、
已知A(0，-4),B（0,4），当a=3和4时，点P的轨迹为（
）
A、双曲线和一条直线
B、双曲线和两条射线
C、双曲线一支和一条直线
D、双曲线一支和一条射线
问题2:
标准方程的推导
已知定点F1,
F2且|F1F2|＝2c（c>0），动点M与F1,F2的距离的差的绝对值等于2a（其中2a<2c），试建立适当的坐标系,求M点的轨迹方程。
分析：前面学习了椭圆标准方程的推导方法，类比这种方法探求双曲线的标准方程（可试着不先看教材，试一试自己有没有这种能力）（小组合作探究）
思考：
1、a、b、c三者之中哪个最大？它们满足的关系式是什么？
2、椭圆有两个标准方程，双曲线也有两个吗？若有，另一个该是_____________________.
总结:
标准方程
焦点
的关系
焦点在轴上
焦点在轴上
思考：观察对比两方程，双曲线的标准方程有哪些特点？
（1）
左侧平方差，右侧为1；
（2）
系数正，焦点在；
（3）
,即c最大。
练习：（口答）
1、
写出以下曲线的焦点坐标及a,b的值：
（1）（2）（3）
（三）、典例分析：
例1.已知双曲线两个焦点分别为（－5，0）,
（5，0），双曲线上一点P到距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程.
变式：去掉“绝对值”三字
例2.
已知双曲线的焦点为F1（0，－6）,F2（0，6），过点（2，－5），求双曲线的标准方程为.
例3.若双曲线过点和，求双曲线的方程.
(四)、检测反馈：（分组展示.比一比，看谁做得又对又快！）
1.已知定点F1（－2，0）,F2（2，0），在平面内，满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是（
）
A.
B．
C.
D．
2.
已知双曲线上一点P到双曲线一个焦点的距离为3，则点P到双曲线另一个焦点的距离为
.
（五）、知识小结：
1、双曲线的定义
（与椭圆的区别）
2、标准方程
（两种形式）
3、焦点位置的判断
（与椭圆的区别）
4、a
、b、
c的关系（与椭圆的区别）
在课的尾声，我让学生对本节课进行了总结。目的是帮助他们认清这节课的知识结构，
培养他们的归纳总结能力。
五、板书设计;
2.3.1双曲线的定义及标准方程
1、定义
例1
例3
2、标准方程
例2
4
3班级
姓名
学号
组号
班级
姓名
学号
组号
测评练习
（30分钟内完成.相信自己：我能独立按时完成！）
1.双曲线的焦距是
。
2.双曲线与椭圆的焦点__________
(相同,不相同).
3.已知方程表示双曲线，求实数的取值范围.
4.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）
焦点在轴上，
,
（2）焦点在轴上，，过点A（－5，2)
5.已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状.
2
1
