模块综合测评
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin
300°＝( )
A．－
B．－
C．
D．
2．下列关于向量a，b的叙述中，错误的是( )
A．若a2＋b2＝0，则a＝b＝0
B．若k∈R，ka＝0，所以k＝0或a＝0
C．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D．若a，b都是单位向量，则a·b≤1恒成立
3．若角α的终边过点P(2cos
120°，sin
225°)，则sin
α＝( )
A．－
B．－
C．
D．－
4．函数f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)的图像如图所示，则f(0)＝( )
A．1 B．
C． D．
5．已知a＝(1，－2)，b＝(3，4)，则a在b方向上的投影是( )
A．1
B．－1
C．
D．－
6．已知sin
(π＋α)＝且α是第三象限的角，则cos
(2π－α)的值是( )
A．－
B．－
C．±
D．
7．已知向量a＝(4，－2)，向量b＝(x，5)，且a∥b，那么x的值等于( )
A．10
B．5
C．－
D．－10
8．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A.－＋
B．－－
C．－
D．＋
9．将函数f(x)＝sin
的图像向右平移个单位，那么所得的图像对应的函数解析式是( )
A．y＝sin
2x
B．y＝cos
2x
C．y＝sin
D．y＝sin
10．函数f(x)＝sin
(ω>0)相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f(x)的单调减区间( )
A．
B．
C．
D．
11．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
12．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin
B·cos2＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m<1
B．m>－3
C．m<3
D．m>1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.y＝A
sin
(ωx＋φ)的图像的一段如图所示，它的解析式是_____．
14．设sin
2α＝－sin
α，α∈，则tan
2α的值是________．
15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin
x－2cos
x取得最大值，则cos
θ＝________.
16．给出下列4个命题：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(1，2)，B(－3，4).
(1)求向量的坐标及||；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin
sin
x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(3sin
α，cos
α)，b＝(2sin
α，5sin
α－4cos
α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan
α的值；
(2)求cos
的值．
20．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)(x∈R，的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
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-模块综合测评
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin
300°＝( )
A．－
B．－
C．
D．
A [sin
300°＝sin
(－60°＋360°)＝sin
(－60°)＝－sin
60°＝－，故选A.]
2．下列关于向量a，b的叙述中，错误的是( )
A．若a2＋b2＝0，则a＝b＝0
B．若k∈R，ka＝0，所以k＝0或a＝0
C．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D．若a，b都是单位向量，则a·b≤1恒成立
C [∵a2＋b2＝0，a2＝|a|2≥0，b2＝|b|2≥0，∴|a|＝|b|＝0，∴a＝b＝0，故A正确；∵ka＝0，∴k2|a|2＝0，∴k＝0或|a|＝0，故k＝0或a＝0，故B正确；∵a·b＝|a||b|·cos
θ＝0，
∴|a|＝0或|b|＝0或cos
θ＝0，故a＝0或b＝0或a⊥b，故C错误；∵a，b是单位向量，∴a·b＝cos
θ≤1，故D正确；故选C.]
3．若角α的终边过点P(2cos
120°，sin
225°)，则sin
α＝( )
A．－
B．－
C．
D．－
D [∵cos
120°＝－cos
60°＝－，sin
225°＝－sin
45°＝－，∴角α的终边过点P(－1，－1)，∴sin
α＝－.故选D.]
4．函数f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)的图像如图所示，则f(0)＝( )
A．1 B．
C． D．
D [由图像知A＝1，T＝4＝π，所以ω＝2，把代入函数式中，可得φ＝，
所以f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)＝sin
，
所以f(0)＝sin
＝.故选D.]
5．已知a＝(1，－2)，b＝(3，4)，则a在b方向上的投影是( )
A．1
B．－1
C．
D．－
B [由题意，∵a＝(1，－2)，b＝(3，4)，∴a在b方向上的投影是＝＝－1.]
6．已知sin
(π＋α)＝且α是第三象限的角，则cos
(2π－α)的值是( )
A．－
B．－
C．±
D．
B [由sin
(π＋α)＝，得－sin
α＝，即sin
α＝－，又因为α是第三象限的角，
所以cos
(2π－α)＝cos
α＝－.故选B.]
7．已知向量a＝(4，－2)，向量b＝(x，5)，且a∥b，那么x的值等于( )
A．10
B．5
C．－
D．－10
D [∵a＝(4，－2)，b＝(x，5)，且a∥b，∴4×5＝－2x，解得x＝－10，故选D.]
8．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A.－＋
B．－－
C．－
D．＋
A [由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，＝，∴＝＋＝－＋.故选A.]
9．将函数f(x)＝sin
的图像向右平移个单位，那么所得的图像对应的函数解析式是( )
A．y＝sin
2x
B．y＝cos
2x
C．y＝sin
D．y＝sin
D [∵f(x)＝sin
，∴将函数f(x)＝sin
的图像向右平移个单位，得f＝sin
＝sin
，所得的图像对应的函数解析式是y＝sin
，故选D.]
10．函数f(x)＝sin
(ω>0)相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f(x)的单调减区间( )
A．
B．
C．
D．
C [根据f(x)＝sin
(ω>0)相邻两个对称中心的距离为，
可得＝＝，∴ω＝2，f(x)＝sin
.
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故选C.]
11．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．
B．
C．
D．
B [设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos
α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
∴cos
α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.故选B.]
12．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin
B·cos2＋cos2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m<1
B．m>－3
C．m<3
D．m>1
D [f(B)＝4sin
B·cos2＋cos2B
＝4sin
B·＋cos
2B
＝2sin
B(1＋sin
B)＋(1－2sin2B)
＝2sinB＋1.
∵f(B)－m<2恒成立，即m>2sin
B－1恒成立．
∵0B≤1，
∴－1<2sin
B－1≤1，故m>1.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.y＝A
sin
(ωx＋φ)的图像的一段如图所示，它的解析式是_____．
y＝sin
[由图像可知A＝，
T＝2×＝π，
∴ω＝＝＝2，
∴y＝sin
(2x＋φ)，代入点，
得sin
＝1，∴φ＝π，
∴y＝sin
.]
14．设sin
2α＝－sin
α，α∈，则tan
2α的值是________．
[∵sin
2α＝－sin
α，∴2sin
αcos
α＝－sin
α.
∵α∈，sin
α≠0，∴cos
α＝－.
又∵α∈，∴α＝π，
∴tan
2α＝tan
π＝tan
＝tan
＝.]
15．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin
x－2cos
x取得最大值，则cos
θ＝________.
－ [y＝sin
x－2cos
x＝，
设＝cos
α，＝sin
α，
则y＝(sin
x
cos
α－cos
x
sin
α)＝sin
(x－α).
∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝.
又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，
∴f(θ)＝sin
θ－2cos
θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
∴即cos
θ＝－.]
16．给出下列4个命题：
①函数y＝tan
x的图像关于点，k∈Z对称；
②函数f(x)＝sin
|x|是最小正周期为π的周期函数；
③设θ为第二象限的角，则tan
>cos
，且sin
>cos
；
④函数y＝cos2x＋sinx的最小值为－1.
其中正确的命题是________．
①④ [①点(kπ，0)(k∈Z)，(k∈Z)是正切函数的对称中心，∴①对；
②f(x)＝sin
|x|不是周期函数，∴②错；
③∈，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z时，sin
，∴③错；
④y＝1－sin2x＋sinx＝－＋，
∴当sin
x＝－1时，ymin＝－1，∴④对．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(1，2)，B(－3，4).
(1)求向量的坐标及||；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
[解] (1)因为A(1，2)，B(－3，4)，所以＝－＝(－3，4)－(1，2)＝(－4，2)，
所以||＝＝2.
(2)设与的夹角为θ.
因为·＝5，||＝，||＝5，
所以cos
θ＝＝＝.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin
sin
x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
[解] (1)f(x)＝sinsin
x－cos2x
＝cosx
sin
x－(1＋cos
2x)
＝sin
2x－cos
2x－
＝sin
－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，
从而当0≤2x－≤，
即≤x≤时，f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增；
在上单调递减．
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(3sin
α，cos
α)，b＝(2sin
α，5sin
α－4cos
α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan
α的值；
(2)求cos
的值．
[解] (1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin
α，cos
α)，b＝(2sin
α，5sin
α－4cos
α)，
故a·b＝6sin2α＋5sinαcos
α－4cos2α＝0.
由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0，
解得tan
α＝－或tan
α＝.
∵α∈，tan
α<0，
∴tan
α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan
α＝－，求得tan
＝－或tan
＝2(舍去).
由
∴sin
＝，cos
＝－，
cos
＝cos
cos
－sin
sin
＝－×－×
＝－.
20．(本小题满分12分)已知O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2.
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线．
[解] (1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2).当点M在第二或第三象限时，有
故所求的充要条件为t2<0且t1＋2t2≠0.
(2)证明：当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2).
∵＝－＝(4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，
∴不论t2为何实数，A，B，M三点共线．
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝A
sin
(ωx＋φ)(x∈R，的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
[解] (1)由题图知，周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2.
因为点在函数图像上，
所以A
sin
＝0，
即sin
＝0.
又因为0<φ<，
所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点(0，1)在函数图像上，所以A
sin
＝1，解得A＝2.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin
.
(2)g(x)＝2sin
－2sin
＝2sin
2x－2sin
＝2sin
2x－2
＝sin
2x－cos
2x
＝2sin
.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.
22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
[解] 过点B作BH⊥OA，垂足为H.
设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，OA＝2cos
θ，BH＝sin
＝cos
θ，
AH＝cos
＝sin
θ，
所以B(2cos
θ＋sin
θ，cos
θ)，
OB2＝(2cos
θ＋sin
θ)2＋cos2θ
＝7＋6cos2θ＋2sin
2θ＝7＋4sin
.
由0<θ<，知<2θ＋<，
所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.
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