5.2三角函数的概念 同步学案

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三角函数的定义同步学案
一．学习目标
在初中锐角（特殊角）三角函数值的基础之上，在高中数学涉及到函数学习时，所以需要将角的范围进行拓宽；同时通过引入三角函数线这一工具得出三角函数值的计算原理。
二．基础知识
1．任意角的概念
角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
(1)角的分类
按旋转方向
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
射线没有旋转
按终边位置
前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
(2)终边相同的角：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)公式
角的弧度数公式
(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①rad
②
弧长公式
弧长
扇形面积公式
3．任意角的三角函数
(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么，，
。
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示；正弦线的起点都在轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是；如图中有向线段分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线。
三．思维辨析
1．概念辨析
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角(　　)
(2)角的三角函数值与其终边上点的位置无关(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同(　　)
(4)借助三角函数线可知，若为第一象限角，则(　　)
2．小题热身
(1)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)若角同时满足且，则角的终边一定落在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(3)已知扇形的圆心角为120°，其弧长为，则此扇形的面积为________．
(4)设角的终边经过点，那么________.
四．典例分析与性质总结
题型1：象限角与终边相同的角
例1：(1)若角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
(2)若角是第二象限角，则是第________象限角。
总结：
1.象限角的两种判断方法
①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；
②转化法：先将已知角化为的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角。
2.表示区间角的三个步骤
①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的范围内的角和，写出最简区间；
③起始、终止边界对应角和再加上360°的整数倍，即得区间角集合。
题型2：弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用
例2：已知扇形的周长是4
cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A.2
B．1
C.
D．3
总结：应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形。
题型3：任意角三角函数的定义及应用
例3：角度1　利用三角函数的定义求值
①已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若是角终边上一点且
，则(　　)
A.
B．
C．1
D．
角度2　三角函数值符号的判定
②的值(　　)
A.小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
角度3　三角函数线的应用
③函数的定义域为________．
总结：
1.三角函数定义应用策略
(1)已知角的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解；
(2)已知角终边上一点的坐标，则可先求出点到原点的距离，然后用三角函数的定义推广
求解；
(3)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解；
(4)已知角的某三角函数值(含参数)或角终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义(或推广形式)列方程求参数值；
(5)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义(或推广形式)可求角终边上某特定点的坐标。
2.三角函数值符号的记忆口诀
一全正、二正弦、三正切、四余弦；
3.三角函数线的两个主要应用
(1)三角式比较大小；
(2)解三角不等式(方程)。
五．变式演练与提高
1.已知是第二象限的角，则是第________象限的角．
2.在范围内所有与终边相同的角为________．
3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长是________．
4.在平面直角坐标系xOy中，点的纵坐标为2，点在轴的正半轴上，在中，若
，则点的横坐标为(　　)
A.
B．
C．3
D．
5.若，，则角是(　　)
A.第一象限角
B．第二象限角
C.第三象限角
D．第四象限角
6.已知角的终边与单位圆的交点为，则等于(　　)
A.
B．
C．
D．
7.在内，使成立的的取值范围为________．
六．反思总结
1.要点归纳：
①在三角函数定义中,点P可取终边上任一点，但一定是正值；
②在解简单的三角不等式时,利用三角函数线是一个小技巧；
③三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数。
2.易错提醒
①相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等；
②在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制；
③已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况；
④三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负。
七．课后作业
1.已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角用集合可表示为________．
2.扇形弧长为20
cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________
cm2.
3.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆
周长之比为________．
4.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
5.点所在的象限是(　　)
A.第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6.已知角的终边经过点，且，则实数的取值范围是________．
7.满足的角的集合为________．
8.设是第三象限角，且，则是(　　)
A.第一象限角
B．第二象限角
C.第三象限角
D．第四象限角
9.已知，那么下列命题成立的是(　　)
A.若是第一象限的角，则
B.若是第二象限的角，则
C.若是第三象限的角，则
D.若是第四象限的角，则
10.已知角的终边经过点，且，则的值是________．
八．参考答案
（三．思维辨析）
1.解析
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.解析　
①角度制与弧度制不能混用，排除A，B；因为，所以与终边相同的角可表示为
或等，故选C。
②因为，所以的终边位于x轴的下方，又因为，所以角的终边落在第四象限。
③设此扇形的半径为，由题意得，所以，所以此扇形的面积为。
④因为，所以，，所以.
（四．典例分析与性质总结）
例1：解析：
(1)因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为，故选D.
(2)因为角是第二象限角，
所以，，所以，。
所以是第一或第三象限角。
例2：解析：
解法一：设此扇形的半径为，弧长为，圆心角为，则，面积，故当时最大，这时，从而
解法二：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为，则，故
又
当且仅当，即时，取最大值。
例3：解析：
①及是角终边上一点可知，由三角函数的定义，得，解得。
②因为，所以和的角是第二象限角，的角是第三象限角，
所以，，，所以。
③∵，∴；由三角函数线画出满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
∴
（五．变式演练与提高）
1.解析：
的终边与的终边关于轴对称，的终边逆时针旋转得的终边，所以由是第二象限角可知，是第一象限角．
2.解析：
与终边相同的角可表示为，当时，；当时，；所以在范围内所有与终边相同的角为或。
3.解析：
如图所示，设半径为，
则，所以，弧长
4.解析：
设，则点的坐标为，由以及，得到，，故得到，即点的横坐标为。
5.解析：
由，得，，又；
所以，所以为第四象限角，选D.
6.解析：
因为点在单位圆上，所以，解得
①当时，，，所以
②当时，，，所以
综上知，
7.解析：
如图所示，找出在内，使的值，，，根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角。
（七．课后作业）
1.解析：
在内，终边落在阴影部分的角的集合为；
所以所求角的集合为
2.解析：
由弧长公式，得(cm)
∴(cm2)
3.解析：
扇形的半径为，圆半径为，
∵，，，，
∴，即
∴，，故而
4.解析：
当时，，此时上式表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时上式表示的范围与表示的范围一样；
5.解析：
因为，所以与终边相同，是第三象限角；
所以，所以点在第三象限。
6.解析：
∵
∴角的终边落在第二象限或轴的正半轴上。
∴
∴
7.解析：
由三角函数线画出满足条件的的终边范围(如图阴影所示)；所以
8.解析：
因为是第三象限角，所以，所以，所以为第二或第四象限角，又因为，所以，所以是第二象限角。
9.解析：
由三角函数线可知选D。
10.解析：
∵，∴点到原点的距离.
又，∴
∵，∴
∴.
①当时，点坐标为，
由三角函数的定义，有
，；
②当时，同理可求得
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